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广东省汕头市2014-2015学年高二下学期期末质量监测文数试题


绝密★启用前

试卷类型:A

汕头市2014~2015学年度普通高中教学质量监测

高二数学(文科)
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号填写清楚。 2. 选择题每小题选出答案后, 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后 再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体体积公式为 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高; 3 4 3 2 球的表面积公式为 S ? 4?R ,体积公式为 V ? ?R ,其中 R 为球的半径; 3 _ _ _ 1 2 2 2 2 方差公式: s ? [( x1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ? ? ( x n ? x) ] n

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | x ? ?1} , B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,则 A ? B ? A. {x | x ? ?1} 2.复数 B. {x | ?1 ? x ? 3} C. {x | x ? ?2} D. {x | ?2 ? x ? 3}

5i ? 1 ? 2i
B. ? 2 ? i C . 1 ? 2i D. 1 ? 2i

A. 2 ? i

S 3.设 S n 为正项 等比数列 {an } 的前 n 项和,且 4a1 ? a3 ? 0 ,则 3 ? .. a1
A. 3 B. 7 C.

7 4

D. 3 或 7

?y ? x ? 4.设变量 x , y 满足不等式组: ? x ? 3 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最小值为 ? x ? ?3 ?
A. ? 9 B. ? 6 C. ? 1 D.

3 2

3 5.函数 f ( x) ? sin x ? x ? 1 ,若 f (1) ? a ,则 f (?1) ?

-1-

A. ?a
? ?

B. 0
? ?

C. a ? 2
? ?

D. 2 ? a
?

6.已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a , b 的夹角为 60 ,则 | a ? b |? A.1 B. 3 C. 2 D. 7

?

?

7.函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图象的一条对称轴方程是 A. x ? C. x ?

?
6 2? 3

B. x ?

?
3 5? 6

D. x ?

8.若 p 是 q 的充分条件, s 是 q 的必要条件,那么下列 推理一定正确的是 A. C. p? p? s s B. p ? s D. s? p
(第9题图)

9.若如右框图所给的程序运行结果为 S ? 28 ,那么判断框中应填入的条件是 A. k ? 7 ? B. k ? 7 ? C. k ? 7 ?

D. k ? 7 ?

10.如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出 的是某几何体的三视图,则该几何体的体积 为 A.

4 3

B.
x2 a2

8 3
y2 b2

C.

16 3

D. 8

11.双曲线 C :

?

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左右

焦点分别是 F1 , F2 ,过 F2 作直线 PF2 ? F1 F2 ,交双曲线 C 于 P ,若 ?PF1 F2 为等腰直 角三角形,则双曲线 C 的离心率为 A.
2 ?1

B.

2

C.

2 ?1

D.

2 ?2

12.已知函数 f ( x) 定义域为 R ,对任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x ? 2) ,且当 ? 1 ? x ? 0 时,

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? log5 x 的零点个数为 2
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.从1,2,3,4中任意选取两个不同的数,其和为3的倍数的概率是_____________. 14.用一个平面截其球体得到直径为4的圆,且球心到这个平面的距离是2,则该球的表面积
-2-

是_____________. 15.在 ?ABC 中, ?A 为锐角,且 AB ? 2 , AC ? 6 , S ?ABC ?
3 ,则 BC =________. 2

16.抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m )( m ? 0) 到其焦点 F 的距离为4,则 ?OMF ( O 为原 点)的面积为_____________. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且满足 S 3 ? 9 , a 4 ? 7 . (1)求 {an } 的通项公式; 1 (2)设 bn ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . a n a n ?1

18.(本小题满分12分) 某班级从甲乙两位同学选派一人参加数学竞赛,老师对他们平时的10次模拟测试成绩(单 位:分)进行了记录如下: 甲:79 83 96 89 86 78 85 95 82 87 乙:81 95 83 76 91 86 96 77 82 93 (1)用茎叶图表示这两组数据,并分别求出这两组数据 的中位数; (2)分别计算这两组数据的平均数和方差,并根据你的计 算结果,判断选派哪位学生参加合适?

-3-

19.(本小题满分12分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

AB ? BC ? AC ? AA1 ? 4 ,点 F 在 CC1 上,且 C1 F ? 3FC ,
E 是 BC 的中点.
(1)求证:AE⊥平面BCC1B1 (2)求四棱锥 A ? B1C1 FE 的体积; (3)证明: B1 E ? AF .

20.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? ( a ? 2) ln x ?

a . x

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极值.

-4-

21.(本小题满分12分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a2 b2



3 ,长轴长为 4 2 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l : x ? 2 与椭圆 C 交于两点 P 、 Q ,其中 P 在第一象限, A 、 B 是椭圆上位于直 线 l 两侧的两个动点, 满足 ?APQ ? ?BPQ , 试问直线 AB 的斜率是否为定值?请说明理由.

选做题:请考生在第22~24三题中任选一题作答. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲. 如图,圆 O 的半径为2, P 是圆 O 的直径 AB 延长线上的 一点, BP =1 ,割线 PCD 交圆 O 于 C 、 D 两点,过 P 作

FP ? AP ,交直线 AC 于点 E ,交直线 AD 于点 F .
(1)求证: ?PEC ? ?PDF ; (2)求 PE ? PF 的值.

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程. 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 4 cos? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3t ? 3 ( t 为参数). ? y ? 4t ? 3

(1)写出圆 C 的直角坐标方程以及直线 l 的普通方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.

24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 4 | , g ( x) ?| x ? 1 | . (1)解不等式: f ( x) ? g ( x) ;

-5-

(2)当 x ? [0,3] ,求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值.

汕头市 2015 年普通高中高二教学质量监控测评试题 数学(文科)答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 B 5 D 6 B 7 D 8 D 9 C 10 B 11 C 12 B

二、填空题(本大题共做 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 3

14. 32?

15. 2

16. 3 3

三、解答题:本大题共 6 题,满分 70 分. 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意有 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 9 ,……….1 分

a4 ? a1 ? 3d ? 7 ……….2 分 解得 a1 ? 1 , d ? 2 ……….3 分 an ? a1 ? (n ? 1)d ……….4 分 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ……….5 分 1 (2) bn ? ……….6 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 ? ( ? ) ……….7 分 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] ……….9 分 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn = [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? (1 ? ) ……….11 分 2 2n ? 1 n ? ……….12 分 2n ? 1
18. (本小题满分 12 分) 解: (1)甲组中位数为 乙组中位数为
?

83 ? 86 ? 84.5 ……….2 分 2

85 ? 86 ? 85.5 …1 分 2

……….4 分 (2) x甲 ?

1 ? 86 ……….5 分 (79 ? 83 ? 96 ? 89 ? 86 ? 78 ? 85 ? 95 ? 82 ? 87) 10

? 1 ? 86 ………6 分 x乙 ? (81 ? 95 ? 83 ? 76 ? 91 ? 86 ? 96 ? 77 ? 82 ? 93) 10 1 2 s甲 ? [(79 ? 86) 2 ? (83 ? 86) 2 ? (96 ? 86) 2 ? (89 ? 86) 2 ? (86 ? 86) 2 ? (78 ? 86) 2 10 ? (85 ? 86) 2 ? (95 ? 86) 2 ? (82 ? 86) 2 ? (87 ? 86) 2 ] ? 33 ………8 分

-6-

1 [(81 ? 86) 2 ? (95 ? 86) 2 ? (83 ? 86) 2 ? (76 ? 86) 2 ? (91 ? 86) 2 ? (86 ? 86) 2 ……… 10 2 2 2 2 ? (96 ? 86) ? (77 ? 86) ? (82 ? 86) ? (93 ? 86) ]
2 s乙 ?

.9 分
?

? 48 .6 ……….10 分
?

2 2 ? x甲 ? x 乙 , s甲 ,即甲、乙的平均水平相同,而甲相对乙更为稳定……….11 分 ? s乙

所以选派甲参加竞赛. ……….12 分 19. (本小题满分 12 分) (1)解:? AB ? AC , E 是 BC 的中点 ? AE ? BC ……….1 分 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BB1 // AA 1

? BB1 ? 平面 ABC ? AE ? 平面 ABC ? BB1 ? AE ……….2 分 又? BB1 ? BC ? B ,……….3 分 BB1 , BC ? 平面 BB1C1C ? AE ? 平面 BB1C1C ……….4 分 (2)由(1)知,即 AE 为四棱锥 A ? B1C1 FE 的高
3 AB ? 2 3 …5 分 2 在正方形 BB1C1C 中, CE ? BE ? 2 , CF ? 1
在正三角形 ABC 中, AE ?

1 1 ? S四边形B1C1FE ? S正方形BB1C1C ? S?BB1E ? S?CEF ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 1 ? 11 ………6 分 2 2 1 ?V四棱锥A? B1C1FE ? S四边形B1C1FE ? AE 3 1 22 3 ………7 分 ? ? 11? 2 3 ? 3 3 (3)证明:连结 B1 F ,由(1)得 AE ? 平面 BB1C1C ? B1 E ? 平面 BB1C1C ,? AE ? B1 E ……….8 分
在正方形 BB1C1C 中, B1 F ?

B1C1 ? C1 F 2 ? 5 , B1 E ? BE 2 ? BB1 ? 2 5

2

2

EF ? CE 2 ? CF 2 ? 5 ? B1 F 2 ? B1 E 2 ? EF 2 ? B1 E ? EF ……….9 分 又? AE ? EF ? E ,……….10 分
AE , EF ? 平面 AEF ? B1 E ? 平面 AEF ……….11 分 ? AF ? 平面 AEF ? B1 E ? AF .……….12 分
20. (本小题满分 12 分) 解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 2 ln x , f ' ( x ) ? 2 ?

函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f ' (1) ? 0 ,………2 分

2 ,……….1 分 x

-7-

又 f (1) ? 2 ,……….3 分 故切线的方程为 y ? 2 ? 0 ,即 y ? 2 .……….4 分 (2)函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ……….5 分

a?2 a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a (2 x ? a)(x ? 1) ? 2 ? ? ……….6 分 x x x2 x2 a 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ……….7 分 2 a a ①当 0 ? ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? ( ,1) , 2 2 a 由 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? (0, ) ? (1,?? ) 2 a a 即 f ( x) 的单调增区间是 (0, ), (1,?? ) ,单调减区间是 ( ,1) ………8 分 2 2 a a 所以, f ( x) 的极大值为 f ( ) ? a ? ( a ? 2) ln ? 2 , 2 2 极小值为 f (1) ? 2 ? a ……….9 分 a a ②当 ? 1 ,即 a ? 2 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? (1, ) , 2 2 a 由 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? (0,1) ? ( ,?? ) 2 a a 即 f ( x) 的单调增区间是 (0,1), ( ,?? ) ,单调减区间是 (1, ) ……….10 分 2 2 f ( x ) f ( 1 ) ? 2 ? a 所以, 的极大值为 , a a 极小值为 f ( ) ? a ? ( a ? 2) ln ? 2 ……….11 分 2 2 2( x ? 1) 2 ? 0 ,故 f ( x) 在 (0,??) 单调递增, ③当 a ? 2 时, f ' ( x) ? x2 所以此时 f ( x) 没有极值. ……….12 分 f ' ( x) ? 2 ?
21. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意有

c 3 ,……….1 分 ? a 2

2a ? 4 2 ,………2 分

则有 a ? 2 2, c ? 6 ,因此 b ?

a 2 ? c 2 ? 2 ,………3 分

x2 y2 ? ? 1 ………4 分 8 2 (2)令 x ? 2 ,得 y ? ?1 ,即 P(2,1) , Q(2,?1) ……….5 分 ? ?APQ ? ?BPQ ,? 直线 PA 的倾斜角与直线 PB 的倾斜角互补,……….6 分 直线 PA 的斜率显然存在. 设直线 PA 的斜率为 k ,则直线 PB 的斜率为 ? k , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2k ? 1 ? y ? kx ? 2k ? 1 ? 2 2 2 2 得到 (1 ? 4k ) x ? 8k (1 ? 2k ) x ? 16k ? 16k ? 4 ? 0 ……….7 分 ?x y2 ?1 ? ? 2 ?8 ? 2, x1 是该方程的两个实根,

? 椭圆 C 的方程为

-8-

? 2 x1 ?

8k 2 ? 8k ? 2 ……….9 分 1 ? 4k 2 8k 2 ? 8k ? 2 同理,直线 PB 的方程为 y ? ?kx ? 2k ? 1,且 x 2 ? ……….10 分 1 ? 4k 2 ? 16 k 16k 2 ? 4 所以, x1 ? x 2 ? , x1 ? x 2 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k y ? y 2 (kx1 ? 2k ? 1) ? (?kx2 ? 2k ? 1) k ( x1 ? x2 ) ? 4k 直线 AB 的斜率为 1 ….11 分 ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ?

16k 2 ? 16k ? 4 ,……….8 分 1 ? 4k 2

16k 3 ? 4k ? 4k 2 ? 8k 1 1 ? 4 k ? ? ? .………12 分 ? 16k ? 16k 2 2 1 ? 4k
22.(本小题满分 10 分) (1)证明:连结 BD ,则 ?BDA ? 90 ………1 分 ? ?CDB ? ?CAB ………2 分
?

?PEC ? 90? ? ?CAB ,………3 分 ?PDF ? 90? ? ?CDB ………4 分 ? ?PEC ? ?PDF ………5 分 (2)解:由(1)得 ?PEC ? ?PDF , 所以 D, C , E , F 四点共圆,………7 分 ? PE ? PF ? PC ? PD ? PB ? PA ? 1? (1 ? 4) ? 5
23.(本小题满分 10 分) 解: (1) ? ? 4? cos? ,………1 分
2

x 2 ? y 2 ? 4x ,………2 分 2 2 即圆 C 的直角坐标方程为: ( x ? 2) ? y ? 4 ………3 分 x?3 4 对于直线 l ,将 t ? ………4 分 代入第二个方程可得 y ? x ? 1 , 3 3 即直线 l 的普通方程为: 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 ………5 分 (2)由(1)得圆 C 的圆心 C (2,0) ,半径 r ? 2 ,………6 分 5 | 4 ? 2 ? 3? 0 ? 3 | ? ? 1 ,………8 分 点 C 到直线 l 的距离 d ? ………7 分 5 4 2 ? (?3) 2

? 直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2 r 2 ? d 2 ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ………10 分
24.(本小题满分 10 分) 解: (1) | 2 x ? 4 |?| x ? 1 | ? (2 x ? 4)2 ? ( x ? 1)2 ……1 分

? (3x ? 3)(x ? 5) ? 0 ……2 分 ? x ? 1 或 x ? 5 ,……3 分,即不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? 5} .……4 分 (2) x ? [0,3] 时, x ? 1 ? 0 , y ?| 2 x ? 4 | ? | x ? 1 |?| 2 x ? 4 | ? x ? 1 ……5 分 当 0 ? x ? 2 时, y ? 4 ? 2 x ? x ? 1 ? 5 ? x 在 [0,2] 上递减,…6 分,故当 x ? 0 时, y max ? 5 ……7 分 当 2 ? x ? 3 时, y ? 2 x ? 4 ? x ? 1 ? 3x ? 3 在 (2,3] 上递增……8 分,故当 x ? 3 时, y max ? 6 ……9 分 综上,当 x ? 3 时, y 的最大值为 6 .……10 分

-9-


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