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【高考调研】高考数学总复习 10-2 1 排列组合的综合应用配套课件 理 新人教A版_图文

专题研究 排列组合的综合应用 例 1 平面上有 9 个点,其中有 4 个点共线,除此外无 3 点共线 ①用这 9 个点可以确定多少条直线? ②用这 9 个点可以确定多少个三角形? ③用这 9 个点可以确定多少个四边形? 【解析】 ①确定一条直线需要两个点,因为有 4 个点共 2 线,所以这 9 个点所确定直线的条数为 C2 - C 9 4+1=31. ②确定一个三角形需要三个不共线的点,所以这 9 个点确 3 定三角形的个数为 C3 - C 9 4=80. ③确定一个四边形需要四个不共线的点,所以这 9 个点确 1 3 4 定四边形的个数为 C4 9-C5C4-C4=105. 思考题 1 (1)平面内有 n 条直线任意两条都相交, 任意三 ( ) 条都不交于一点,则这 n 条直线的交点的个数为 A.n(n-1) n?n-1? C. 2 B.(n-1)(n-2) ?n-1??n-2? D. 2 n?n-1? 2 Cn= . 2 【解析】 这 n 条直线交点的个数为 【答案】 C (2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点, 在其中取 4 个不共 面的点,则不同的取法共有多少种? 【解析】 方法一 从 10 个点中,任意取 4 个点的不同取 法共有 C4 10种,其中,所取 4 个点共面的可分为两类.第一类, 四个点同在四面体的一个面上,共有 4C4 6种取法. 第二类,四个点不同在四面体的一个面上,又可分为两种 情形:①4 个点分布在不共面的两条棱上,这只能是恰有 1 个 点是某棱的中点,另 3 点在对棱上,因为共有 6 条棱,所以有 6 种取法;②4 个点所在的不共面的棱不止两条,这时,4 个点 必然都是棱的中点,它们所在的 4 条棱必然是空间四边形的四 条边, 故有 3 种不同取法. 所以符合题意的不同取法种数为 C4 10 -(4C4 6+6+3)=141. 方法二 在四面体中取定一个面,记为 α,那么取不共面 的 4 个点,可分为四类.第一类,恰有 3 个点在 α 上.这时, 该 3 点必然不在同一条棱上, 因此, 4 个点的不同取法数为 4(C3 6 -3)=68.第二类,恰有 2 个点在 α 上,可分两种情形:①该 2 2 点在同一条棱上, 这时 4 个点的不同取法数为 3C2 · (C 3 4-3)=27; ②该 2 点不在同一条棱上,这时 4 个点的不同取法数为(C2 6- 2 3C2 )(C 3 4-1)=30. 第三类,恰有 1 个点在 α 上,可分两种情形:①该点是棱 的中点,这时 4 个点的不同取法数为 3×3=9;②该点不是棱 的中点,这时 4 个点的不同取法数为 3×2=6.第四类,4 个点 都不在 α 上,只有 1 种取法.应用分类计数原理,得所求的不 同取法数为 68+27+30+9+6+1=141. 【答案】 141 例 2 按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的 分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本. 【思路】 这是一个分配问题,解题的关键是搞清事件是 否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的 重复或遗漏. 【解析】 (1)无序不均匀分组问题, 先选 1 本有 C1 6种选法; 再从余下的 5 本中选 2 本有 C2 最后余下 3 本全选有 C3 5种选法; 3 2 3 种方法,故共有 C1 · C C3=60 种. 6 5· (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人, 2 3 3 在第(1)题基础上,还应考虑再分配,共有 C1 6C5C3A3=360 种. 2 2 (3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是 C2 C 6 4C2种方法, 但是这里出现了重复.不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F, 若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分 2 2 法为(AB,CD,EF),则 C2 C 6 4C2种分法中还有(AB,EF,CD)、 (CD,AB,EF)、(CD,EF,AB)、(EF,CD,AB)、(EF,AB, 3 CD),共 A3 种情况,而这 A 3 3种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序不 2 2 C2 C 6 4C2 同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 =15 种. A3 3 (4)有序均匀分组问题,在第(3)题基础上再分配给 3 个人, 2 2 C2 6C4C2 2 2 2 共有分配方式 · A3 = C 3 3 6C4C2=90 种. A3 1 1 C4 C 6 2C1 (5)有序部分均匀分组问题,共有 =15 种. A2 2 (6)有序部分均匀分组问题.在第(5)题基础上再分配给 3 个 1 1 C4 6C2C1 3 人,共有分配方式 A3=90 种. 2 · A2 (7)直接分配问题.甲选 1 本有 C1 6种方法,乙从余下 5 本中 4 1 1 4 选 1 本有 C1 种方法, 余下 4 本留给丙有 C 种方法, 共有 C 5 4 6C5C4 =30 种. 【讲评】 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组 是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组 是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的 阶乘数;还要充分考虑到是否与顺序有关,有序分组要在无序 分组的基础上乘以分组数的阶乘数. 思考题 2 6 名运动员分到 4 所学校去做教练,每校至少 1 人,有多少种不同的分配方法? 【解析】 人员分配有两类:1

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