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三角函数讲义


第二节

三角函数

2.1 任意角的概念与弧度制
2.1.1 角的概念的推广
基础知识: 1 角 ? 和 ? 终边相同: ? ? ? ? k ? 360?
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k ?Z

2 几种终边在特殊位置时对应角的集合为:
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角的终边所在位置 X 轴正半轴 Y 轴正半轴 X 轴负半轴 Y 轴负半轴 X轴 Y轴 坐标轴

角的集合

?? | ? ? k ? 360?,

k ? Z? k ? Z?
k ? Z?

?? | ? ? k ? 360? ? 90?,
?? | ? ? k ? 360? ? 180?,

?? | ? ? k ? 360? ? 270?,
?? | ? ? k ?180?,
k ? Z?

k ? Z?

?? | ? ? k ?180? ? 90?, ?? | ? ? k ? 90?,
k ? Z?

k ? Z?

3 弧度制定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度角, ? ?
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角度制与弧度制的互化: 180 ? ? ?

l R

1? ?

?
180

1 弧度 ?

180 ?

?

? 57.3?

4 弧长公式: l ?| ? | r
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( ? 是圆心角的弧度数)

5 扇形面积公式: S ?
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1 1 l r ? |? | r2 2 2

1.2 任意角三角函数
1.2.1 三角函数的定义
一、任意角的三角函数定义

正弦 sin ? ?

y x y x , 余弦 cos ? ? , 正切 tan ? ? , 余切 cot ? ? . r r x y

二、三角函数的定义域:
-1-

三角函数 f ( x) ? sinx
f ( x) ? cosx f ( x) ? tanx f ( x) ? cotx f ( x) ? secx f ( x) ? cscx

定义域

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

三、题型体系 (一)角终边上一点坐标与三角函数值的关系

1:

? 终边过点(- 3 , y),sin ? ?

3 y, 4 判断角? 所在象限, 并求 cos ? , tan ?

2:

(1)? 终边过p(4t , ?3t )(t ? 0)求2sin ? ? cos ?   (2) ? 终边在y ? 3x上, 求 sin ? ,cot ?
sin x cos x tan x cot x 值域. ? ? ? sin x cos x tan x cot x

(二)角位置与函数值正负的关系:一正、二正弦、三切、四余弦。 3: y ?

三.取值范围与象限 :点 A 在一原点为圆心的圆周上依逆时针方向做匀速圆周运动 ,已知点 A 从 x 轴正半轴出发一分钟转 过 ? (0 ? ? ? ? ) 角,2 分钟到达第三象限,14 分钟在原来出发的位置,则 ? =_______.

1.2.2 单位圆与三角函数线
一、单位圆的三角函数线定义 如图(1)PM 表示 ? 角的正弦值,叫做正弦线。OM 表示 ? 角的余弦值,叫做余弦线。 如图(2)AT 表示 ? 角的正切值,叫做正切线。 AT ? 表示 ? 角的余切值,叫做余切线。 注:线段长度表示三角函数值大小,线段方向表示三角函数值正负

二、题型:三角函数线主要应用于数形结合比较大小。
-2-

? 常用结论 sin x < x < tan x, x ? (0, ) 2
1:比较 ? ,sin ? , tan ? 大小.( ? 为锐角) 2:比较 sin(cos ? ),cos ?,cos(sin ?) 大小.( ? 为锐角) 3: sin(? ? ? ) ? 0,cos(? ? ? ) ? 0 ,则下列恒成立的是( ) A. tan

?
2

? cot

?
2

B. tan

?
2

? cot

?
2

C. sin

?
2

? cos

?
2

D. sin

?
2

? cos

?
2

1.2.3 同角三角函数的基本关系式
一、同角三角函数关系式 (1) sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 (2)商数关系:

sin ? ? tan ? cos ?

cos ? ? cot ? sin ?

2 2 2 2 2 2 (3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tan ? ? sec ? , 1 ? cot ? ? csc ?

1:已知 sin ? ? cos ? ? , ? ? (0, ? ) ,则 cot ? 的值是________.
2 2:已知 tan ? 是方程 x ? 2 x sec? ? 1 ? 0 的两个根中较小的根,求 ? 的值.

1 5

3:已知 sin(? ? ? ) ? 0,cos(? ? ? ) ? 0 ,则下列不等式关系中必定成立的是( ) A. tan C. sin

? ?
2

? cot ? cos

? ?
2

B. tan D. sin

? ?
2

? cot ? cos

? ?
2

2

2

2

2

二、题型: (一)化简 1: 化简 (二)求值
2 2: (1) tan ? ? 3 ,求 sin ? ?

1 ? sin 6 ? ? cos6 ? sin 2 ? ? sin 4 ?

2 1 cos 2 ? . 3 4 2sin ? ? 3cos ? (2) tan ? ? 2 ,求 . 4sin ? ? 9cos ?
2 2 (3) tan ? ? 2 ,求 4sin ? ? 3sin ? cos ? ? 5cos ?

(三)证明 3: 证明

1 ? sin ? ? cos ? cos ? ? 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ?

1.2.4 诱导公式
一、诱导公式:奇变偶不变,符号看象限

-3-

sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x
sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot x
二、题型 (一)化简 1:化简 sin(

sin(? x ) ? ? sin x cos(? x ) ? cos x tan(? x ) ? ? tan x cot(? x ) ? ? cot x
sin( ? ? x) ? sin x

sin( ? ? x) ? ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot x
1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? ? cot ? 2

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 cos( ? ? x) ? ? cos x 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 tan(? ? x) ? ? tan x 1 cot(? ? x) ? ? cot x tan( 2 ? ? ? ) ? cot ?

4k ? 1 4k ?1 ? ? 2) ? cos( ? ? 2) . 4 4
2

2:运用定义化简 cot ? ? sec

? ?1

2 2 3: sin ? ? tan? ? cos ? ? cot? ? 2 sin ? ? cos?

4:化简 (二)求值

1 ? cos? 1 ? cos? 3 ? ( ? <? < ? ) 2 1 ? cos? 1 ? cos?

1: tan ? ,cot ? 是关于 x 的方程 x2 ? kx ? k 3 ? 3 ? 0 的两个 实数根, 3? ? ? ? 2: 求下列式子的值 (1) sin(?1320?)cos120? ? cos(?1020?)sin 750? ? tan 495? (2) sin(? (三)证明 1:根据定义证明

7 ? ,求 cos(3? ? 2) ? sin(? ? 2) 的值. 2

11 12 13 ? ) ? cos ? ? tan 4? ? sec ? 6 5 3 1 ? sec ? ? tan ? 1 ? sin ? ? 1 ? sec ? ? tan ? cos ?

2 4 6 6 2:求证 1 ? 3 sin ? sec ? ? tan ? ? sec ?

1.3 三角函数的图像与性质
一、基本图像: 1.正弦函数 2.余弦函数

3.正切函数

4.余切函数

-4-

二、函数图像的性质 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域

R

R

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

值域 周期 奇偶性

[?1,?1]

[?1,?1]

R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数

奇函数
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?

奇函数

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2 k? ? 2 ? ? ? 2 ( A ), ( ? A ) ? ? ? ? ? ? ? ?

[?

?
2

? 2k? ,

[?2k ? 1?? , 2k? ]

? k? , k? ? ? ?
上为减函数 (k?Z )

?
2

? 2k? ]

上为增 单调性
[ ? 2k? , 2 3? ? 2k? ] 2

?

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z ) 对称轴为 x ? k? , 对称中心
( k? ?
k ?Z

上为增函数 (k?Z )

上为增函数;
? 3? ? ? 2k? ? ?? ? 2k? ? 2 ? ? ? 2 ( A), ( A) ? ? ? ? ? ? ? ?

上为减函数 (k?Z )

上为减函 数 (k ?Z ) 对称性 对称轴为
x ? k? ?

?
2

无对称轴, 对称中心为
k? ( , 0) k ? Z 2

无对称轴, 对称中心为
k? ( , 0) k ? Z 2

对称轴是直线
?x ? ? ? k? ? ?
2 (k ? Z ) 凡

对称中心 (k? ,0) ,
k ?Z

?
2

, 0)

是该图象与直线

y ? 0 的交点都是该
图象的对称中心
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特级教师 王新敞
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-5-

三 和角公式 两角和与差的公式

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?
四 倍角公式和半角公式 (一)倍角与半角公式:

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

tan(? ? ? ) ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
sin

?
2

??

1 ? cos? 2

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?
cos

?
2

??

1 ? cos? 2

tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan2 ?
1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?

tan

?
2

??

(二)万能公式:

sin? ?

2 tan

?
2

1 ? tan 2

?
2

cos? ?

1 ? tan 2 1 ? tan 2

? ?
2 2

6

tan? ?

2 tan

?
2

1 ? tan2
六 三角函数的积化和差与和差化积 公式

?
2

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2? 1 1 cos ? sin ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2? 1 sin ? sin ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? 2? sin ? cos ? ?

sin ? ? sin ? ? 2sin
sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2
2

cos

? ??
2
2 cos ? ? cos ? ? ?2sin

? ??

sin

? ??

? ??
2

sin

? ??
2

sin 15? ? cos75? ?

6? 2 6? 2 ? ? , sin 75 ? cos15 ? , 4 4
tan75? ? cot15? ? 2 ? 3

tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 ,

7



任意角的三角函数(运算法则)

1.(2009 全国卷Ⅰ) sin585o 的值为 (A) ?

2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。 解: sin585o ? sin( 360o ? 225o ) ? sin( 180o ? 45o ) ? ? sin45o ? ? 2.(2009 重庆卷)下列关系式中正确的是( A. sin110 ? cos100 ? sin1680 C. sin110 ? sin1680 ? cos100 【答案】C 解析因为 sin160? ? sin(180? ?12? ) ? sin12? ,cos10? ? cos(90? ? 80? ) ? sin80? , 由于
? ? ? 正弦函数 y ? sin x 在区间 [0? ,90? ] 上为递增函数,因此 sin11 ? sin12 ? sin 80 ,

2 ,故选择 A 。 2



B. sin1680 ? sin110 ? cos100 D. sin1680 ? cos100 ? sin110

? ? ? 即 sin11 ? sin160 ? cos10 。 2 2 3.(2009 辽宁卷)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

(A) ?

4 3
2

(B)

5 4
2

(C) ?

3 4

(D)

4 5

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? 【解析】 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ?
= 【答案】D 4.(2009 北京)若 sin ? ? ? 【答案】 ?

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = ? 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1
4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

.

3 5

【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

? 在第三象限, 由已知, ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ?
2

3 3 ? 4? ∴应填 ? . ? ?? , 5 5 ? 5?

2

8

5.(2008 全国Ⅱ卷)若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是( A.第一象限角 象限角 【答案】C B.第二象限角

) C.第三象限角 D.第四

【解析】 sin ? ? 0 , ? 在三、四象限; tan ? ? 0 , ? 在一、三象限,∴选 C 6.(2008 陕西卷) sin 330? 等于( ) A. ?

3 2

B. ?

1 2 1 2

C.

1 2

D.

3 2

【答案】 B
? 【解析】 sin 330? ? ? sin 30 ? ?

7.(2008 四川卷)若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是 ( A. (

)

? ? , ) 3 2

B. (

?
3

,? )

C. (

?

4? ) 3 3 ,

D. (

? 3?
3 , 2

)

【答案】C 【解析】∵ sin ? ? 3 cos ? ∴ sin ? ? 3 cos ? ? 0 ,即 2 ? sin ? ?

?1 ?2 ?

? 3 ?? ? cos ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 0 ? 2 3? ? ?

又∵ 0 ? ? ? 2?

∴?

? ? 5? ? ? ? 4? ? , ∴0 ?? ? ? ? , 即 x ?? , ?? ? ? ? 故选 C; 3 3 3 3 ?3 3 ?
1 cos ? ? sin ? ?( ,则 2 cos ? ? sin ?
C.3 ) D. ?3

8. (2008 四川延考)已知 tan ? ? A.2 【答案】 C 【解析】 B. ?2

cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ?3 cos ? ? sin ? 1 ? tan ?


9.(2008 北京卷)若角 ? 的终边经过点 P(1 , ? 2) ,则 tan 2? 的值为

【答案】

4 3 ?2 2 tan ? 4 ? ?2,? tan 2? ? ? . 2 1 1 ? tan ? 3
9

【解析】? tan ? ?

10. (2007 全国卷) ? 是第四象限角, cos ? ? A.

12 ,则 sin ? ? ( 13
C.

) D. ?

5 13

B. ?

5 13

5 12

5 12

【答案】B 【解析】 ? 是第四象限角, cos ? ?

12 5 2 ,则 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? ,选 B。 13 13

11. (2007 全国卷) sin 210? ? ( A.

) C.

3 2

B. ?

3 2
1 ,选 D. 2


1 2

D. ?

1 2

【答案】D 【解析】sin2100 = ? sin 30? ? ?

? 12. (2007 全国卷) cos 330 ? (

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

【答案】C
? 【解析】 cos 330 ? cos 30? ?

3 ,选 C. 2
) D.1

13.(2007 福建卷) sin15? cos 75? ? cos15? sin105? 等于( A.0 【答案】D B.

1 2

C.

3 2

【解析】sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1,选 D 14. (2007 湖北卷) tan 690? 的值为( A.3 3

) C. 3 D. 3

B.

3 3

【答案】A 【解析】tan690°=tan(720°-30°)=-tan30°=15. (2007 全国卷) ? 是第四象限角, tan ? ? ?
10

3 ,选 A。 3

5 ,则 sin ? ? ( 12



A.

1 5

B. ?

1 5

C.

5 13

D. ?

5 13

【答案】D 【解析】 ? 是第四象限角, tan ? ? ?

5 1 5 ,则 sin ? ? - ?? 2 12 13 1 ? tan ?

16. (2007 江西卷)若 tan ? ? 3 , tan ? ? A. ?3 【答案】D B. ?

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于( 3
C. 3



1 3

D.

1 3

4 tan ? ? tan ? 3 ? 1 . 所以选 D. 【解析】 tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 ? 4 3 3 3?

17.(2007浙江卷)已知 cos ? A. ?

? 3 ?? ? ,且 ? ? ,则 tan ? ? ( ?? ? ? 2 ?2 ? 2
B.



3 3

3 3

C.- 3

D.

3

【答案】C 【解析】由 cos ?

? 1 3 3 ?? ? ,得 sin ? ? ? ,又 ? ? ,∴ cos ? ? ∴tan ? =- ?? ? ? 2 2 2 ?2 ? 2

3。

18. (2007 重庆卷)下列各式中,值为 A. 2sin15? cos15? C. 2 sin2 15? ? 1 【答案】B

3 的是( 2



B. cos 2 15? ? sin2 15? D. sin2 15? ? cos 2 15?

【解析】 cos 2 15? ? sin 2 15? ? cos30? ?

3 . 2

19. (2007 天津卷) "? ?

2? ?? ? " 是 "tan ? ? 2 cos ? ? ? ? " 的( 3 ?2 ?
11

)

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?2 ? ?? ? ?2 ? 【解析】 tan ? ? tan ? ? ? ? ? 3, 2cos ? ? ? ? ? 2sin(?? ) ? ?2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ? ?2 ? ?3 ?

?? ? 可知充分,当 ? ? 0? 时 tan ? ? 0, 2 cos ? ? ? ? ? 0 可知不必要。 2 ? ?
20. (2007 北京卷)已知 cos ? ?tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 【答案】C 【解析】 ∵ cos ? ?tan ? ? 0 , ∴ 当 cosθ<0, tanθ>0 时, θ∈第三象限; 当 cosθ>0, tanθ<0 时,θ∈第四象限,选 C. 21. (2007 江西卷)若 tan ? A. ?2 【答案】A



B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

?π ? ? ? ? ? 3 ,则 cot ? 等于( ?4 ?
B. ?



1 2

C.

1 2

D. 2

? tan? 1 ?π ? 4 【解析】由 tan ? ? ? ? ? 3 得 ? 3 ? tan? ? ? ,所以 cot ? = ?2 ,选 A. ? 2 ?4 ? 1 ? tan tan? 4 tan

?

22. (2007 海、宁卷)若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
B. ?



A. ? 【答案】C

7 2

1 2

C.

1 2

D.

7 2

【解析】

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? 2 ? ? ? 2(sin ? ? cos ? ) ? ? , π? 2 ? 2 sin ? ? ? ? (sin ? ? cos ? ) 4? ? 2

1 ? cos ? ? sin ? ? . 2
12

24. (2007 陕西卷)已知 sin ? ? A. ?
3 5

5 ,则 sin4 ? ? cos 4 ? 的值为( 5

) D.
3 5

B. ?

1 5

C.

1 5

【答案】A 【解析】 sin4 ? ? cos 4 ? = sin 2 ? ? cos2 ? = 2 sin 2 ? ? 1 = ?
3 ,选 A。 5

25. (2007 山东卷)函数 y ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期和最大值分别为 (

?

?

6

3



A. ? ,1 【答案】A

B. ? , 2

C. 2? ,1

D. 2? , 2

【解析】化成 y ? A sin(? x ? ? ) 的形式进行判断即 y ? cos 2 x 。

26. (2007 江苏卷)若 cos(? ? ? ) ? 【答案】

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? tan ? ? 5 5

.

1 2 1 5


【解析】 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 5

2 ? cos ? cos ? ? ? ? 5 求出 ? ?sin ? sin ? ? 1 ? 5 ?

?t a n ?t an ??

sin ?sin ? 1 ? co? s cos ? 2

27. (2007 浙江卷) 已知 sin ? ? cos ? ? 【答案】 ?

1 ? 3? o s2 ? 的值是 , 且 ≤? ≤ , 则c 5 2 4



7 25

【解析】本题只需将已知式两边平方即可。∵ sin ? ? cos ? ?

1 ∴两边平方得: 5

sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ?

1 1 24 ,即 1 ? sin 2? ? ,∴ sin 2? ? ? 25 25 25

?cos 2? ? ? 1 ? sin2 2? ? ?

7 . 25

13

28.(2007浙江卷)若 sin ? ? cos ? ? 【答案】 ?

1 ,则 sin 2? 的值是________. 5

24 25 1 ∴两边平方得: 5

【解析】本题只需将已知式两边平方即可。∵ sin ? ? cos ? ?

sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ?


1 1 24 ,即 1 ? sin 2? ? ,∴ sin 2? ? ? 25 25 25

两角和与差的三角函数(运算法则)

1.(2009 全国卷Ⅰ)若 解:令 tan x ? t , ?

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为



?
4

?x?

?
2

?t ? 1,

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? y ? tan 2 x tan x ? ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? tan x 1 ? t 2 ? ( ? ) ? ? t4 t2 t2 2 4 4
3

2.(2009 湖南卷)若 x∈(0, 【答案】 :2 2

? ? )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 2 2 . 2 2

【 解 析 】 由 x ? (0,

?
2

) , 知 t a? n?

2 t a?n?

tan ?? ( 2

?

0 , t a? n?( ? 2

?

1 )? ? cot t a?n

?所 以

0,

1 ? ) ?2 ? tan t a?n

? 当且仅当 2 tan 2 ,? 2 时取等号,即最

小值是 2 2 。 3. (2009 北京) “? ?

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 本题主要考查 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属 于基础知识、基本运算的考查.
.w .k

当? ?

?
6

时, cos 2? ? cos

?
3

?

反之,当 cos 2? ? 或 2? ? 2k? ?

?
3

1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

1 , 2

? ? ? k? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.
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4.(2009 湖北卷) “sin ? =

1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 2 2
14

A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】由 cos 2a ? 件,故选 A.

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 2 2 可得 sin a ? ? ,故 sin a ? 是sin a ? 成立的充分不必要条 2 2 2 4

5.(2009 江西卷)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? C. 3 ? 1 D. 3 ? 2

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1 答案:B

B. 2

【解析】因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ? 当x?

?
3

)

?
3

是,函数取得最大值为 2. 故选 B

6.(2009 福建卷)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 【答案】 :B [解析]∵ f ( x) ? B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

1 1 sin 2 x ∴ f ( x) min ? ? .故选 B 2 2
2

7.(2009 年上海卷)函数 y ? 2cos x ? sin 2x 的最小值是_____________________ . 【答案】 1 ? 2

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4 1 8.(2009 全国卷Ⅰ)已知 tan a =4,cot ? = ,则 tan(a+ ? )= 3 7 7 7 7 (A) (B) ? (C) (D) ? 11 11 13 13
【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基础题。 解:由题 tan? ? 3 , tan( ? ? ?) ?

?

tan? ? tan ? 4? 3 7 ? ? ? ,故选择 B。 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 12 11


10.(2008 海南宁夏卷)

3 ? sin 70o =( 2 ? cos 2 10o

15

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

【答案】C
3 ? sin 70? 3 ? cos 20? 3 ? (2cos 2 20? ? 1) ? ? ? 2 ,选 C。 2 ? cos 2 10? 2 ? cos 2 10? 2 ? cos 2 10?

【解析】

11.(2008 山东卷)已知 cos(a ? A. ?

?
6

) ? sin ? ?

4 7π 3 ,则 sin(α ? ) =( 3 6
C. ?



2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D.

4 5

【答案】C 【解析】 cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

3 3 4 1 3 4 cos ? ? sin ? ? 3 , cos ? ? sin ? ? , 2 2 5 2 2 5

sin(? ?

? 3 ? 7? ? 1 4 ) ? ? sin(? ? ) ? ? ? sin ? ? cos ? ?? . ? ? ? 6 6 2 5 ? 2 ?
2

12.(2008 四川卷) ? tan x ? cot x ? cos x ? ( A. tan x 【答案】C B. sin x

) C. cos x D. cot x

【解析】∵ ? tan x ? cot x ? cos x ? ?
2

sin 2 x ? cos 2 x ? sin x cos x ? 2 ? cos x ? ? cos 2 x ? cos x sin x sin x cos x ? ?
故选 D; )

?

cos x ? cot x sin x

13.(2008 浙江卷)若 cosa ? 2 sin a ? ? 5, 则 tan a =( A.

1 2

B.2

C. ?

1 2

D. ? 2

【答案】B 【解析】 本小题主要考查三角函数的求值问题。 由 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 可知, cos ? ? 0, 两 边 同 时 除 以 cos ? 得 1 ? 2 tan ? ? ? 5 sec? , 平 方 得 (1? 2 tan ? ) ? 5 sec ? ? 5(1 ? tan ?
2 2 2

),

? tan 2 ? ? 4 tan ? ? 4 ? 0 ,解得 tan ? ? 2. 或用观察法.

(sin ? ? cos ? ) 2 1 ?( 14. (2008 四川延考卷)已知 tan ? ? ,则 2 cos 2?
16

)

A. 2 【答案】C

B. ?2

C. 3

D. ?3

1 1? (sin ? ? cos ? ) 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 2 ? 3 ,选 C 【解析】 ? ? ? cos 2? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 1 2
15.(2008 浙江卷)若 sin(

?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________. 2 5

【答案】 ?

7 25

【 解 析 】 本 小 题 主 要 考 查 诱 导 公 式 及 二 倍 角 公 式 的 应 用 , 由 sin(

?
2

?? ) ?

3 可知, 5

7 3 3 7 cos? ? ;而 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 1 ? ? 。答案: ? 5 5 25 25
16. (2008 上海春卷)化简: cos ?

?? ? ?? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?3 ? ?6 ?

.

【答案与解析】
? ? ? ? ?? ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? sin cos ? ? cos sin ? 3 3 6 6 ?3 ? ?6 ?
1 3 1 3 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? 2 2 2 2

17. (2008 上海春卷)已知 cos ? ? ? 【答案与解析】 原式 ?

2 cos ? 2 ?? ? ? 的值. , ? ? ? , ? ? ,求 sin 2? sin ? 3 ? 2 ?

2 2sin ? cos ?

?

1 ? cos 2 ? sin ? cos ? ? ? . sin ? sin ? cos ? cos ?

又 cos ? ? ?

2 7 2 ?? ? , , ? ? ? , ? ? ,? sin ? ? 1 ? ? 9 3 3 ? 2 ?

?


2 cos ? 14 . ? ?? sin 2? sin ? 2
三角函数图象与性质(单调,奇偶,周期,对称)

2 1.(2009 年广东卷)函数 y ? 2 cos ( x ?

?
4

) ? 1是

A.最小正周期为 ? 的奇函数

B. 最小正周期为 ? 的偶函数
17

C. 最小正周期为 【答案】A

? 的奇函数 2

D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

【解析】因为 y ? 2cos 2 ( x ? A.

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

2. (2009 全国卷Ⅰ) 如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? 的最小值为(C) (A)

? 4? ? 那么 | ? | ,0 ? 中心对称, ? 3 ?

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

解:

? 4? ? ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?
4? 4? ? ? ? ? k? ?? ? k? ? 2 ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 C 3 3 3 3.(2009 浙江)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ... ?2?

)

答案:D 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ?

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合 a

要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 5. (2009 江苏卷) 函数 y ? A sin(? x ? ? )( A, ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

【解析】 考查三角函数的周期知识。

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3
18

6.(2009 辽宁卷)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? =

4π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 4π ∴T= = ω 3 【答案】 ? ω=

3 2

3 2

7.(2009 山东卷)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 象的函数解析式是( A. y ? cos 2 x ). B. y ? 2cos2 x

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图 4

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin2 x

【 解 析 】 : 将 函 数 y ? si n 2 x 的图象向左平移

y ? sin(2 x ?

?
2

? ? (? ) 个单位 ,得到函数 y ? sin 2x 即 4 4

) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.
答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 8. (2009 山东卷)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 象的函数解析式是( A. y ? 2cos x
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图 4

). B. y ? 2sin x
2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x

【 解 析 】 : 将 函 数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

y ? sin(2 x ?

?
2

? ? 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 A.
19

答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 9.(2009 全国卷Ⅱ)若将函数 y ? tan( ?x ? 与函数 y ? tan( ?x ? (A)

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移

1 6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为 6 1 1 1 (B) (C) (D) 2 4 3

?

? 个单位长度后, 6

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答案:D 解析:本题考查正切函数图像及图像平移,由平移及周期性得出ω min=

1 2

10. (2009 安徽卷) 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) ,y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的 两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 (A) [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 (C) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 [解析]: f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ? (B) [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 (D) [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

11.(2009 江西卷)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? 答案:A 【解析】由 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ? B.

3? 2

C. ?

D.

? 2

?
6

) 可得最小正周期为

2? ,故选 A.
12.(2009 湖北卷)函数 y ? cos(2x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式

为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?

?
6

, ?2)

B. (?

?
6

, 2)

C. ( ? , 2) 6

?

D.( , 2) 6

?

【答案】B 【 解 析 】 直 接 用 代 入 法 检 验 比 较 简 单 . 或 者 设 a ? ( x?, y?) , 根 据 定 义

v

y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y? 。 6
20

?

13.(2009 四川卷)已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? 数 C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 【答案】D 【解析】∵ f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..
B. 函数 f ( x) 在区间[0,

? ]上是增函 2

D. 函数 f ( x) 是奇函数

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 14. (2009 全国卷Ⅱ) 若将函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度后, 4?

与函数 y ? tan ? ? x ? A.

? ?

??

? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6?
B.

1 6

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

解: y ? tan ? ? x ?

? ?

??

向右平移 个单位 ? ? ?? ? 6 ? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? ?????? 4? 6 4 6? ?

?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

又? ? ? 0 ??min

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2

?

15. ( 2009 天津卷)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将

所得图像关于 y 轴对称, 则 ? 的一个值是 ( ) y ? f ( x) 的图像向左平移 | ? | 个单位长度, A 【答案】D 【解析】由已知,周期为 ? ? 数, sin[ 2( x ? ? ) ?

? 2

B

3? 8

C

? 4

D

? 8

?
4

2? , w ? 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函 w

] ? ? cos 2 x ,故选 D

【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的 运用。 16.(2009 辽宁卷)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) 3

= (A) ?

2 3

(B)

2 3

(C)-

1 2

(D)

1 2
21

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2π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称 3 3 2 12

2 2π π 所以 f( )=-f( )= 3 2 3
【答案】B 17.(2009 宁夏海南卷)已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示, 则 ? =________________

T?
解析:由图可知,

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?

答案:

9? 10

18. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 ) 已 知 函 数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的 图 像 如 图 所 示 , 则

? 7? f? ? 12

? ?? ?



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【答案】0 【解析】由图象知最小正周期 T= (x) =0, 即 2 sin(3 ?

2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时,f 3 4 4 3 ? 4

?
4

?? ) =0, 可得 ? ?

?
4

, 所以, f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0。 ?

22

19. (2009 全国卷Ⅰ) 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 最小值为 (A)

4? , 0) 中心对称, 那么 ? 的 3

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。 解: ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 A 3 2 6 6

21.(2009 湖南卷)将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后, 得到函数 y=sin

( x ? ) 的图象,则 ? 等于 6 ? 5? A. B. 6 6
【答案】 :D

?

(D) C.

7? 6

D.

11? 6

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【解析】解析由函数 y ? sin x 向左平移 ? 的单位得到 y ? sin( x ? ? ) 的图象,由条件知函数

y ? sin( x ? ? ) 可 化 为 函 数 y ? sin( x ?

?
6

) , 易 知 比 较 各 答 案 , 只 有 y ? sin( x ?

? sin( x ? ) ,所以选 D 项。 6
22.(2009 四川卷)已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

11? ) 6

?
2

)( x ? R ) ,下面结论错误 的是 ..

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2?

B.函数 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称 D.函数 f ( x ) 是奇函数 【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等,基础题。 (同文 4) 解析:由函数的 f ( x) ? sin( x ? 择 D. 24.(2009 天津卷)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 到函数 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象 g ( x )? c o ? s x
23

?
2

) ? ? cos x( x ? R) 可以得到函数 f ( x) 是偶函数,所以选

?
4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

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【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。 解析:由题知 ? ? 2 ,所以

f ( x ) ? sin( 2x ?

?

) ? cos[ ? ( 2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) ,故选择 A。 4 2 4 4 8

?

?

?

?

25. (2008 安徽卷)函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(



A. x ? ? 【答案】D

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?
12

【解析】 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的对称轴方程为 2 x ?

?
3

? k? ?

?
2

,即 x ?

k ? 0, x ?

?
12

k? ? ? , 2 12

26. (2008 广东卷)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是( A.最小正周期为 ? 的奇函数 B.最小正周期为



? 的奇函数 2

C.最小正周期为 ? 的偶函数 【答案】D

D.最小正周期为

? 的偶函数 2

2 2 2 【解析】 f ( x) ? (1 ? cos 2 x) sin x ? 2 cos x sin x ?

1 2 1 ? cos 4 x sin 2 x ? ,选 D. 2 4

27. (2008 海南宁夏卷)已知函数 y ? 2sin ?? x ? ? ? ?? ? 0? 在区间

?0, 2? ? 的图像如右图:那么 ? ?(
A. 1 B. 2

) C.

1 2

D.

1 3

【答案】A 【解析】:由图象知函数的周期 T ? ? ,所以 ? ? 2

24

28. (2008 海南宁夏卷)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 【答案】C B. -2,2 C. -3,



3 2

D. -2,

3 2

1? 3 ? 【解析】∵ f ? x ? ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2 ? sin x ? ? ? 2? 2 ?
2

2

∴当 sin x ?

1 3 时, f max ? x ? ? ,当 sin x ? ?1 时, f min ? x ? ? ?3 ;故选C; 2 2

29. (2008 湖南卷) 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是( , ?4 2? ?

)

A.1

B. 1 ? 3 2

C.

3 2

D.1+ 3

【答案】C

【解析】由 f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) , 2 2 2 6

?

?
4

?x?

?
2

?

?
3

? 2x ?

?
6

?

5? 1 3 , ? f ( x) max ? ? 1 ? . 故选 C. 6 2 2

31. (2008 江西卷)函数 f ( x) ? A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数 【答案】

sin x x sin x ? 2sin 2

是(



B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

A
sin(? x) sin(? x) ? 2sin ?x 2 ? f ( x)
f (4? ? x) ? f ( x) ? f (2? ? x)

【解析】 f (? x) ?

34. (2008 全国Ⅰ卷)为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 ( )

? ?

π? 3?

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移 【答案】A.

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移
25

【解析】 y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

5? ? ? ? sin ? 2 x ? 3? 6 ?

5? ? ? ? ? ? sin 2 ? x ? ? , 只需将函数 12 ? ? ?

y ? sin 2 x 的图像向左平移

5π π? ? 个单位得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像. 12 3? ?


35. (2008 全国Ⅰ卷) y ? (sin x ? cos x)2 ?1 是( A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

【答案】D 【解析】本题主要考查了三角函数的化简,主要应用了sinx ? cosx,与2sinxcosx的关系, 同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。 ∵y=1-sin 2x-1=-sin 2x,∴T= 2? =?   ,为奇函数。∴答案为D -2
? ? π? 只需将函数 y ? sin x 的图像 ( ? 的图象, 3?
π 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移 )

36. (2008 全国Ⅰ卷) 为得到函数 y ? cos ? x ?

π 个长度单位 6 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移 【答案】C 【解析】

本题主要考查了三角函数的图象变换及互余转化公式: ∵y= cos (x+

?
3

)= sin (

?
2

+x+

?
3

)=sin(x+

∴可由y=sinx向左平移

5? 得到∴答案为C 6
) D.2

5? ) 6

38. (2008 全国Ⅱ卷)函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为( A.1 【答案】B 【解析】 f ( x) ? sin x ? cos x ? B. 2 C. 3

2 sin( x ?

?
4

) ,所以最大值是 2

39. (2008 四川卷)设 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? ,其中 ? ? 0 ,则 f ? x ? 是偶函数的充要条件是 ( )

A. f ? 0? ? 1

B. f ? 0? ? 0
26

C. f

'

? 0? ? 1

D. f

'

? 0? ? 0

【答案】D

【解析】 ∵ f ? x ? ? sin ??x ? ? ? 是偶函数
∴由函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? 图象特征可知 x ? 0 必是 f ? x ? 的极值点, ∴f
'

? 0? ? 0

故选 D

40. (2008 天津卷)设函数 f ?x ? ? sin ? 2 x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 【答案】 :B

? ?

??

?, x ? R ,则 f ?x ? 是( 2?



? 的奇函数 2

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? 的偶函数 2

【解析】 : f ( x) ? ? cos 2 x 是周期为 ? 的偶函数,选 B. 41 . ( 2008 天津卷)已知函数 f ?x ? 是 R 上的偶函数,且在区间 ?0,??? 上是增函数 . 令

2? ? a ? f ? sin 7 ? 5? ? b ? f ? cos 7 ?

? ?, ? 5? ? ? ? , c ? f ? tan 7 ? ? ? ? ,则( ?
) C. b ? c ? a D. a ? b ? c

A. b ? a ? c 【答案】 :A

B. c ? b ? a

5? 2? 5? 2? ) ? f (cos ) , c ? f (? tan ) ? f (tan ) 7 7 7 7 ? 2? ? 2? 2? 2? ? ,所以 0 ? cos ? sin ? 1 ? tan 因为 ? ,所以 b ? a ? c ,选 A. 4 7 2 7 7 7 ? 42. (2008 天津卷) 把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度, 3 1 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函 2
【解析】 : b ? f (? cos 数是( )

A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R 3? ?? ?,x ? R 3?
27

B. y ? sin ?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ? ? ?? ? ?,x ? R 3 ?

C. y ? sin ? 2 x ? 【答案】 :C

? ?

D. y ? sin ? 2 x ?


向左平移 个单位


?







3 2 y ? sin x ?????? ? y ? sin( x ? ) ???????? y ? sin(2 x ? ) . 3 3

?

1 横坐标缩短到原来的 倍

?

44. (2008 浙江卷)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 直线 y ?

x 3? ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和 2 2

1 的交点个数是( 2



A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】 2 【解析】 :本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为:

x 3? x ? )( x ? [0, 2? ]) = sin , x ? [0, 2? ]. 作出原函数图像, 2 2 2 1 截取 x ? [0, 2? ] 部分,其与直线 y ? 的交点个数是 2 个. 2 y ? cos(
45. (2008 浙江卷)函数 y ? (sin x ? cos x) ? 1 的最小正周期是(
2

) D. 2?

A.

【答案】 : ?.

? 2

B. ?

C.

3? 2

【解析】 :本小题主要考查正弦函数周期的求解。原函数可化为: y ? sin 2 x ? 2 ,故其 周期为 T ?

2? ? ?. 2

46. (2008 重庆卷)函数 f ( x ) =

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是( 3 ? 2 cos x ? 2sin x
C. [- 2,0 ] D. [- 3,0 ]



A. [-

2 ,0 ] 2

B. [-1,0]

【答案】:B 【解析】 :特殊值法, sin x ? 0, cos x ? 1 则 f(x)=

0 ?1 ? ?1 淘汰 A, 3 ? 2 ?1 ? 2 ? 0



6 ? (sin x ? 1)2 sin x ? 1 3 ? ? 2 得 cos x ? 当时 sin x ? ? 1时 cos x ? 所以 2 4 3 ? 2cos x ? 2sin x

矛盾 f ( x) ? ? 2 淘汰 C, D 47. (2008 重庆卷)函数 f ( x ) =

sin x ( 0 ? x ? 2? )的值域是( 5 ? 4 cos x
1 1 ] 3 3
28



A. [- ,

1 1 ] 4 4

B. [- ,

C. [- ,

1 1 ] 2 2

D. [- ,

2 2 ] 3 3

【答案】C 【解析】本小题主要考查函数值域的求法。令

5 ? 4cos x ? t (1 ? t ? 3) , 则

sin 2 x ?

16 ? (t 2 ? 5) 2 16 ? (t 2 ? 5)2 ?t 4 ? 10t 2 ? 9 ,当 0 ? x ? ? 时, sin x ? , ? 16 16 4

f ( x) ?

sin x ?t ? 10t ? 9 ? ? 4t 5 ? 4 cos x
4 2

?(t 2 ?

9 9 ) ? 10 ?2t 2 ? 2 ? 10 2 1 t t ? ? 当且 4 4 2
1 ,综上可知 f ( x ) 的值域为 2

仅当 t ? 3 时取等号。同理可得当 ? ? x ? 2? 时, f ( x) ? ?

1 1 [? , ] ,故选 C。 2 2
48.(2008 广东卷)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周 期是 【答案】 ?
2 【解析】 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ?



T?

2? ?? 。 2

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ,此时可得函数的最小正周期 2 2

49. (2008 江苏卷)f ( x) ? cos(? x ? 【答案】10

?
6

) 的最小正周期为

? , 其中 ? ? 0 , 则? ? 5

.

【解析】本小题考查三角函数的周期公式. T ?

2?

?

?

?
5

? ? ? 10

50. (2008 辽宁卷)已知 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0),f 3?

? ?? ? ?? ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ?6? ?3?

? ? ?? ? , ? 有最小值,无最大值,则 ? =__________. ?6 3?
【答案】

14 3

【解析】本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题

f ( x) ? sin(? x ? ) (? ? 0), f ( ) ? f ( ) 且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小值,无最大值, 3 6 3 6 3
29

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ∴区间 ( , ) 为 f ( x ) 的一个半周期的子区间, 且知 f ( x ) 的图像关于 x ? 6 3 ? 对称, 6 3 2 4


?
4

?? ?

?
3

? 2 k? ?

3? 14 14 , k ? Z ,取 K ? 0 得 ? ? . 答案: 2 3 3

51.(2008 辽宁卷)设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ?

? ?

?? 2?

2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x



【答案】 3

【解析】本小题主要考查三角函数的最值问题。 y ?

2sin 2 x ? 1 2 ? cos 2 x ? ? k, sin 2 x sin 2 x

取 A(0, 2), B(? sin 2 x,cos 2 x) ? x2 ? y 2 ? 1 的 左 半 圆 , 作 图 ( 略 ) 易 知
? km i ? ?0 n t a n 6

3.
?? ? ? x ? 的最大值是 ?2 ?

52.(2008 上海卷理)函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin ?



【答案】 2 【解析】由 f ( x) ?

3 sin x ? cos x ? 2sin( x ?

?
6

) ? f ( x) max ? 2 .


53. (2008 上海春卷)方程 2cos ? x ? 【答案】

? ?

??

? ? 1 在区间 ( 0, ? ) 内的解是 4?

7? 12
解 析 】 原 方 程 就 是



?? 1 ? cos ? x ? ? ? 4? 2 ?
? k







7 ? x ?2 ? 或 k ? 4 1 2 7? 故在区间 ( 0, ? ) 内的解是 x ? 。 12 x? 2 ?? k ? , 3

?

?

? x 2

?

1

? 2

54 . ( 2008 四川延考)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?
30

?
6

) (? ? 0) 在 (0,

4? ) 单调增加,在 3

4? , 2? ) 单调减少,则 ? ? 3 1 【答案】 2 (
【解析】由题意



4 4 ? 4 ? ? 3 1 f ( ? ) ? sin( ?? ? ) ? 1 ? ?? ? ? 2k? ? ? ? ? k ? , k ? Z 3 3 6 3 6 2 2 2 1 又 ? ? 0 ,令 k ? 0 得 ? ? 。 (如 k ? 0 ,则 ? ? 2 , T ? ? 与已知矛盾) 2
55. (2008 四川延考)函数 f ( x) ? 3sin x ? cos2 x 的最大值是____________. 【答案】 3 【解析】 因为 3 sin x ? 好

3 , cos2 x ? 0 ,
时 取

? f ( x) ? 3 sin x ? cos2 x ? 3,正
等 号 。 ( 另

sin x ? 1, cos x ? 0

f ( x) ? 3 sin x ? cos2 x ? sin 2 x ? 3 sin x ? 1 ? (sin x ?

3 2 7 ) ? 在 sin x ? 1 时取最大值) 2 4 ? ? ?? ( ? 的图象 ??


56. (2007 山东卷) 要得到函数 y ? sin x 的图象, 只需将函数 y ? cos ? x ? A.向右平移 C.向左平移 【答案】A

? 个单位 ? ? 个单位 ?

B.向右平移 D.向左平移

? 个单位 ? ? 个单位 ?

【解析】本题看似简单,必须注意到余弦函数是偶函数。注意题中给出的函数不同名,而

? ? ? ?? ? ?? ? y ? cos ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? sin[ ? ( ? x)] ? sin( x ? ) ,故应选 A. 2 ? ? ?? ? ?? ?
57. (2007 安徽卷)函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C:( ①图象 C 关于直线 x ? ②函数 f ( x) 在区间 ( ?

π 3

)

11 ? 对称; 12
π 5π , ) 内是增函数; 12 12 π 个单位长度可以得到图象 C . 3

31

③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移

以上三个论断中正确论断的个数为(

A.0 【答案】C

B.1

C.2

D.3

【解析】函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C ①图象 C 关于直线 2 x ? ②x∈ ( ?

π 3

?
3

? k? ?

?
2

对称, 当 k=1 时, 图象 C 关于 x ?

11 ? 对称; ①正确; 12

π 5π ? ? ? π 5π , ) 时, 2 x ? (- , ),∴ 函数 f ( x) 在区间 ( ? , ) 内是增函数; 12 12 3 12 12 2 2 π 2? ) ,得 个单位长度可以得到 y ? 3sin(2 x ? 3 3

②正确;③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

不到图象,③错误;∴ 正确的结论有 2 个,选 C。

58. (2007 福建卷)函数 y ? sin ? 2 x ? A.关于点( C.关于点( 【答案】A 【解析】由 2x+ (

? ?

??

? 的图象( 3?
B.关于直线 x= D.关于直线 x=



? ,0)对称 3 ? ,0)对称 4

? 对称 4 ? 对称 3

? 1 ? =kπ 得 x= k? ? ,对称点为( 1 k? ? ? ,0) (k ? z) ,当 k=1 时为 3 2 6 2 6

? ,0) ,选 A 3

59.(2007 安徽卷)函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? (写出所有正确结论的编号). ①图象 C 关于直线 x ? ③函数 f ( x)在区间 (?

?
3

) 的图象为 C,如下结论中正确的是

11 2? ? 对称;②图象 C 关于点 ( ,0) 对称; 12 3 , )内是增函数; 12 12

? 5?

④由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 【答案】①②③

? 个单位长度可以得到图象 C. 3

【解析】函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象为 C,

32

①图象 C 关于直线 2 x ? ②图象 C 关于点 ( ③x∈ ( ?

?
3

? k? ?

?
2

对称, 当 k=1 时, 图象 C 关于 x ?

11 ? 对称; ①正确; 12

k? ? 2? ? , 0) 对称,当 k=1 时,恰好为关于点 ( ,0) 对称;②正确; 2 6 3

π 5π ? π 5π ? ? , ) 时,2 x ? ∈(- , ), ) 内是增函数; ∴ 函数 f ( x) 在区间 ( ? , 2 2 12 12 3 12 12

③正确; ④由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 不正确。所以应填①②③。 60. (2007 四川卷)下面有 5 个命题: ①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 ? .
4 4

? 2? 个单位长度可以得 y ? 3sin(2 x ? 得不到图象 C. ④ ), 3 3

②终边在 y 轴上的角的集合是 {? | ? ?

k? , k ? Z}. 2

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象有 3 个公共点. ④把函数 y ? 3sin(2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象向右平移

? 得到 y ? 3sin 2 x 的图象. 6

?
2

) 在 [0, ? ] 上是减函数.

其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号) 【答案】①④ 【解析】① y ? sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x ? cos2 x ? ?cos2 x ,正确;②错误;③ y ? sin x ,

y ? tan x 和 y ? x 在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.
61. (2007广东卷)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( 简谐运动的最小正周期 T 和初相 ? 分别为( A. T ? 6, ? ?

?
3

x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的图象经过点(0,1),则该



?
6

B. T ? 6, ? ?

?
3

C. T ? 6? , ? ? 【答案】A

?
6

D. T ? 6? , ? ?

?
3

【解析】依题意 2sin ? ? 1 ,结合 | ? |?

?
2

可得 ? ?

?
6

,易得 T ? 6 ,故选A.

62. (2007 北京卷)函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是(
33



A.

π 2

B. π

C. 2 π

D. 4 π

【答案】B 【解析】函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x = 2 sin(2 x ?

?
4

) ,它的最小正周期是 π,选 B.

63. (2007 江苏卷)下列函数中,周期为 A. y ? sin C. y ? cos 【答案】D 【解析】利用公式 T ?

? 的是( 2



x 2 x 4 2?

B. y ? sin 2 x D. y ? cos 4 x

?

即可得到答案 D.

64. (2007 江西卷)函数 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的最小正周期为( A.

) D. 2 π

π 4

B.

π 2

C. π

【答案】B 【解析】 T ?

? , 选 B. 2

65. (2007 浙江卷)若函数

f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ?


? )的最 2

小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,则( A. ? ?

1 ? ,? ? 2 6 ? 6

B. ? ?

1 ? ,? ? 2 3 ? 3

C. ? ? 2,? ? 【答案】D 【解析】由 T ?

D. ? ? 2,? ?

2?

?

? ? ?? ? 2. 由 f (0) ? 3 ? 2sin ? ? 3 ?sin ? ?

3 . 2

?? ?

? ? ?? ? . 故选 D. 2 3

34

66. (2007 广东卷)若函数 f ( x) ? sin x ? ( x ? R) ,则 f ( x ) 是
2

1 2

(

)

A.最小正周期为

? 的奇函数 2

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数

C.最小正周期为 2? 的偶函数 【答案】D

67. (2007 福建卷)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? 的图象( )

? ?

?? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,则该函数
3?

A.关于点 ? C.关于点 ? 【答案】A

?? ? , 0 ? 对称 ?3 ?

B.关于直线 x ? D.关于直线 x ?

?
4

对称

?? ? , 0 ? 对称 ?4 ? ? ?

?
3

对称

【解析】由函数 f ( x) ? sin ? ? x ? π 得 x=

? ?? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? 得 ? ? 2 ,由 2x+ =k

3?

3

1 ? 1 ? ? k? ? ,对称点为( k? ? ,0) (k ? z) ,当 k=1 时为( ,0) ,选 A。 2 6 2 6 3

68. (2007 上海卷) 函数 f ? x ? ? sin ? x ? 【答案】 ? 【解析】 y ? sin( x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? 的最小正周期是 T ? 3? ? 2?
? ?



?
3

) sin( x ?

?
2

) ? (sin x cos

? cos x sin ) cos x 3 3

1 3 1 3 1 ? cos 2 x ? sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? ? 2 2 4 2 2

?

3 1 ? ? sin(2 x ? ) 4 2 3

?T ? ?

π? ? cos ? x ? ? 的最小正周期 T ? 69. (2007 上海卷)函数 y ? sec x ? 2? ?
【答案】 ?



π? 1 ? (? sin x) ? ? tan x ? T ? ? 【解析】 y ? sec x cos ? x ? ? ? 2 ? cos x ?
35

?? 70. (2007 天津卷)设函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? ( x ? R) ,则 f ( x) ( 3? ?
A.在区间 ?



? 2? 7 ? ? , 上是增函数 ?3 6? ?

B.在区间 ? ??, ?

? ?

?? 上是减函数 2? ?

C.在区间 ? , ? 上是增函数 8 4 【答案】A

?? ?? ? ?

D.在区间 ? , ? 上是减函数 3 6

? ? 5? ? ? ?

【解析】由函数图象的变换可知: f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ?? ? ? 的图象是将 f ( x) ? sin ? x ? ? 的 3? 3? ?

图象 x 轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为 ? ,则函数在区间

k? ? x ?
区间 ?

? ? ? ? 2? 7? ? k ? ? 即 k ? ? ? x ? k ? ? 上为增函数,当 k ? 1 时有: ?x? ,故在 3 2 3 6 3 6

? 2? 7 ? ? , 上 f ( x) 是增函数 ?3 6? ?
2

71.(2007 全国卷)函数 y ? 2cos x 的一个单调增区间是( A. ( ?

) D. (

? ?

, ) 4 4

B. (0,

?
2

)

C. (

? 3?
4 , 4

)

?
2

,? )

【答案】D 【解析】函数 y ? 2cos x = 1 ? cos 2 x ,它的一个单调增区间是 (
2

?
2

, ? ) ,选 D。

72. (2007 全国卷)函数 f ( x) ? sin x 的一个单调递增区间是( A. ( ? 【答案】C 【解析】函数 f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是( ? ,

) D. ?

? ?

, ) 4 4

B. ?

? ? 3? ? , ? ?4 4 ?

C. ? ? ,

? ?

3? ? ? 2 ?
3? ),选 C。 2

? 3? ? ,2? ? 2 ?

73. (2007 江苏卷)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是( A. [ ?? , ? 【答案】D
36



5? ] 6

B. [?

5? ? ,? ] 6 6

C. [?

?
3

, 0]

D. [?

?
6

, 0]

【解析】 f ( x ) ? 2 sin( x ? 得 x ? ?? ? , 0? ,选 D.

?
3

) 因

x?

?

?? ? ? 1 ?? ? 4 ? ?? ? , ? ? ,故 x ? ? ?? ? , ? ? 3 ? 3 3? 3 ? 2 3?

? 1 ? 6

2 2 74. (2007 全国卷)函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos

x 的一个单调增区间是( 2



A. (

? 2?
3 , 3

)

B. (

? ? , ) 6 2

C. (0,

?
3

)

D. ( ?

? ?

, ) 6 6

【答案】A 【解析】函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 cos 2

x = cos2 x ? cos x ?1 ,从复合函数的角度看,原函数 2

2 2 看作 g (t ) ? t ? t ?1 , t ? cos x ,对于 g (t ) ? t ? t ?1 ,当 t ? [ ?1, ] 时, g (t ) 为减函数,

1 2

当 t ? [ ,1] 时, g (t ) 为增函数,当 x ? ( 原函数此时是单调增,选 A。

1 2

? 2?
3 ,

1 1 ) 时, t ? cos x 减函数,且 t ? (? , ) ,∴ 3 2 2

37


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