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3.1.2用二分法求方程的近似解_图文

3.1.2 用二分法求方程的近似解 知识回顾 函数y=f(x)的零点 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点(zero point). 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 知识回顾 零点存在性定理 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象 是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) <0, 那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点, 即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 , 这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根. 注意:零点个数不一定唯一, 逆定理 不成立。 问题提出 1. 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3有零点吗?你怎 样求其零点? 2 函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② 几何法:对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 2.对于高次多项式方程,在十六世纪已找到 了三次和四次方程的求根公式,但对于高于 4次的方程,类似的努力却一直没有成功. 到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗 瓦(Galois)的研究,人们认识到高于4次 的代数方程不存在求根公式,即不存在用四 则运算及根号表示的一般的公式解.同时, 即使对于3次和4次的代数方程,其公式解的 表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体 计算.因此对于高次多项式函数及其它的一 些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法. 知识探究(一):二分法的概念 思考1:有12个大小相同的小球,其中有 11个小球质量相等,另有一个小球稍重, 用天平称几次就可以找出这个稍重的球? 思考2:已知函数 f ( x ) ? lnx ? 2 x ? 6 在区间(2,3)内有零点,你有什么方 法求出这个零点的近似值? 思考3:怎样计算函数 f ( x ) ? lnx ? 2 x ? 6 在区 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值? 区间(a,b) (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) f(m)的 中点值m 精确度|a-b| 近似值 2.5 2.75 2.625 -0.084 0.512 0.215 1 0.5 0.25 (2.5,2.625) (2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875) 2.562 5 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5 0.066 -0.009 0.029 0.01 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 (2.531 25,2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001 0.007813 思考4:上述求函数零点近似值的方法叫做二 分法,那么二分法的基本思想是什么? 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. 知识探究(二): 用二分法求函数零点近似值的步骤 思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应 做什么? 确定区间[a,b],使 f(a)f(b)<0 思考2:为了缩小零点所在区间的范围, 接下来应做什么? 求区间的中点c,并计算f(c)的值 思考3:若f(c)=0说明什么?若f(a)· f(c)<0 或f(c)· f(b)<0 ,则分别说明什么? 若f(c)=0 ,则c就是函数的零点; 若f(a)· f(c)<0 ,则零点x0∈(a,c); 若f(c)· f(b)<0 ,则零点x0∈(c,b). 思考4:若给定精确度ε,如何选取近似 值? 当|m—n|<ε 时,区间[m,n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值. 思考5:对下列图象中的函数,能否用 二分法求函数零点的近似值?为什么? y y o x o x 典型例题 例1 用二分法求方程 2 ? 3 x ? 7 的近似 解(精确到0.1). x 解:令 f(x)=2x+3x-7,∵f(1)=-2<0,f(2)=3>0 ∴f(1)f(2)<0, ∴函数 f(x)的零点在区间(1,2)内。 又 f(1.5)=0.33>0, ∴函数 f(x)的零点在区间(1,1.5)内。 又 f(1.25)=-0.87<0, ∴函数 f(x)的零点在区间(1.25,1.5)内。 又 f(1.375)=-0.28<0, ∴函数 f(x)的零点在区间(1.375,1.5)内。 又 f(1.4375)=0.02>0, ∴函数 f(x)的零点在区间(1.375,1.4375)内。 ∵|1.375-1.4375|=0.0625<0.1, ∴零点可取 1.4375. 即方程的近似解为 1.4375 练 1.求函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 的一个 正数零点(精确到 0.1 ) 解:f(1)=-2<0,f(2)=6>0,f(1)f(2)<0,所以f(x)在 (1,2)内有一个零点。 零点所在区间 (1,2) 中点函数值符号 f(1.5)=0.625>0 区间长度 1 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5) f(1.25)=-0.984<0 f(1.375)=-0.260<0 f(1.4375)=0.162>0 0.5 0.25 0.125 (1.375,1.4375) f(1.406)=-0.056<0 0.0625 f(x) 的一个正数零点为1.375 练 2. 用二分法求 3 的近似值.(精确到 0.1) 3 用二分法求函数零

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