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河北省衡水中学2015-2016学年高一上学期一调考试数学试题

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在下列四个选项中,只有一个是符合题 目要求的) 1.已知集合 A ? ?? 2,?1,0,1,2? , B ? x ( x ?1)(x ? 2) ? 0 ,则 A ? B ? A.

?

?

(

)

??1,0?

B. ?0,1?

C. ??1,0,1?

D. ?0,1,2? ( )

2.下列关系中,正确的个数为 ① A. 1

2 ?R 2

②0? N B. 2

*

③ ?? 5? ? Z C.3

④ ? ? ??? D.4 ( D. ? 2 5 ( ) )

3.已知 ab ? ?5 ,则 a ?

b a ? b ? 的值是 a b
C. ? 2 5

A. 2 5

B. 0

4.下列对应是集合 A 到集合 B 的映射的是 A. A ? N ? . B ? N ? . f : x ? x ? 3 B. A ? 平面内的圆 . B ? 平面内的三角形 . f : 作圆的内接三角形 C. A ? x 0 ? x ? 2 . B ? y 0 ? y ? 6 . f : x ? y ? D. A ? ?0,1? . B ? ?? 1,0,1? . f : A中的数开平方 5.下列四个函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 A. f ( x) ? 3 ? x C. f ( x ) ? ? B. f ( x) ? x ? 3x
2

?

?

?

?

?

?

?

?

1 x 2





1 x ?1
2

D. f ( x) ? ? x

2 2 6.关于 x 的一元二次方程 x ? mx? 2m ? 1 ? 0 的两个实数根分别是 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ? 7 ,则

m 的值是
A. 5 B. -1 C. -5 D. -5 或 1
2 7.已知 f ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 5 ,则 f ( x) 的表达式是






2



A. f ( x) ? x ? 6x
2

B. f ( x) ? x ? 8x ? 7

C. f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3

D. f ( x) ? x 2 ? 6 x ?10 ( )

8.已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 2 ,则函数 f ( x) 在区间[-1,1)上 A. 最大值为 0,最小值为 ? C. 最大值为 0,无最小值

9 4

B. 最大值为 0,最小值为-2 D. 无最大值,最小值为 ?

9 4


? x 2 ? ax ? 5, x ? 1 ? 9.已知函数 f ( x)? 1 在 R 上单调,则实数 a 的取值范围为 1 ? , x ? 1 ? ? x
A. (??,2] B. [2,??) C. [4,??) D. [2,4]



10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是 ( )

A. 消耗 1 升汽油,乙车最多行驶 5 千米 B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗的汽油最多 C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车省油

?x ? 2 ,x ?1 1 2 3 201 ? )? f ( )? f ( ) ?? ? f ( ) 的值为( 11.设函数 f ( x) ? ? x ? 1 则 f( 101 101 101 101 ? ?1, x ? 1
A. 199 B. 200 C. 201 D. 202



2 12.已知函数 f ( x) ? ax ? (3 ? a) x ? 1, g ( x) ? x ,若对于任意实数 x, f ( x) 与 g ( x) 至少有一个

为正数,则实数 a 的取值范围是 A. 0 ? a ? 3 B. 0 ? a ? 9

( C. 1 ? a ? 9 D. a ? 3



第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.已知 x ? ?0,1, x?,则实数 x 的值是
2

共 90 分)

.

14.已知 f ( x) ?

?1 ,则函数的单调递增区间是 x ?3

.

15.设奇函数 f ( x) 在 (0,??) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集 x

为 . 16.设 A 是整数集的一个非空子集, 对于 k ? A , 如果 k ? 1 ? A , 那么 k 是 A 的一个 “孤立元” , 给定 A ? ? 1,2,3,4,5?,则 A 的所有子集中,只有一个“孤立元”的集合共有 个.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知 A ? y y ? ? x ? 2 x ? 1 , B ? x y ?
2

?

?

?

2 x ? 1 ,分别求 A ? B, A ? B, (CR A) ? B .

?

18.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 y ? f ( x) ,当 x ? 2 时函数取最小值-1,且 f (1) ? f (4) ? 3 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? f ( x) ? kx 在区间 (1,4) 上不单调,求实数 k 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)

2 已知非空数集 A ? y y ? mx ? 6mx ? m ? 8, x ? R , B ? [0,?? ) ,且 A ? B .

?

?

(1)求实数 m 的取值范围; (2)当 m 变化时,若集合 A 中 y 的最小值为 f ( m) ,求 f ( m) 的值域.

20.(本小题满分 12 分) 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 2000 元的部分不 必纳税,超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算: 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 税率(%) 5 10

15 超过 2000 元至 5000 元的部分 (1)设当月应激纳此项税款为 y 元,当月工资、薪金所得为 x 元,把 y 表示成 x 的函数; (2)某人一月份应激纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? (1)求 b, c 的值; (2)证明函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上是减函数,并判断 f ( x) 在 (1,??) 上的单调性; (3)若对任意的 x ? ? ,3? ,总有 f ( x) ? m 成立,求实数 m 的取值范围. 2

b ? c ,其中 b, c 为常数且满足 f (1) ? 4, f (2) ? 5 . x

?1 ? ? ?

22.(本小题满分 12 分)
2 2 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( f ( x) ? x ? x) ? f ( x) ? x ? x

(1)若 f (2) ? 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) ? a ,求 f ( a ) ; (2)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x) 的解析式.

参考答案及解析
月考卷 一、选择题 1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 10.D 11.C 12.B 二、填空题 13.-1 14. (3,??) 三、解答题 15. (?1,0) ? (0,1) 16.13

2 17.解:? A ? y y ? ?( x ? 1) ? y y ? 0 . (2 分)

?

? ?

?

? 1? B ? ?x x ? ? ? . 2? ?
? 1 ? ? A ? B ? ?? ,0? . ? 2 ?
A? B ? R .

(4 分)

(6 分) (8 分) (10 分)

(CR A) ? B ? (0,??) .

18.解: (1)? 二次函数 y ? f ( x) 在 x ? 2 时取得最小值-1,

? 二次函数图像的顶点坐标为 (2,?1) .
设解析式为 y ? a( x ? 2) ?1(a ? 0) .
2

? f (1) ? f (4) ? a ? 1 ? 4a ? 1 ? 5a ? 2 ? 3 .

? a ? 1.? y ? ( x ? 2)2 ?1 ? y ? x 2 ? 4x ? 3 .
2

(6 分)

(2)? g ( x) ? f ( x) ? kx ? x ? (k ? 4) x ? 3 在区间 (3,4) 上不单调,

?1 ?

k?4 ? 4 ,解得 ? 2 ? k ? 4 . 2
(12 分)

即实数 k 的取值范围为 (?2,4)
2

19.解: (1)由题意得 mx ? 6mx? m ? 8 ? 0 对任意的 x ? R 恒成立. ① m ? 0,8 ? 0 ,符合题意; ② m ? 0, ? (2 分)

?m ? 0.
2 ?? ? (?6m) ? 4m(m ? 8) ? 0.

解得 0 ? m ? 1 综合①②, 0 ? m ? 1 . (2) ①m ? 0, y ? 8 ;

(6 分) (8 分)

②0 ? m ? 1, ymin ? f (m) ?

4m(m ? 8) ? (?6m) 2 ? ?8m ? 8 ? [0,8) . 4m
(12 分)

综合①②, f ( m) 的值域为 [0,8] .

? 2 ? b ? c ? 4. ? 21 解: (1)由 ? 解得 b ? 2, c ? 0 . b 4 ? ? c ? 5 . ? ? 2
(2)由(1) ,得 f ( x ) ? 2 x ? 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 x1 ?

(2 分)

2 .任取 0 ? x1 ? x2 ? 1 . x

2 2 ) ? (2 x2 ? ) x1 x2

?

2( x1 ? x2 )(x1 x2 ? 1) . x1 x2

? 0 ? x1 ? x2 ? 1 .
? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ?1 ? 0, x1 x2 ? 0 . ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0.即f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上是减函数. 在区间 (1,??) 上是增函数. (3)由(2) ,知 f ( x ) ? 2 x ? (6 分) (7 分)

1 2 在 [ ,1] 上单调递减,在 [1,3] 上单调递增. 2 x
(10 分)

? f ( x)min ? f (1) ? 4 .

? m ? f ( x) min ? 4 .
22.解: (1)因为对任意 x ? R ,有 f ( f ( x) ? x 2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x . 所以 f ( f (2) ? 22 ? 2) ? f (2) ? 22 ? 2 . 又由 f (2) ? 3 .得 f (3 ? 22 ? 2) ? 3 ? 22 ? 2 .即 f (1) ? 1 若 f (0) ? a .则 f (a ? 02 ? 0) ? a ? 02 ? 0 .即 f (a) ? a . (2)因为对任意 x ? R ,有 f ( f ( x) ? x 2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x . 又因为有且只有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 . 所以对任意 x ? R ,有 f ( x) ? x 2 ? x ? x0 .
2 在上式中令 x ? x0 ,所以 x0 ? x0 ? 0 .故 x0 ? 0或x0 ? 1 .

(12 分)

(4 分)

若 x0 ? 0 .则 f ( x) ? x ? x ? 0 ,即 f ( x) ? x ? x .
2 2

但方程 x ? x ? x 有两个不相同的实根,与题设条件矛盾。故 x0 ? 0 ;
2

若 x0 ? 1,则有 f ( x) ? x ? x ? 1 .
2

即 f ( x) ? x ? x ? 1 .易验证该函数满足题设条件.
2

综上,所求函数为 f ( x) ? x ? x ? 1( x ? R) .
2

(12 分)


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