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一元二次不等式及其解法


高中数学高一年级必修五 第三章 第二节

一元二次不等式及其解法

学习目标
?

?

?

学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函 数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次 函数、一元二次方程的关系。 学法指导:发现、讨论法;数形结合。”的观念。 掌握一元二次不等式的解法及步骤。 学习重点、难点:一元二次不等式、二次函数、一 元二次方程的关系;一元二次不等式的解法及其步 骤。

[提出问题] 观察下列不等式: (1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0. 问题 1:以上给出的 3 个不等式,它们含有几个未知数?未 知数的最高次数是多少?

提示:它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都是 2. 问题 2:上述三个不等式在表达形式上有何共同特点?

提示:形如 ax2+bx+c>0(或≤0),其中 a,b,c 为常数, 且 a≠0.
[导入新知] 1.一元二次不等式 我们把只含有 一个 未知数,并且未知数的 最高次数是2 的

不等式,称为一元二次不等式,即形如 ax2+bx+c>0(≥0)或 ax2+ bx+c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.

2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x的值 , 叫做这个一元二次不等式 的 解 ,其解的 集合 ,称为这个一元二次不等式的 解集 . [化解疑难] 1. 定义的简单应用: 判断一个不等式是否为一元二次不等式, 应严格按照定义去判断,即未知数只有 1 个,未知数的最高次数 是 2,且最高次的系数不能为 0. 2.解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集
合或区间的形式.

[提出问题] 已知:一元二次函数 y=x2-2x,一元二次方程 x2-2x=0, 一元二次不等式 x2-2x>0. 问题 1:试求二次函数与 x 轴交点坐标
提示:(0,0)、(2,0)

问题 2:一元二次方程根是什么?
提示:x1=0,x2=2.

问题 3:问题 1 中的坐标与问题 2 中的根有何内在联系?

提示:交点的横坐标为方程的根.
问题 4:观察二次函数图象,x 满足什么条件,图象在 x 轴上 方?

提示:x>2 或 x<0.
问题 5:能否利用问题 4 得出不等式 x2-2x>0,x2-2x<0 的解集?

提示:能,不等式的解集为{x|x>2 或 x<0},{x|0<x<2}.

[导入新知] 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如表
判别式 Δ=b2 -4ac 一元二次方程
2

Δ>0 有两相异

Δ= 0 有两相等

Δ<0

实根 x1=x2 没有实数 ax +bx+c= 实根 x1, 根 b 0(a>0)的根 x2, (x1<x2) =- 2a

判别式 Δ=b2- 4ac 二次函数 y=ax2+ bx+c(a>0)的图象 ax +bx+ c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+ c<0(a>0) 的解集
? ? ? ? ?

Δ>0

Δ= 0

Δ<0

2

? ? ? ? ?

x|x<x1

或 x>x2}

? b? ? ? ?x|x≠- ? 2a? ? ? ?

R

x|x1<x<x2

? ? ? ? ?

?

?

[化解疑难] 一元二次方程的根对应于二次函数图象与 x 轴的交点,一 元二次不等式的解对应于二次函数图象在 x 轴上方(下方),或 在 x 轴上的点,由此得出二次函数图象的开口方向及与 x 轴的 交点情况确定的一元二次不等式的图象解法,这样就形成了二 次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法.

[例 1]

解下列不等式:

(1)2x2+7x+3>0;(2)x2-4x-5≤0; 81 1 2 (3)-4x +18x- ≥0;(4)- x +3x-5>0; 4 2
2

(5)-2x2+3x-2<0.

[解]

(1)因为 Δ=72-4×2×3=25>0, 所以方程 2x2+7x

1 +3=0 有两个不等实根 x1=-3,x2=- .又二次函数 y=2x2 2 1 +7x+3 的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x>- , 2 或 x<-3}. (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, 所以原不等式的解集 为{x|-1≤x≤5}.

? 9?2 (3)原不等式可化为 ?2x-2? ≤0 ,所以原不等式的解集为 ? ? ? 9? ? ? ?x|x= ?. 4? ? ? ?

(4)原不等式可化为 x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4 <0,所以方程 x2-6x+10=0 无实根,又二次函数 y=x2-6x +10 的图象开口向上,所以原不等式的解集为?.
(5)原不等式可化为 2x2-3x+2>0,因为 Δ=9-4×2×2=-7 <0,所以方程 2x2-3x+2=0 无实根,又二次函数 y=2x2-3x+2 的图象开口向上,所以原不等式的解集为 R.

[类题通法] 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没 有实根; (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集.

[活学活用] 1.解下列不等式: (1)x2-5x-6>0; (3)(2-x)(x+3)<0; (2)-x2+7x>6. (4)4(2x2-2x+1)>x(4-x).

解:(1)方程 x2-5x-6=0 的两根为 x1=-1, x2=6. 结合二次函数 y=x2-5x-6 的图象知,原不等式的解集为 {x|x<-1 或 x>6}.

(2)原不等式可化为 x2-7x+6<0. 解方程 x2-7x+6=0 得,x1=1,x2=6. 结合二次函数 y=x2-7x+6 的图象知,原不等式的解集为 {x|1<x<6}. (3)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0 两根为 2 和-3. 结合二次函数 y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为 {x|x<-3 或 x>2}.

(4)由原不等式得 8x2-8x+4>4x-x2. ∴原不等式等价于 9x2-12x+4>0. 2 解方程 9x -12x+4=0,得 x1=x2= . 3
2

结合二次函数 y=9x2-12x+4 的图象知, 原不等式的解集为 2 {x|x≠ }. 3

[例 2]

解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0.

[解]

方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数

y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上,则当 a<-1 时,原不等式 解集为{x|a<x<-1}; 当 a=-1 时,原不等式解集为?; 当 a>-1 时,原不等式解集为{x|-1<x<a}.

[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时: (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式 Δ 进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.

[活学活用] 2.解关于 x 的不等式:ax2-(a-1)x-1<0(a∈R).

解:原不等式可化为: (ax+1)(x-1)<0,当 a=0 时,x<1,当 a>0 -1)<0 1 ∴-a<x<1.当 a=-1 时,x≠1,
? 1? 时?x+a?(x ? ?

当-1<a<0

? 1? 1 时,?x+a?(x-1)>0,∴x>-a或 ? ?

x<1.

1 1 当 a<-1 时,-a<1,∴x>1 或 x<-a, 综上原不等式的解集是: 当 a=0 时,{x|x<1};当 a>0
? ? ? 1 ? ? 时, x|-a<x<1?; ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 时,?x|x<1或x>-a? . ? ? ?

当 a=-1 时,{x|x≠1};当-1<a<0 当 a<-1
? ? ? 1 ? 时,?x|x<-a或x>1?, ? ? ? ?

[例 3]

已知关于 x 的不等式 x2+ax+b<0 的解集为{x|1<x

<2},求关于 x 的不等式 bx2+ax+1>0 的解集.

[ 解]

∵x2+ax+b<0 的解集为{x|1<x<2},

∴1,2 是 x2+ax+b=0 的两根.
? ?-a=1+2, 由韦达定理有? ? ?b=1×2,

? ?a=-3, 得? ? ?b=2,

代入所求不等式,得 2x2-3x+1>0. 1 由 2x -3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0?x< 或 x>1. 2
2

∴bx +ax+1>0

2

? 1? 的解集为?-∞,2?∪(1,+∞). ? ?

[类题通法] 1.一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根, 也是函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标. 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在 x 轴上方的部分,是由 不等式 ax2+bx+c>0 的 x 的值构成的; 图象在 x 轴下方的部分, 是由不等式 ax2+bx+c<0 的 x 的值构成的, 三者之间相互依存、 相互转化.

[活学活用]
2

1 3.已知方程 ax +bx+2=0 的两根为- 和 2.(1)求 a、b 的值; 2 (2)解不等式 ax2+bx-1>0.
1 解:(1)∵方程 ax +bx+2=0 的两根为- 和 2, 2
2

b ? 1 - + 2 =- ? 2 a, 由根与系数的关系,得? ?-1×2=2. a ? 2 解得 a=-2,b=3.

(2)由(1)知,ax2+bx-1>0 可变为-2x2+3x-1>0, 1 即 2x -3x+1<0,解得 <x<1. 2
2

1 ∴不等式 ax +bx-1>0 的解集为{x| <x<1}. 2
2

5.有关三个“二次”关系的不等式的解法
[ 典例 ] 已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是 ax2-bx+c>0 的解集.

? 1? ? ? ?x|x<-2或x>- ?,求 2? ? ? ?

[活学活用] 已知一元二次不等式 x +px+q<0 求不等式 qx2+px+1>0 的解集.
2

? 1 1? ? ? ? 的解集为?x|-2<x<3? , ? ? ?

解:因为 x +px+q<0

2

? 1 1? ? ? ? 的解集为?x|-2<x<3? ,所以 x1 ? ? ?

1 1 =- 与 x2= 是方程 x2+px+q=0 的两个实数根, 2 3

?1 1 ?3-2=-p, 由根与系数的关系得? ? ? 1 1 ? ×?- ?=q, ?3 ? 2?
2

? 1 ?p=6, 解得? ?q=-1 . 6 ?

1 2 1 所以不等式 qx +px+1>0 即为- x + x+1>0,整理得 x2 6 6 -x-6<0,解得-2<x<3. 即不等式 qx2+px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}.

[随堂即时演练] 1.不等式 x(2-x)>0 的解集为( A.{x|x>0} C.{x|x>2 或 x<0} ) B.{x|x<2} D.{x|0<x<2}

解析:原不等式化为 x(x-2)<0,故 0<x<2.
答案:D

2.已知集合 M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0}, 则 M∩N 为( )

A.{x|-4≤x<-2 或 3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2 或 3≤x<7} C.{x|x≤-2 或 x>3} D.{x|x<-2 或 x≥3}
解析:∵M={x|x2-3x-28≤0} ={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2 或 x>3} ∴M∩N={x|-4≤x<-2 或 3<x≤7}.

答案:A

3.二次函数 y=x2-4x+3 在 y<0 时 x 的取值范围是________.
解析:由 y<0 得 x2-4x+3<0,∴1<x<3
答案:(1,3)

4.若不等式 ax +bx+2>0

2

? ? 1 ? ? ? 的解集为?x|-2<x<2? ,则实数 ? ? ?

a=________,实数 b=________.
1 解析: 由题意可知- , 2 是方程 ax2+bx+2=0 的两个根. 2 b ? 1 ?-2+2=-a, 由根与系数的关系得? ?-1×2=2, a ? 2 解得 a=-2,b=3.

答案:-2

3

5.解下列不等式: (1)x(7-x)≥12; (2)x2>2(x-1).
解:(1)原不等式可化为 x2-7x+12≤0,因为方程 x2-7x+12=0 的两根为 x1=3,x2=4, 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}. (2)原不等式可以化为 x2-2x+2>0, 因为判别式 Δ=4-8=-4<0,方程 x2-2x+2=0 无实根,而抛物 线 y=x2-2x+2 的图象开口向上, 所以原不等式的解集为 R.

第二课时

一元二次不等式及其解法(习题课)

1.如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之 间的关系?

2.判别式Δ的值对一元二次不等式的解集有何影响?

[例 1]

解下列不等式

x+2 x+1 (1) <0;(2) ≤2. 1-x x-2

[解]

x+ 2 x+2 (1)由 <0,得 >0, 1- x x-1

此不等式等价于(x+2)(x-1)>0, ∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.

x+1 -x+5 (2)法一: 移项得 -2≤0, 左边通分并化简有 ≤0, x-2 x- 2 x- 5 即 ≥0, x- 2
? ??x-2??x-5?≥0, 它的同解不等式为? ? ?x-2≠0,

∴x<2 或 x≥5.

∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.法二:原不等式可化 x- 5 为 ≥0, x- 2

? ?x-5≥0, 此不等式等价于 ? ? ?x-2>0

? ?x-5≤0, ①或 ? ? ?x-2<0,

②解①得

x≥5,解②得 x<2, ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

[类题通法] 1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不 等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项 再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上 述方法求解.

[活学活用] 1.解下列不等式: x+2 (1) ≥0; 3-x 2x-1 (2) >1. 3-4x

? ??x+2??3-x?≥0, 解:(1)原不等式等价于? ? ?3-x≠0, ? ??x+2??x-3?≤0, 即? ? ?x≠3

?-2≤x<3.

∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.

2x-1 3x-2 (2)原不等式可化为 -1>0,即 <0. 3-4x 4x-3 等价于(3x-2)(4x-3)<0. 2 3 ∴ <x< . 3 4 2 3 ∴原不等式的解集为{x| <x< }. 3 4

[例 2]

关于 x 的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1 对 x∈R 恒成

立,求实数 m 的取值范围.

[解]

原不等式等价于 mx2+mx+m-1<0,对 x∈R 恒成立,

当 m=0 时,0· x2+0· x-1<0 对 x∈R 恒成立.当 m≠0 时,由题意,
? ?m<0, 得? 2 ? ?Δ=m -4m?m-1?<0 ? ?m<0, ?? 2 ? ?3m -4m>0

? ?m<0, ?? 4 ? ? ?m<0,或m>3

m<0.综上,m 的取值范围为 m≤0.

[类题通法] 不等式对任意实数 x 恒成立, 就是不等式的解集为 R, 对于一 元 二 次 不 等 式 ax2 + bx + c > 0 , 它 的 解 集 为 R 的 条 件 为
? ?a>0, ? 2 ? ?Δ=b -4ac<0;

一元二次不等式 ax2+bx+c≥0, 它的解集为 R

? ?a>0, 的条件为? 2 ? Δ = b -4ac≤0; ? ? ?a<0, 集为?的条件为? ? ?Δ≤0.

一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解

[活学活用] 2.若关于 x 的不等式 ax2+2x+2>0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

解:当 a=0 时,原不等式可化为 2x+2>0,其解集不为 R,故 a=0 不满足题意,舍去;当 a≠0 时,要使原不等式的解集为 R,只
? ?a>0, 需? 2 ? ?Δ=2 -4×2a<0, ?1 ? ? ,+∞?. ?2 ?

1 解得 a> .综上,所求实数 a 的取值范围为 2

[例 3]

某农贸公司按每担 200 元收购某农产品,并按每 100

元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点),计划可收购 a 万担, 政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低 x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加 2x 个百分点. (1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后, 不少于原计划税收的 83.2%, 试确定 x 的取值范围.

[ 解]

(1)降低税率后的税率为(10-x)%, 农产品的收购量为

a(1+2x%)万担,收购总金额为 200a(1+2x%).依题意得,y= 1 200a(1 + 2x%)(10 - x)% = a(100 + 2x)(10 - x)(0 < x < 10). (2) 50 1 原计划税收为 200a· 10%=20a(万元). 依题意得, a(100+2x)(10 50 -x)≥20a×83.2%,化简得 x2+40x-84≤0,∴-42≤x≤2.又 ∵0<x<10,∴0<x≤2.∴x 的取值范围是{x|0<x≤2}.

[类题通法] 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是: (1)理解题意,搞清量与量之间的关系; (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元 二次不等式问题; (3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.

[活学活用] 3.某校园内有一块长为 800 m,宽为 600 m 的长方形地面,现要 对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草 坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围.
解:设花卉带的宽度为 x m,则中间草坪的长为(800-2x) m,宽 1 为(600-2x) m.根据题意可得(800-2x)(600-2x)≥ ×800×600,整 2 理得 x2-700x+600×100≥0, 即(x-600)(x-100)≥0, 所以 0<x≤100 或 x≥600,x≥600 不符合题意,舍去. 故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.

5.探究不等式恒成立的问题
[典例] 已知 f(x)=x2+2(a-2)x+4,
由题意可知,只有当二次函数 f(x)=x2+2(a-2)x+4

如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围;
[ 解]

的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点时,才满足题意,

则其相应方程 x2+2(a-2)+4=0 此时应满足 Δ<0,即 4(a-2)2- 16<0,解得 0<a<4.故 a 的取值范围是{a|0<a<4}.

【探究一】

解决此类问题要注意三个“二次”之间的相互联

系, 并能在一定条件下相互转换, 若一元二次不等式的解集为 R 或?, 则问题可转化为恒成立问题, 此时可以根据二次函数图象与 x 轴的交 点情况确定判别式的符号,进而求出参数的范围. 【探究二】 若 x2 的系数为参数, 应参考本节例 2 及变式的解法. 【探究三】 对于 x∈[a,b],f(x)<0(或>0)恒成立,应利用函

数图象.如:是否存在实数 a,使得对任意 x∈[-3,1],f(x)<0 恒成 立.若存在求出 a 的取值范围;若不存在说明理由.

[解]

若对任意,x∈[-3,1],f(x)<0恒成立,则满足题意

的函数f(x)=x2+2(a-2)x+4的图象如图所 示.由图象可知,此时a应该满足 ?f?-3?<0, ? ?f?1?<0, ?-3<2-a<1, ?

?25-6a<0, ? 即?1+2a<0, ?1<a<5, ?

25 ? ?a> 6 , ? 1 解得? ?a<-2, ? ?1<a<5.

这样的实数a是不存在的,所以不存在实数a满足:对任意x ∈[-3,1],f(x)<0恒成立.

【探究四】 量.如:

对此类问题,要弄清楚哪个是参数,哪个是自变

已知函数 y=x2+2(a-2)x+4, 对任意 a∈[-3,1], y<0 恒成立, 试求 x 的取值范围.

解:原函数可化为g(a)=2xa+x2-4x+4,是关于a的一元一次 函数.要使对任意a∈[-3,1],y<0恒成立,只需满足
? ?g?1?<0, ? ? ?g?-3?<0,
2 ? ?x -2x+4<0, 即? 2 ? ?x -10x+4<0.

因为x2-2x+4<0的解集是空集,所以不存在实数x,使函数y =x2+2(a-2)x+4,对任意a∈[-3,1],y<0恒成立.

[随堂即时演练] x-2 1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B={x| x ≤0},则A∩B= ( A.{x|-1≤x<0} C.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} )

解析:∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤1}.

答案:B

2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是 ( A.-4≤a≤4 C.a≤-4或a≥4 B.-4<a<4 D.a<-4或a>4 )

解析:依题意应有Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4,故选A.

答案:A

x+1 3.不等式 ≤3的解集为________. x

x+1 x+1 2x-1 解析: ≤3? -3≤0? ≥0?x(2x-1)≥0且 x x x 1 x≠0?x<0或x≥ . 2 ?

1? 答案:?x|x<0或x≥2? ? ?

4.若函数f(x)=log2(x2-2ax-a)的定义域为R,则a的取值范围为 ________.

解析:已知函数定义域为R,即x2-2ax-a>0对任意x∈R恒 成立.∴Δ=(-2a)2+4a<0.解得-1<a<0.
答案:(-1,0)

5.你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形 吗?

解:设围成的矩形一边的长为x m,则另一边的长为(50- x) m,且0<x<50. 由题意,得围成矩形的面积S=x(50-x)>600, 即x2-50x+600<0,解得20<x<30. 所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成 一个面积大于600 m2的矩形.


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