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数学归纳法证明数列不等式_图文

数学归纳法证明

数列不等式问题的技巧

1 例1、设数列 a n } 中, ? 2, an ?1 ? an ? (n ? 1). { a1 an
证明:对一切正整数n, an ? 2n ? 1 都成立。

a 当 n ? 1 时, 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ,不等式成立。 n ? k (k ? N * ) 时结论成立,即 ak ? 2k ? 1 假设 则 n ? k ? 1时, 1 1 2 2 a k ?1 ? a k ? 2 ? 2 ? 2k ? 1 ? 2 ? 2 ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1 ak ak
a ?当 n ? k ? 1 时,
k ?1

? 2(k ? 1) ? 1

对一切正整数 n , an ? 2n ? 1 都成立。 综上,

a 已知数列{an }中,1 ? 2, an ?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2)  n ? 1. 例2、 (1)求 {an } 的通项公式 3bn ? 4 (2)若数列{bn } 中 b1 ? 2, bn?1 ? 2b ? 3 , n ? 1, 2,3, ???

证明:2 ? bn ? a4 n ?3 , n ? N * 解:(1)
? ( 2 ? 1)( an ? 2) ? 2 ? an ?1 ? 2 ? ( 2 ? 1)(an ? 2)

n

an ?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) ? ( 2 ? 1)( an ? 2) ? ( 2 ? 1)(2 ? 2)

?{an ? 2}是首项为a1 ? 2 ? 2 ? 2

,公比为 2 ? 1

的等比数列

? an ? 2 ? (2 ? 2)( 2 ? 1) n ?1 ? 2( 2 ? 1) n ,

? an ? 2[( 2 ? 1) n ? 1]

(2)用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 ? 2 ? 2, b1 ? a1 ? 2,? 2 ? b1 ? a1 时, ,结论成立; ②假设n ? k (k ? 1, k ? N *) 时结论成立,即
2 ? bk ? a4 k ?3 ? 0 ? bk ? 2 ? a4 k ?3 ? 2

则 n ? k ?1 时,bk ?1 ? 又
1 1 ? 2bk ? 3 2 2 ? 3

2?

3bk ? 4 (3 ? 2 2)bk ? 4 ? 3 2 ? 2? 2bk ? 3 2bk ? 3

?

(3 ? 2 2)(bk ? 2) ? ?0 2bk ? 3 ? 3? 2 2

(3 ? 2 2)(bk ? 2) ? (3 ? 2 2) 2 (bk ? 2) ? ( 2 ? 1) 4 ( a4 k ?3 ? 2) ? bk ?1 ? 2 ? 2bk ? 3

? ( 2 ? 1) 4 2( 2 ? 1) 4 k ?3 ? 2( 2 ? 1) 4 k ?1

? 2[( 2 ? 1)

4 k ?1

? 1] ? 2 ? a4 k ?1 ? 2

即当 n ? k ? 1时,结论也成立。 根据①②可知,对任意的 n ? N * ,不等式

2 ? bn ? a4 n ?3 , n ? N *都成立。

例3、已知数列 {bn } 满足条件 b1

3n 2 ? n ? 1 ,前 n 项和 Sn ? 2

{b 1.(1)求 n }的通项公式; 1 (2)设数列{an } 满足条件a1 ? 2, an ? (1 ? b )an?1,试比较 n an 与 3 bn ?1 的大小。 解:(1)略 bn ? 3n ? 2(n ? N *) ? a1 ? 2 ? 3 8, 3 b2 ? 3 4 ? a1 ? 3 b2 (2) 1 5 3 1 由 an ? (1 ? )an?1可知 a2 ? (1 ? )a1 ? ? b3 ? 3 7


猜想:对任意的 n ? N * ,都有 an ? 3 bn?1 下面用数学归纳法加以证明: ①当 n ? 1时,显然成立

bn

b2

2

②假设 n ? k (k ? 1, k ? N *) 时猜想成立,即
ak ? 3 bk ?1

则 n ? k ? 1 时,
1 3 1 1 3 ) 3k ? 1 ak ?1 ? (1 ? )ak ? (1 ? ) bk ?1 ? (1 ? bk ?1 bk ?1 3k ? 1
3k ? 2 3 (3k ? 2) 3 27k 3 ? 54k 2 ? 36k ? 8 ? 3k ? 1 ? 3 2 ? 3 3k ? 1 (3k ? 1) (3k ? 1) 2
(27k 3 ? 54k 2 ? 27k ? 4) ? (9k ? 4) ?3 (3k ? 1) 2

?

3

27 k 3 ? 54k 2 ? 27 k ? 4 (3k ? 1) 2

(27 k 3 ? 18k 2 ? 3k ) ? (36k 2 ? 24k ? 4) ?3 (3k ? 1) 2 3k (9k 2 ? 6k ? 1) ? 4(9k 2 ? 6k ? 1) ?3 (3k ? 1) 2 3 3k (3k ? 1) 2 ? 4(3k ? 1) 2 ?3 (3k ? 1) 2 (3k ? 1) 2 (3k ? 4) ?3 (3k ? 1) 2


目标是:

bk ? 2 ? 3 3k ? 4
2

(3k ? 1) (3k ? 4) ?3 2 (3k ? 1)

27 k 3 ? 54k 2 ? 27 k ? 4 ?3 ? 3 3k ? 4 ? 3 bk ? 2 2 (3k ? 1) 即当 n ? k ? 1 时,猜想也成立。 综上可知,对任意的 n ? N * ,都有 an ? 3 bn ?1

【例4】 (08· 安徽高考)设数列{an}满足a1=0, 3 an+1=c a n+1-c,n∈N*,其中c为实数. (Ⅰ)证明:an∈[0,1]对任意n∈N*成立的充分必要 条件是c∈[0,1]; 1 n ?1 (Ⅱ)设0<c< ,证明:an≥1- (3c) ,n∈N*; 3 1 (Ⅲ)设0<c< ,证明:
3

2 a ? a ? a ? ??? ? a ? n ?1? ,n? N * 1 ? 3c
2 1 2 2 2 3 2 n

证明(Ⅰ)必要性:∵a1=0,a2=1-c, 又∵a2∈[0,1],∴0≤1-c≤1,即c∈[0,1]. 充分性:设c∈[0,1], 对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0,1]. (1)当n=1时,a1∈[0,1]. (2)假设当n=k时,ak∈[0,1](k≥1)成立,则
3 ak+1=c k +1-c≤c+1-c=1, 3 且ak+1=c k +1-c≥1-c≥0,

a

a

∴ak+1∈[0,1],这就是说n=k+1时,an∈[0,1]. 由(1)、(2)知,当c∈[0,1]时,知an∈[0,1] 对所有n∈N*成立.综上所述,an∈[0,1]对任意 n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0,1].

1 (Ⅱ)设0<c< ,当n=1时,a1=0,结论成立. 3

当n≥2时,由 an=can?13+1-c,

∴1-an=c(1-an?1)(1+an?1+an?12)
1 ∵0<c< ,且由(Ⅰ)知an?1∈[0,1]所以 32

1+an?1+an?1 ≤3,1-an?1≥0,因此1-an≤3c(1-an-1) ∴1-an≤3c(1-an?1)≤(3c)2(1-an?2)≤… ≤(3c)n?1(1-a1)=(3c)n?1, ∴an≥1-(3c)n?1,n∈N*.

2 1 2=0>2- (Ⅲ)设0<c< ,当n=1时,a1 1 ? 3c , 3

结论成立. 当n≥2时,由(Ⅱ)知an≥1-(3c)n?1>0,

∴an2≥[1-(3c)n?1] 2=1-2(3c)n?1+(3c)2(n?1)>1-2(3c)n?1, a12+a22+…+an2=a22+…+an2 >n-1-2[3c+(3c)2+…+(3c)n?1] =n-1-2[1+3c+(3c)2+…+(3c)n?1-1]
2[1 ? (3c) ] =n+1- 1 ? 3c
n
.

2 >n+1- 1 ? 3c

【例5.】 设a n= 1× 2 + 2× 3 +…+ 1 1 证明: n(n+1)<a n < (n+1) 2
2
2

n( n ? 1)

(n∈N*)

(1) 证: n ? 1时,显然成立 (2)假设 n ? k 时,不等式成立,
则 n ? k ?1 时
1 1 即 k (k ? 1) ? ak ? (k ? 1) 2 成立 2 2

1 ak ?1 ? ak ? (k ? 1)(k ? 2) > k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2) 2 1 1 2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1) ? k (k ? 1) ? (k ? 1) 2 2 1 ? (k ? 1)(k ? 2) 2

1 又ak ?1 ? ak ? (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1) 2 ? (k ? 1)(k ? 2) 2 1 1 9 2 2 2 2 ? (k ? 1) ? k ? 3k ? 2 ? (k ? 1) ? k ? 3k ? 2 2 4 1 3 2 1 3 2 2 ? (k ? 1) ? (k ? ) ? (k ? 1) ? (k ? ) 2 2 2 2 1 2 1 ? (k ? 4k ? 4) ? (k ? 2) 2 2 2

?n ? k ? 1时,不等式也成立

综上可知,对一切n∈N*,不等式均成立

1 由 n( n ? 1) <n+ 可得, 2 1

1 1 an <1+2+3+…+n+ ×n= n(n+1)+ n 2 2 2
1 1 2 = (n +2n)< (n+1)2 2 2 1 1 (n+1)2 所以 n(n+1)<a n <

2

2


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