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【全国一等奖】人教版高中数学必修五:1.1正弦定理教案

正弦定理(教学设计) 一、教学内容分析 “正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修 5) 》 (人教版)第 一章第一节的主要内容,它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓,也是三角 函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形计算 问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值。 为什么要研究正弦定理?正弦定理是怎样发现的?其证明方法是怎样想到的?还有 别的证法吗?这些都是教材没有回答,而确实又是学生所关心的问题。 本节课是“正弦定理”教学的第一课时,其主要任务是引入并证明正弦定理, 在课型上属于“定理教学课” 。因此,做好“正弦定理”的教学,不仅能复习巩固旧 知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且通过对定理 的探 究,能使学生体验到数学发现和创造的历程,进而培养学生提出问题、解决问 题等研究性学习的能力。 二、学生学习情况分析 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容,在必修 4 中,又学习了三角函数 的基础知识和平面向量的有关内容,对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成 初步的知识框架,这不仅是学习正弦定理的认知基础,同时又是突破定理证明障碍 的强有力的工具。 正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一, 《课程标准》 强调在教学中要重视定理的探究过程,并能运用它解决一些实际问题,可以使学生 进一步了解数学在实际中的应用,从而激发学生学习数学的兴趣,也为学习正弦定 理提供一种亲和力与认同感。 三、设计思想 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程 改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为: “知识不是 被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。 ”这个观点从教学的角度来理解就是:知 识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并 通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而获得的,建构主 义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起 帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学,将遵循这个原则而进行设计。 四、教学目标 1、知识与技能:通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索,掌握正弦定理 的内容及其证明方法。 2、过程与方法:让学生从已有的知识 出发,共同探究在任意三角形中,边与其 对角的关系,引导学生通过观察、归纳、猜想、证明,由特殊到一般得到正弦定理 等方法,体验数学发现和创造的历程。 3、情感态度与价值观:在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、 合作和评价,实现共同探究、教学相长的教学情境。 五、教学重点与难点 重点:正弦定理的发现和推导 难点:正弦定理的推导 六、教学过程设计 (一)设置情境 利用投影展示:如图 1,一条河的两岸平行,河宽 d ? 1km 。因上游暴发特大洪 水,在洪峰到来之前,急需将码头 A 处囤积的重要物资 及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头 B 处或其下游 1km 的码头 C 处,请你确定转运方案。已知船在静水中 B C 的速度 v1 ? 5km / h ,水流速度 v1 ? 3km / h 。 【设计意图】培养学生的“数学起源于生活,运用于 (二)提出问题 A 图 1 生活”的思想意识,同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。 师:为了确定转运方案,请同学们设身处地地考 虑有关的问题,将各自的问题 经小组(前后 4 人为一小组)汇总整理后交给我。 待各小组将问题交给老师后,老师筛选了几个问题通过投影向全班展示,经大 家归纳整理后得到如下的五个问题: 1、船应开往 B 处还是 C 处? 2、船从 A 开到 B、C 分别需要多少时间? 3、船从 A 到 B、C 的距离分别是多少? 4、船从 A 到 B、C 时的速度大小分别是多少? [来源:学。科。网] 5、船应向什么方向开,才能保证沿直线到达 B、C? 【设计意图】通过小组交流,提供一定的研究学习与情感交流的时空,培养学生 合作学习的能力;问题源于学生,突出学生学习的主体性,能激发学生学习的兴趣; 问题通过老师的筛选,确定研究的方向,体现教师的主导作用。 师:谁能帮大家讲解,应该怎样解决上述问题? 大家经过讨论达成如下共识:要回答问题 1,需要解决问题 2,要解决问题 2, 需要先解决问题 3 和 4,问题 3 用直角三角形知识可解,所以重点是解决问题 4,问 题 4 与问题 5 是两个相关问题。因此,解决上述问题的关键是解决问题 4 和 5。 师:请同学们根据平行四边形法则,先在练习本 B C E D v1 v F A v2 图 2 上做出与问题对应的示意图,明确已知什么,要求什么,怎样求解。 生 1:船 从 A 开往 B 的情况如图 2,根据平行四边形的性质及解直角三角形的 知识,可求得船在河水中的速度大小 | v | 及 v1 与 v2 的夹角 ? : | v |? | v1 |2 ? | v2 |2 ? 52 ? 32 ? 4 , sin ? ? | v1 | 3 ? , | v2 | 5 用计算器可求得 ? ? 37? B D v1 v v2 A F 图 3 E C 船从 A 开往 C 的情况如图 3, | AD |?| v1 |? 5 , | DE |?| AF |?| v2 |? 3 ,易求得 ?AED ? ?EAF ? 45? ,还 需求 ? DAE 及 v ,我还不知道怎样解这两个问题。 师: 请大家思考, 这两个问题的数学实质是什么? 部分学生:在三角形中,已知两边和其中一边的 对角,求另一边的对角和第三边。 【设计意图】将问题数学化,有助于加深学生对问题的理解,有助于培养学生的 数学意识。 师:请大家讨论一下,如何解决这两个问题? 生 3:不知道。 师:图 2 的情形大家都会解,但图 3 的情形却有困难,那么图 2 与图 3 有何异 同点?

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