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浙江省嘉兴一中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省嘉兴一中高二(下)期末数学试卷
一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 2 分,共 60 分.每小题给出的选 项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分. ) 1. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)设集合 A={x|x≤2},则下列四个关系中正确的是( ) A.1∈AB.1?AC.{1}∈AD.1?A x 2. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)函数 f(x)=ln(9﹣3 )的定义域是( ) A.[2,+∞)B. (2,+∞)C. (﹣∞,2]D. (﹣∞,2) 3. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)关于 x 的不等式 ax﹣3>0 的解集是{x|x>3},则实数 a 的值是( ) A.1B.?﹣1C.3D.﹣3 4. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)直线 y=2 的斜率是( ) A.0B. C.+∞D.2 , ) ,则 sinα 等

5. (2 分) (2013?杭州模拟)已知角 α 的终边与单位圆相交于点 P(﹣ 于( )

A. B. C. D. 6. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体是(



A.圆柱 B.圆台 C.圆锥 D.棱台 7. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)圆心坐标(2,2) ,半径等于
2 2 2 2

的圆的方程是(



A.x +y +4x+4y+6=0B.x +y ﹣4x+4y+6=0 2 2 2 2 C.x +y ﹣4x﹣4y+6=0D.x +y +4x﹣4y+6=0 8. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)各项均为实数的等比数列{an}中,a4=2,a7=4,则 a1= ( ) A.1B.﹣1C. D.

9. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)已知函数 f(x)=loga|x﹣t|, (a>0,a≠1)的图象如图, 则下列结论正确的是( )

A.t=1,0<a<1B.t=1,a>1C.t=2,0<a<1D.t=2,a>1 10. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)已知 ,且 则实数 x

的值为( ) A.﹣2B.2C.8D.﹣8 11. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)如图,三棱锥 S﹣ABC 中,棱 SA,SB,SC 两两垂直,

且 SA=SB=SC,则二面角 A﹣BC﹣S 大小的正切值为(



A.1B. C. D.2 2 2 12. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)已知函数 f(x)=x ?sinx(x∈R) ,则 f(x)=x ?sinx (x∈R) ( ) A.是偶函数,不是奇函数 B.是奇函数,不是偶函数 C.既是奇函数,也是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 13. (2 分) (2014?浙江模拟)在空间中,设 m 表示直线,α,β 表示不同的平面,则下列命 题正确的是( ) A.若 α∥β,m∥α,则 m∥βB.若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β C.若 α⊥β,m∥α,则 m⊥βD.若 α∥β,m⊥α,则 m⊥β 14. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)在△ ABC 中,若 BC=2,AC=1,∠A=30°,则△ ABC 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 15. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)下列式子成立的是( ) A.0.5 >1B.2 >1C.log20.5>1D.log0.52>1
2 0.5

16. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末)若双曲线 互相垂直,则此双曲线的离心率是( A. B. C. D. )

=1 的一条渐近线与直线 x﹣2y+6=0

17. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末) 设 x 为实数, 命题 p: ?x∈R, x +x+1≥0 的否定是 ( 2 2 A.¬p:?x0∈R,x0 +x0+1<0B.¬p:?x0∈R,x0 +x0+1≤0

2



C.¬p:?x0∈R,x0 +x0+1<0D.¬p:?x0∈R,x0 +x0+1≤0

2

2

18. (3 分) (2016?岳阳二模)变量 x,y 满足约束条件 ﹣3|的取值范围是( A. B.[ ) ,6]C.[﹣2,3]D.[1,6]

则目标函数 z=3|x|+|y

19. (3 分) (2015?北京校级模拟)如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有 一动点 P 到直线 A1B1 与直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在曲线的形状为( )

A.

B.

C. ,

D. ],则函数 y=sin x﹣cos x 的最小
4 4

20. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末)已知 x∈[﹣ 值是( )

A.﹣1B.﹣ C. D.1 21. (3 分) (2012?乌兰察布学业考试)一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直 线与这两个平面的交线的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 22. (3 分) (2013?杭州模拟)数列{an}中, ,则 a5+a6 等于( A. B. C. D. )

23. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末)在直角坐标系 xoy 中,“a>b”是“方程

=1 表示

椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分条件又不必要条件 24. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末)正方形 ABCD 的边长为 2,E 是线段 CD 的中点,F 是线段 BE 上的动点,则 的取值范围是( )

A.[1,0]B.

C.

D.[0,1]
2

25. (3 分) (2014?开化县校级模拟)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) ,设 an=f * (n+3) ﹣( f n) , n∈N , 数列{an}的前 n 项和为 Sn 单调递增, 则下列不等式总成立的是 ( ) A.f(3)>f(1)B.f(4)>f(1)C.f(5)>f(1)D.f(6)>f(1) 二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26. (2 分) (2011?封开县校级模拟)圆 x +y ﹣4x+4y+6=0 截直线 x﹣y﹣5=0 所得的弦长 为 . 27. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)已知 a>0,b>0,若 ab=2a+b,则 ab 的最小值 是 . 28. (2 分) (2007?南通模拟)已知 ,则 = .
2 2

29. (2 分) (2016?上海一模)已知函数 f(x)= 数 x 的集合为 .

则使 f[f(x)]=2 成立的实

30. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)对 a,b∈R,记 max{a,b}= =max{|x+1|,|x﹣m|}(x∈R)的最小值是 ,则实数 m 的值是 .

,函数 f(x)

三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31. (7 分) (2005?重庆一模)在△ ABC 中,设 a,b,c 是角 A,B,C 所对的边,S 是该三 角形的面积,且 (I)求角 B 的度数; (II)若 ,求 b 的值. .

32. (7 分) (2015 春?嘉兴校级期末) 如图, 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AB=2, AD=AA1=1, 点 E 是棱 AB 的中点 (1)求证:B1C∥平面 A1DE; (2)求异面直线 B1C 与 A1E 所成角的大小.

33. (8 分) (2011?湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离 的差等于 1. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

(Ⅱ)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求 的最小值.
2

34. (8 分) (2015?上海模拟)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b∈R)满足条件:①当 x∈R 时,f(x)的最大值为 0,且 f(x﹣1)=f(3﹣x)成立;②二次函数 f(x)的图象与直线 y=﹣2 交于 A、B 两点,且|AB|=4 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求最小的实数 n(n<﹣1) ,使得存在实数 t,只要当 x∈[n,﹣1]时,就有 f(x+t)≥2x 成立.

2014-2015 学年浙江省嘉兴一中高二(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 2 分,共 60 分.每小题给出的选 项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分. ) 1. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)设集合 A={x|x≤2},则下列四个关系中正确的是( ) A.1∈AB.1?AC.{1}∈AD.1?A 【分析】根据描述法表示集合的含义,1≤2,可得 1 是集合 A 中的元素. 【解答】解:∵集合 A={x|x≤2},是所有不大于 2 的实数组成的集合, ∴1 是集合中的元素,故 1∈A, 故选:A. 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断,元素与集合的关系是:“∈或?”的关系. 2. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)函数 f(x)=ln(9﹣3 )的定义域是( ) A.[2,+∞)B. (2,+∞)C. (﹣∞,2]D. (﹣∞,2) 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域. x x 【解答】解:要使函数有意义,则 9﹣3 >0,即 3 <9, 解得 x<2, 即函数的定义域为(﹣∞,2) , 故选:D. 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 3. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)关于 x 的不等式 ax﹣3>0 的解集是{x|x>3},则实数 a 的值是( ) A.1B.?﹣1C.3D.﹣3 【分析】不等式 ax﹣3>0 化为 ax>3,根据不等式的解集即可得到 a 的值. 【解答】解:不等式 ax﹣3>0 即为 ax>3 的解集是{x|x>3}, ∴a=1, 故选:A. 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法和应用,属于基础题. 4. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)直线 y=2 的斜率是( )
x

A.0B. C.+∞D.2 【分析】直线 y=2 的倾斜角是 0°,斜率为 0,可得结论. 【解答】解:由题意,直线 y=2 的倾斜角是 0°,斜率为 0 故选:A. 【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率,属于基础题.

5. (2 分) (2013?杭州模拟)已知角 α 的终边与单位圆相交于点 P(﹣ 于( ) A. B. C. D. 【分析】先计算|OP|,再利用正弦函数的定义即可得到结论. 【解答】解:由题意,|OP|=1 ∵角 a 的终边与单位圆相交于点 P( )

, ) ,则 sinα 等

∴sina= 故选 C. 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义,解题的关键是正确运用正弦函数的定义. 6. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )

A.圆柱 B.圆台 C.圆锥 D.棱台 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形解 答. 【解答】 解: ∵几何体的俯视图是同心圆, ∴几何体可能是空心圆柱, 圆台或一个圆柱与球, 又正视图,侧视图是相同的等腰梯形, ∴几何体是圆台. 故选:B. 【点评】 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力, 同时也体现了对空间想象能力方面的 考查.

7. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)圆心坐标(2,2) ,半径等于 A.x +y +4x+4y+6=0B.x +y ﹣4x+4y+6=0 2 2 2 2 C.x +y ﹣4x﹣4y+6=0D.x +y +4x﹣4y+6=0
2 2 2 2

的圆的方程是(



【分析】直接利用条件求得圆的标准方程,再把它化为一般方程,可得结论. 【解答】 解: 圆心坐标 (2, 2) , 半径等于 的圆的方程是 (x﹣2) + (y﹣2) =2, 即 x +y
2 2 2 2

﹣4x﹣4y+6=0, 故选:C. 【点评】本题主要考查圆的标准方程和一般方程,属于基础题. 8. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)各项均为实数的等比数列{an}中,a4=2,a7=4,则 a1= ( ) A.1B.﹣1C. D.

【分析】利用等比中项计算即得结论. 【解答】解:∵数列{an}是各项均为实数的等比数列, ∴ ,

又∵a4=2,a7=4,

∴a1=

=

=1,

故选:A. 【点评】本题考查等比数列的性质,注意解题方法的积累,属于基础题. 9. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)已知函数 f(x)=loga|x﹣t|, (a>0,a≠1)的图象如图, 则下列结论正确的是( )

A.t=1,0<a<1B.t=1,a>1C.t=2,0<a<1D.t=2,a>1 【分析】根据函数的图象关于直线 x=1 对称,可得 t=1.根据函数在(1,+∞)上是增函数, 可得 a>1,从而得出结论. 【解答】解:由函数 f(x)=loga , (a>0,a≠1)的图象可得,函数的图象关于直线 x=1 对称,故 t=1. 再由图象可得,函数在(1,+∞)上是增函数,故 a>1, 故选 B. 【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用,属于基础题.
|x﹣t|

10. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)已知 的值为( ) A.﹣2B.2C.8D.﹣8 【分析】直接利用向量的平行的坐标运算,求出 x 的值即可.

,且

则实数 x

【解答】解:已知

,且



2x=4,所以 x=2. 故选 B. 【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算,考查计算能力. 11. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)如图,三棱锥 S﹣ABC 中,棱 SA,SB,SC 两两垂直,

且 SA=SB=SC,则二面角 A﹣BC﹣S 大小的正切值为(



A.1B. C. D.2 【分析】根据二面角的定义作出二面角的平面角,结合三角形的边角关系进行求解即可. 【解答】解:∵三棱锥 S﹣ABC 中,棱 SA,SB,SC 两两垂直,且 SA=SB=SC, ∴SA⊥平面 SBC,且 AB=AC= 取 BC 的中点 D, 连接 SD,AD, 则 SD⊥BC,AD⊥BC, 则∠ADS 是二面角 A﹣BC﹣S 的平面角, 设且 SA=SB=SC=1,则 SD= , ,

则 tan∠ADS= 故选:C

=



【点评】 本题主要考查二面角的求解, 利用二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的 关键.比较基础. 12. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)已知函数 f(x)=x ?sinx(x∈R) ,则 f(x)=x ?sinx (x∈R) ( ) A.是偶函数,不是奇函数
2 2

B.是奇函数,不是偶函数 C.既是奇函数,也是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可得到结论. 2 【解答】解:∵f(x)=x ?sinx, 2 ∴f(﹣x)=﹣x ?sinx=﹣f(x)≠f(x) , 则函数 f(x)是奇函数不是偶函数, 故选:B 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键,比较 基础. 13. (2 分) (2014?浙江模拟)在空间中,设 m 表示直线,α,β 表示不同的平面,则下列命 题正确的是( ) A.若 α∥β,m∥α,则 m∥βB.若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β C.若 α⊥β,m∥α,则 m⊥βD.若 α∥β,m⊥α,则 m⊥β 【分析】 利用直线与平面垂直的判定定理与线面平行的判断定理, 平面与平面平行的判定与 性质定理,对选项逐一判断即可. 【解答】解:若 α∥β,m∥α,则 m∥β 或 m?β,故 A 错误; 若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β 或 m?β,故 B 错误; 若 α⊥β,m∥α,则 m 与 β 可能平行,可能相交,也可能线在面内,故 C 错误; 若 α∥β,m⊥α,根据两个平行的平面与同一直线的夹角相同,可得 m⊥β,故 D 正确 故选 D 【点评】本题考查线面、面面、线线的位置关系及有关的判断定理与性质定理,考查学生灵 活运用知识的能力,是基础题. 14. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)在△ ABC 中,若 BC=2,AC=1,∠A=30°,则△ ABC 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 【分析】由已知及大边对大角可知:∠B<∠A=30°,从而利用三角形内角和定理可得 ∠C=180°﹣∠A﹣∠B=150°﹣∠B>120°,即可得解. 【解答】解:∵BC=2,AC=1,∠A=30°, ∴由大边对大角可知:∠B<∠A=30°, ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=150°﹣∠B>120°, 故选:A. 【点评】本题主要考查了大边对大角及三角形内角和定理的应用,属于基础题. 15. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)下列式子成立的是( 2 0.5 A.0.5 >1B.2 >1C.log20.5>1D.log0.52>1 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 2 【解答】解:A.0.5 =0.25<1,因此不正确; 0.5 0 B.2 >2 =1,因此正确; C.log20.5<0,因此不正确; D.log0.52<0,因此不正确. 故选:B. )

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.

16. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末)若双曲线 互相垂直,则此双曲线的离心率是( A. B. C. D. )

=1 的一条渐近线与直线 x﹣2y+6=0

【分析】由双曲线

=1 的一条渐近线与直线 x﹣2y+6=0 互相垂直,利用相互垂直的

直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出.

【解答】解:∵双曲线

=1 的一条渐近线与直线 x﹣2y+6=0 互相垂直,

∴ ×(﹣ )=﹣1,得到 =2. ∴双曲的离心率 e= = = . 故选:C 【点评】 熟练掌握双曲线的渐近线、 相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式 是解题的关键. 17. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末) 设 x 为实数, 命题 p: ?x∈R, x +x+1≥0 的否定是 ( 2 2 A.¬p:?x0∈R,x0 +x0+1<0B.¬p:?x0∈R,x0 +x0+1≤0 2 2 C.¬p:?x0∈R,x0 +x0+1<0D.¬p:?x0∈R,x0 +x0+1≤0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题, 2 2 所以命题:“?x∈R,x +x+1≥0”的否定是:¬p:?x0∈R,x0 +x0+1<0, 故选:A. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.
2



18. (3 分) (2016?岳阳二模)变量 x,y 满足约束条件 ﹣3|的取值范围是( )

则目标函数 z=3|x|+|y

A. B.[ ,6]C.[﹣2,3]D.[1,6] 【分析】确定不等式表示的区域,化简目标函数,利用图象即可求得结论. 【解答】解:不等式表示的区域如图所示,三个交点坐标分别为(0,1) , ( ,3) , (2,0) 目标函数 z=3|x|+|y﹣3|=3x﹣y+3,即 y=﹣3x+z﹣3,

∴目标函数过(2,0)时,取得最大值为 9,过( ,3)时,取得最小值为 ∴目标函数 z=3|x|+|y﹣3|的取值范围是 故选 A.

【点评】本题考查线性规划知识的运用,考查数形结合的数学思想,考查学生的计算能力, 属于中档题. 19. (3 分) (2015?北京校级模拟)如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有 一动点 P 到直线 A1B1 与直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在曲线的形状为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据题意可知 P 到点 B 的距离等于到直线 A1B1 的距离,利用抛物线的定义推断出 P 的轨迹是以 B 为焦点,以 A1B1 为准线的过 A 的抛物线的一部分.看图象中,A 的形状不 符合;B 的 B 点不符合;D 的 A 点不符合.从而得出正确选项. 【解答】解:依题意可知 P 到点 B 的距离等于到直线 A1B1 的距离, 根据抛物线的定义可知, 动点 P 的轨迹是以 B 为焦点, 以 A1B1 为准线的过 A 的抛物线的一 部分. A 的图象为直线的图象,排除 A. B 项中 B 不是抛物线的焦点,排除 B. D 项不过 A 点,D 排除. 故选 C. 【点评】 本题是基础题, 考查抛物线的定义和考生观察分析的能力, 数形结合的思想的运用, 考查计算能力,转化思想.

20. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末)已知 x∈[﹣ 值是( )



],则函数 y=sin x﹣cos x 的最小

4

4

A.﹣1B.﹣ C. D.1 【分析】 利用平方差公式将函数解析式变形, 再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的 余弦函数公式化简,整理为一个角的余弦函数,由余弦函数的值域即可确定出范围. 4 4 【解答】解:∵y=sin x﹣cos x 2 2 2 2 =(sin x+cos x) (sin x﹣cos x) =﹣cos2x, 又 x∈[﹣ , ],∴﹣ ≤2x≤ ,

∴﹣ ≤cos2x≤1, ∴﹣1≤﹣cos2x≤ . ∴函数 y=sin x﹣cos x 的最小值是﹣1. 故选:A. 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 21. (3 分) (2012?乌兰察布学业考试)一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直 线与这两个平面的交线的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 【分析】由题意设 α∩β=l,a∥α,a∥β,然后过直线 a 作与 α、β 都相交的平面 γ,利用平 面与平面平行的性质进行求解. 【解答】解:设 α∩β=l,a∥α,a∥β, 过直线 a 作与 α、β 都相交的平面 γ, 记 α∩γ=b,β∩γ=c, 则 a∥b 且 a∥c, ∴b∥c. 又 b?α,α∩β=l, ∴b∥l. ∴a∥l. 故选 C.
4 4

【点评】此题考查平面与平面平行的性质及其应用,解题的关键的画出图形,此题是道基础 题.

22. (3 分) (2013?杭州模拟)数列{an}中, ,则 a5+a6 等于( A. B. C. D. )

【分析】把 n=1 代入 an+an+2+an.an+2=1 可得 a3= ;把 n=2 代入可得 a4= ;把 n=3 代入可 得 a5= ;把 n=4 代入可得 a6= ,然后相加即可. 【解答】解:把 n=1 代入 an+an+2+an.an+2=1 可得 a1+a3+a1.a3=1,即 同理把 n=2 代入可得 同理把 n=3 代入可得 同理把 n=4 代入可得 ,解得 a3= ; ,解得 a4= ; ,解得 a5= ; ,解得 a6= ,

故 a5+a6= , 故选 A 【点评】本题考查数列的概念即表示,属基础题.

23. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末)在直角坐标系 xoy 中,“a>b”是“方程 椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分条件又不必要条件 【分析】根据椭圆的定义和方程,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.

=1 表示

【解答】解:若 a>b,则 a ≠b ,方程

2

2

=1 表示椭圆,是充分条件,

若方程

=1 表示椭圆,得不到 a>b,不是必要条件,

故选:A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 24. (3 分) (2015 春?嘉兴校级期末)正方形 ABCD 的边长为 2,E 是线段 CD 的中点,F 是线段 BE 上的动点,则 A.[1,0]B. C. 的取值范围是( )

D.[0,1]

【分析】建立直角坐标系,求出 B、C、E 的坐标,求出直线 BE 的方程,设 F(x, (0≤x≤2) ,由向量的坐标运算求出 表达式,利用二次函数的性质求出 、 的坐标,由向量的数量积坐标运算求出 的最值和值域.

) , 的

【解答】解:以 AB 为 y 轴,BC 为 x 轴建立直角坐标系, ∵正方形 ABCD 的边长为 2,E 是线段 CD 的中点, ∴B(0,0) ,C(2,0) ,E(2,1) , 则直线 BC 的方程是 y= 设 F(x, 则 则 =(x, ) (0≤x≤2) , ) , =(2﹣x,﹣ = 的对称轴 x= , 取到最大值是 , 取到最小值是﹣1, ) , , (0≤x≤2) , ,

=x(2﹣x)

∵函数 y= ∴当 x= 时,函数 y= 当 x=2 时,函数 y=

故 的取值范围是[﹣1, ], 故选:B

【点评】本题考查向量的数量积坐标运算,向量的坐标运算,以及二次函数的性质,属于中 档题. 25. (3 分) (2014?开化县校级模拟)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) ,设 an=f * (n+3) ﹣( f n) , n∈N , 数列{an}的前 n 项和为 Sn 单调递增, 则下列不等式总成立的是 ( ) A.f(3)>f(1)B.f(4)>f(1)C.f(5)>f(1)D.f(6)>f(1) 【分析】由已知条件推导出 an=6an+9a+3b,所以数列{an}是一个等差数列.要使前 n 项和递 增,必须满足:公差大于 0 且从第二项起往后都是正数.由此能求出 f(6)>f(1)总成立.
2

【解答】解:∵二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) , an=f(n+3)﹣f(n) , ∴ =6an+9a+3b, ∴数列{an}是一个等差数列. 要使前 n 项和递增,必须满足:公差大于 0 且从第二项起往后都是正数. 由 a2=21a+3b>0,得 7a+b>0, ∵f(6)﹣f(1)=5(7a+b)>0, ∴f(6)>f(1)总成立. 故选:D. 【点评】本题考查二次函数的性质的应用,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的 性质的灵活运用. 二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 2 2 26. (2 分) (2011?封开县校级模拟)圆 x +y ﹣4x+4y+6=0 截直线 x﹣y﹣5=0 所得的弦长为 . 【分析】 求出圆的圆心坐标, 求出半径, 利用圆心到直线的距离, 利用勾股定理求出半弦长, 即可得到结果. 【解答】解:圆 x +y ﹣4x+4y+6=0 的圆心坐标(2,﹣2) ,半径为
2 2

2



圆到直线的距离为:

=



又因为半径是 故答案为 .

,所以半弦长为

=

;弦长为



【点评】直线与圆的关系中,弦心距、半径、弦长的关系,是高考考点,考查计算能力,本 题是基础题. 27. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末) 已知 a>0, b>0, 若 ab=2a+b, 则 ab 的最小值是 8 . 【分析】利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵a>0,b>0,ab=2a+b, ∴ ,

解得 ab≥8,当且仅当 2a=b=4 时取等号. ∴ab 的最小值为 8. 故答案为:8. 【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

28. (2 分) (2007?南通模拟)已知

,则

=



【分析】矩中
2

,我们易得 , 的夹角为 120°,进而可求出 的值,开方即可得到答案. ,

=

【解答】解:∵ ∴ , 的夹角为 120° 则 ∴ 故答案为:
2

=

=3

=

【点评】本题考查的知识点是向量的模,其中根据已知判断出 , 的夹角为 120°,是解答 本题的关键.

29. (2 分) (2016?上海一模)已知函数 f(x)=

则使 f[f(x)]=2 成立的实

数 x 的集合为 {x|0≤x≤1,或 x=2} . 【分析】结合函数的图象可得,若 f[f(x)]=2,则 f(x)=2 或 0≤f(x)≤1.若 f(x)=2, 由函数 f(x)的图象求得 x 得范围;若 0≤f(x)≤1,则由 f(x)的图象可得 x 的范围,再 把这 2 个 x 的范围取并集,即得所求.

【解答】解:画出函数 f(x)=

的图象,

如图所示:故函数的值域为(﹣∞,0)∪(1,+∞) . 由 f[f(x)]=2 可得 f(x)=2 或 0≤f(x)≤1. 若 f(x)=2,由函数 f(x)的图象可得 0≤x≤1,或 x=2. 若 0≤f(x)≤1,则由 f(x)的图象可得 x∈?. 综上可得,使 f[f(x)]=2 成立的实数 x 的集合为{x|0≤x≤1,或 x=2}, 故答案为 {x|0≤x≤1,或 x=2}.

【点评】 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系, 体现了数形结合与分类讨论的数学思 想,属于中档题.

30. (2 分) (2015 春?嘉兴校级期末)对 a,b∈R,记 max{a,b}= =max{|x+1|,|x﹣m|}(x∈R)的最小值是 ,则实数 m 的值是 2 或﹣4 .

,函数 f(x)

【分析】将 f(x)写成分段函数的形式,求得 f(x)的对称轴为 x= 最小值,解方程可得 m 的值. 【解答】解:函数 f(x)=max{|x+1|,|x﹣m|}

,代入即可得到

=



由 f(x)的解析式可得,f(

+x)=f(

﹣x) ,

即有 f(x)的对称轴为 x=



则 f(

)=|

|= ,

解得 m=2 或﹣4, 故答案为:2 或﹣4. 【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查绝对值函数的最值的求法,运用对称性是解题 的关键,属于中档题. 三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31. (7 分) (2005?重庆一模)在△ ABC 中,设 a,b,c 是角 A,B,C 所对的边,S 是该三 角形的面积,且 (I)求角 B 的度数; (II)若 ,求 b 的值. .

【分析】 (I)利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式,得到 cosB 的值,由 B 的范围, 利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (II)由 a,cosB 及三角形的面积 S,利用面积公式求出 c 的值,然后由 a,c 及 cosB 的值, 利用余弦定理即可求出 b 的值. 【解答】解: (I)由



所以

, ; ,得
2

∵0<B<π,∴ (II)由
2 2

, ,

则 b =a +c ﹣2accosB= ∵b>0,∴ .

【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,三角形的面积公式及余弦定理,熟练掌握公式 及定理是解本题的关键. 32. (7 分) (2015 春?嘉兴校级期末) 如图, 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AB=2, AD=AA1=1, 点 E 是棱 AB 的中点 (1)求证:B1C∥平面 A1DE; (2)求异面直线 B1C 与 A1E 所成角的大小.

【分析】 (1)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,由 A1D∥B1C,能证明 B1C∥平面 A1DE. (2)由 A1D∥B1C,知∠DA1E 是异面直线 B1C 与 A1E 所成角,由此能求出异面直线 B1C 与 A1E 所成角的大小. 【解答】证明: (1)∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1D∥B1C, A1D?平面 A1DE,B1C?平面 A1DE, ∴B1C∥平面 A1DE. 解: (2)∵A1D∥B1C,∴∠DA1E 是异面直线 B1C 与 A1E 所成角, ∵AB=2,AD=AA1=1,点 E 是棱 AB 的中点, ∴A1D= ,A1E= = ,DE= = ,

∴△A1DE 是等边三角形, ∴∠DA1E=60°, ∴异面直线 B1C 与 A1E 所成角为 60°.

【点评】本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时 要认真审题,注意空间思维能力的培养. 33. (8 分) (2011?湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离 的差等于 1. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求 的最小值.

【分析】 (Ⅰ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,根据两点间距离公式和点到直线的距离公式, 列方程,并化解即可求得动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设出直线 l1 的方程,理想直线和抛物线的方程, 消去 y,得到关于 x 的一元二次方程, 利用韦达定理,求出两根之和和两根之积,同理可求出直线 l2 的方程与抛物线的交点坐标, 代入 利用基本不等式求最值,即可求得其的最小值. ,

【解答】解: (Ⅰ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,由题意得
2

化简得 y =2x+2|x|. 2 当 x≥0 时,y =4x;当 x<0 时,y=0, 2 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 y =4x(x≥0)和 y=0(x<0) . (Ⅱ)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为零,设为 k,则 l1 的方程为 y=k(x﹣1) .



,得 k x ﹣(2k +4)x+k =0.

2 2

2

2

设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 x1+x2=2+ ∵l1⊥l2,∴直线 l2 的斜率为﹣ .

,x1x2=1.

设 D(x3,y3) ,E(x4,y4) ,则同理可得 x3+x4=2+4k ,x3x4=1. 故 = = = =(x1+1) (x2+1)+(x3+1) (x4+1)

2

=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+x3+x4+1
2 2

1+2+

+1+1+2+4k +1=8+4(k +

)≥8+4×2=16,

当且仅当 k =

2

,即 k=±1 时,

的最小值为 16.

【点评】此题是个难题.考查代入法求抛物线的方程,以及直线与抛物线的位置关系,同时 也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. 34. (8 分) (2015?上海模拟)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b∈R)满足条件:①当 x∈R 时,f(x)的最大值为 0,且 f(x﹣1)=f(3﹣x)成立;②二次函数 f(x)的图象与直线 y=﹣2 交于 A、B 两点,且|AB|=4 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求最小的实数 n(n<﹣1) ,使得存在实数 t,只要当 x∈[n,﹣1]时,就有 f(x+t)≥2x 成立.
2

【分析】 (Ⅰ) 根据题意可假设 f (x) =a (x﹣1) . (a<0) , 令a (x﹣1) =﹣2, x=1 求解即可得出解析式. (Ⅱ)利用不等式解得﹣t﹣1 恒成立,转化为令 g(t)=﹣t﹣1﹣2 ≤x

2

2



,又 f(x+t)≥2x 在 x∈[n,﹣1]时 ,易知 g(t)=﹣t﹣1﹣2 单调递减,

所以,g(t)≥g(4)=﹣9,得出 n 能取到的最小实数为﹣9. 【解答】解: (Ⅰ)由 f(x﹣1)=f(3﹣x)可知函数 f(x)的对称轴为 x=1, 由 f(x)的最大值为 0,可假设 f(x)=a(x﹣1) . (a<0)
2 2

令 a(x﹣1) =﹣2,x=1 所以,f(x)=﹣ (x﹣1) . (Ⅱ)由 f(x+t)≥2x 可得, 解得﹣t﹣1 ≤x
2

,则易知 2

=4,a=﹣ .

(x﹣1+t) ≥2x,即 x +2(t+1)x+(t﹣1) ≤0, ,

2

2

2

又 f(x+t)≥2x 在 x∈[n,﹣1]时恒成立, 可得由(2)得 0≤t≤4. 令 g(t)=﹣t﹣1﹣2 ,易知 g(t)=﹣t﹣1﹣2 单调递减,

所以,g(t)≥g(4)=﹣9, 由于只需存在实数,故 n≥﹣9,则 n 能取到的最小实数为﹣9. 此时,存在实数 t=4,只要当 x∈[n,﹣1]时,就有 f(x+t)≥2x 成立. 【点评】本题考查了函数的解析式的求解,方程组求解问题,分类讨论求解,属于中档题.


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