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抛物线

学案 53

抛物线

导学目标:1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质 .2. 理解数形结合的思想.

自主梳理 1.抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F?l)距离______的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做 抛物线的__________,直线 l 叫做抛物线的________. 2.抛物线的标准方程与几何性质 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 标准方程 p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 p x=- 2 x≥0, y∈R 向右 p F( ,0) 2

O(0,0) y=0 p F(- ,0) 2 e=1 p x= 2 x≤0, y∈R 向左 p y=- 2 y≥0, x∈R 向上 p y= 2 y≤0, x∈R 向下 p F(0, ) 2 x=0 p F(0,- ) 2

自我检测 1.(2010· 四川)抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 x2 y2 2 2.若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为( ) 6 2 A.-2 B.2 C.-4 D.4 3.(2011· 陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x 4.已知抛物线 y2=2px (p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物 线上,且 2x2=x1+x3,则有( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|· |FP3| 5.(2011· 佛山模拟)已知抛物线方程为 y2=2px (p>0),过该抛物线焦点 F 且不与 x 轴垂 直的直线 AB 交抛物线于 A、B 两点,过点 A、点 B 分别作 AM、BN 垂直于抛物线的准线, 分别交准线于 M、N 两点,那么∠MFN 必是( ) A.锐角 B.直角

C.钝角

D.以上皆有可能

探究点一 抛物线的定义及应用 例 1 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA| +|PF|的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标. 变式迁移 1 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2, -1)的距离与点 P 到抛 物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ) 1 1 ? ? A.? B.? ?4,-1? ?4,1? C.(1,2) D.(1,-2) 探究点二 求抛物线的标准方程 例 2 (2011· 芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m, -3)到焦点的距离为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程.

变式迁移 2 根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点 F 是双曲线 16x2-9y2=144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4).

探究点三 抛物线的几何性质 例 3 过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的直线和抛物线相交于 A,B 两点,如图所示.

(1)若 A,B 的纵坐标分别为 y1,y2,求证:y1y2=-p2; (2)若直线 AO 与抛物线的准线相交于点 C,求证:BC∥x 轴.

变式迁移 3 已知 AB 是抛物线 y2=2px (p>0)的焦点弦,F 为抛物线的焦点,A(x1,y1), B(x2,y2).求证: p2 (1)x1x2= ; 4 1 1 (2) + 为定值. |AF| |BF|

分类讨论思想的应用 (12 分)过抛物线 y2=2px (p>0)焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,过 B 点作其 → → 准线的垂线,垂足为 D,设 O 为坐标原点,问:是否存在实数 λ,使AO=λOD? 多角度审题 这是一道探索存在性问题,应先假设存在,设出 A、B 两点坐标,从而 得到 D 点坐标,再设出直线 AB 的方程,利用方程组和向量条件求出 λ. 【答题模板】 例

→ → 解 假设存在实数 λ,使AO=λOD. 抛物线方程为 y2=2px (p>0), p ? p 则 F? ?2,0?,准线 l:x=-2, (1)当直线 AB 的斜率不存在,即 AB⊥x 轴时, p ? ?p ? 交点 A、B 坐标不妨设为:A? ?2,p?,B?2,-p?. p - ,-p?, ∵BD⊥l,∴D? ? 2 ? → ? p → ? p → → ? ∴AO=?-2,-p?,OD=?-2,-p? ?,∴存在 λ=1 使AO=λOD.[4 分] (2)当直线 AB 的斜率存在时, p? 设直线 AB 的方程为 y=k? ?x-2? (k≠0),

p y2 y2 - ,y2?,x1= 1 ,x2= 2 , 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 D? ? 2 ? 2p 2p p ? ?y=k? x- ? -p2 2? ? 由? 得 ky2-2py-kp2=0,∴y1y2=-p2,∴y2= ,[8 分] y1 2 ? ?y =2px y2 p p p2 1 → → - ,-y1?,OD=?- ,y2?=?- ,- ?, AO=(-x1,-y1)=? y1? ? 2p ? ? 2 ? ? 2 2 y1 p - =- λ 2 p 2 y2 y2 → → 1 1 假设存在实数 λ,使AO=λOD,则 ,解得 λ= 2,∴存在实数 λ= 2, 2 p p p -y1=- λ y1

? ? ?

→ → 使AO=λOD. → → 综上所述,存在实数 λ,使AO=λOD.[12 分] 【突破思维障碍】 由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程, 按斜率存在和不存在讨论, 由直线方程和抛物 → → 线方程组成方程组,研究 A、D 两点坐标关系,求出AO和OD的坐标,判断 λ 是否存在. 【易错点剖析】 解答本题易漏掉讨论直线 AB 的斜率不存在的情况,出现错误的原因是对直线的点斜式 方程认识不足. 1.关于抛物线的定义 要注意点 F 不在定直线 l 上,否则轨迹不是抛物线,而是一条直线. 2.关于抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种不同的形式,这四种标准方程的联系与区别在于: (1)p 的几何意义:参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒为正数. (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物 线的开口方向. 3.关于抛物线的几何性质 抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握,但由于抛物线的离心 率等于 1,所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质,而且应用广泛.例如: 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,设 A(x1,y1),B(x2, 2p y2),则有下列性质:|AB|=x1+x2+p 或|AB|= 2 (α 为 AB 的倾斜角),y1y2=-p2,x1x2 sin α p2 = 等. 4

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 大纲全国)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB 等于( ) 4 3 A. B. 5 5 3 4 C.- D.- 5 5 2.(2011· 湖北)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正 三角形个数记为 n,则( )

A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3 3.已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 4.(2011· 泉州月考)已知点 A(-2,1),y2=-4x 的焦点是 F,P 是 y2=-4x 上的点,为 使|PA|+|PF|取得最小值,则 P 点的坐标是( ) 1 ? A.? B.(-2,2 2) ?-4,1? 1 - ,-1? C.? D.(-2,-2 2) ? 4 ? → → 5.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA· AF=-4, 则点 A 的坐标为( ) A.(2,± 2) B.(1,± 2) C.(1,2) D.(2, 2) 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 重庆)设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内, 则圆 C 的半径能取到的最大值为________. 7.(2011· 济宁期末)已知 A、B 是抛物线 x2=4y 上的两点,线段 AB 的中点为 M(2,2), 则|AB|=________. 8.(2010· 浙江)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在 抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. 三、解答题(共 38 分) 9. (12 分)已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y=2x+1 所得的弦长为 15, 求抛物线方程.

10. (12 分)(2011· 韶关模拟)已知抛物线 C: x2=8y.AB 是抛物线 C 的动弦, 且 AB 过 F(0,2), 分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线,设两切线交点为 Q,证明:AQ⊥BQ.

11.(14 分)(2011· 济南模拟)已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切 的动圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程;

→ → (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹 C 于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求RP· RQ的最小值.

学案 53
自主梳理 1.相等 焦点 准线 自我检测 1.C

抛物线

p [因为抛物线的准线方程为 x=-2,所以 =2,所以 p=4,所以抛物线的方程是 2 2 y =8x.所以选 B.] 3.B 4.C 5.B 课堂活动区 例 1 解题导引 重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离 与到准线距离的等价转化,是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 解 2.B

将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 设抛物线上点 P 到准线 l: 1 x=- 的距离为 d,由定义知 2 |PA|+|PF|=|PA|+d, 7 当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 , 2 7 即|PA|+|PF|的最小值为 , 2 此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2, ∴点 P 坐标为(2,2). 变式迁移 1 A [

点 P 到抛物线焦点的距离等于点 P 到抛物线准线的距离, 如图, |PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|, 1 ? 故最小值在 S, P, Q 三点共线时取得, 此时 P, Q 的纵坐标都是-1, 点 P 的坐标为? ?4,-1?.] 例 2 解题导引 (1)求抛物线方程时,若由已知条件可知所求曲线是抛物线,一般用 待定系数法.若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹,一般用轨迹法; (2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向),又要定量(即确定参 数 p 的值).解题关键是定位,最好结合图形确定方程适合哪种形式,避免漏解; (3)解决抛物线相关问题时,要善于用定义解题,即把|PF|转化为点 P 到准线的距离,这 种“化斜为直”的转化方法非常有效,要注意领会和运用. 解 方法一 设抛物线方程为 x2=-2py (p>0), p? p 则焦点为 F? ?0,-2?,准线方程为 y=2. ∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5, m =6p, ? ? ∴? p?2 m2+? ? ?-3+2? =5, ?
2

?p=4, 解得? 2 6. ?m=±

∴抛物线方程为 x2=-8y,m=± 2 6, 准线方程为 y=2. 方法二 如图所示,

设抛物线方程为 x2=-2py (p>0), p? 则焦点 F? ?0,-2?, p 准线 l:y= ,作 MN⊥l,垂足为 N. 2 p 则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+ , 2 p ∴3+ =5,∴p=4.∴抛物线方程为 x2=-8y, 2 准线方程为 y=2.由 m2=(-8)×(-3),得 m=± 2 6. x2 y2 变式迁移 2 解 (1)双曲线方程化为 - =1, 9 16 p 左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为 y2=-2px (p>0)且- =-3,∴p=6.∴方程 2 2 为 y =-12x. (2)由于 P(2,-4)在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为 y2=mx (m>0)或 x2=ny (n<0),代入 P 点坐标求得 m=8,n=-1, ∴所求抛物线方程为 y2=8x 或 x2=-y. 例 3 解题导引 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有着广泛的应用,而且还应注意 焦点弦的几何性质.焦点弦有以下重要性质(AB 为焦点弦,以 y2=2px (p>0)为例):

p ? (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为 F? ?2,0?.设过焦点 F 的直线交抛物 线于 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2). ①当斜率存在时,过焦点的直线方程可设为 p ? ?y=k? x- ?, p? ? 2? ? y=k?x-2?,由? ? ?y2=2px, 消去 x,得 ky2-2py-kp2=0.(*) 当 k=0 时,方程(*)只有一解,∴k≠0, 由韦达定理,得 y1y2=-p2; ②当斜率不存在时,得两交点坐标为 ?p,p?,?p,-p?,∴y1y2=-p2. ?2 ? ?2 ? 综合两种情况,总有 y1y2=-p2. p ? p 方法二 由抛物线方程可得焦点 F? ?2,0?,设直线 AB 的方程为 x=ky+2,并设 A(x1, y1),B(x2,y2), p ? ?x=ky+2, 则 A、B 坐标满足? 证明

p2 ①y1y2=-p2,x1x2= ; 4 ②|AB|=x1+x2+p.

? ?y2=2px, p? 消去 x,可得 y2=2p? ?ky+2?,

整理,得 y2-2pky-p2=0,∴y1y2=-p2. y1 (2)直线 AC 的方程为 y= x, x1 2 p py1 py -p y1 - ,- ?,yC=- 1= ∴点 C 坐标为? . 2x1? ? 2 2x1 2px1 2 ∵点 A(x1,y1)在抛物线上,∴y1=2px1. y1y2· y1 又由(1)知,y1y2=-p2,∴yC= 2 =y2,∴BC∥x 轴. y1 p ? ? p? 变式迁移 3 证明 (1) ∵ y2 = 2px (p>0) 的焦点 F ? ?2,0? ,设直线方程为 y= k?x-2? (k≠0), p ? ?y=k? x- ? 2? ,消去 x,得 ky2-2py-kp2=0. ? 由?

? ?y2=2px

?y1y2?2 p2 ∴y1y2=-p2,x1x2= = , 4p2 4 p p2 当 k 不存在时,直线方程为 x= ,这时 x1x2= . 2 4 p2 因此,x1x2= 恒成立. 4 1 1 1 1 (2) + = + |AF| |BF| p p x1+ x+ 2 2 2 x1+x2+p = . p p2 x1x2+ ?x1+x2?+ 2 4

p2 1 1 2 又∵x1x2= ,代入上式得 + = =常数, 4 |AF| |BF| p 1 1 所以 + 为定值. |AF| |BF| 课后练习区 ? ? ? ?y=2x-4, ?x=1, ?x=4, 1.D [方法一 由? 2 得? 或? ?y =4x, ?y=-2 ?y=4. ? ? ? 令 B(1,-2),A(4,4),又 F(1,0), ∴由两点间距离公式得|BF|=2,|AF|=5,|AB|=3 5. |BF|2+|AF|2-|AB|2 4+25-45 ∴cos∠AFB= = 2|BF|· |AF| 2×2×5 4 =- . 5 方法二 由方法一得 A(4,4),B(1,-2),F(1,0), → → ∴FA=(3,4),FB=(0,-2), → → ∴|FA|= 32+42=5,|FB|=2. → → FA· FB 3×0+4×?-2? 4 ∴cos∠AFB= = =- .] 5 → → 5×2 |FA|· |FB| 2.C [

p 如图所示,A,B 两点关于 x 轴对称,F 点坐标为( ,0),设 A(m, 2pm)(m>0),则由 2 抛物线定义, |AF|=|AA1|, p 即 m+ =|AF|. 2 又|AF|=|AB|=2 2pm, p p2 ∴m+ =2 2pm,整理,得 m2-7pm+ =0,① 2 4 p2 2 2 ∴Δ=(-7p) -4× =48p >0, 4 p2 ∴方程①有两相异实根,记为 m1,m2,且 m1+m2=7p>0,m1· m2= >0, 4 ∴m1>0,m2>0,∴n=2.] 3.C 4.A [过 P 作 PK⊥l (l 为抛物线的准线)于 K,则|PF|=|PK|, ∴|PA|+|PF|=|PA|+|PK|. ∴当 P 点的纵坐标与 A 点的纵坐标相同时,|PA|+|PK|最小,此时 P 点的纵坐标为 1, 1 1 - ,1?时,|PA|+|PF|最小.] 把 y=1 代入 y2=-4x,得 x=- ,即当 P 点的坐标为? ? 4 ? 4 5.B 6. 6-1

解析 如图所示,若圆 C 的半径取到最大值,需圆与抛物线及直线 x=3 同时相切,设 圆心的坐标为(a,0)(a<3),则圆的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2,与抛物线方程 y2=2x 联立得 x2+(2-2a)x+6a-9=0,由判别式 Δ=(2-2a)2-4(6a-9)=0,得 a=4- 6,故此时半径 为 3-(4- 6)= 6-1. 7.4 2 解析 由题意可设 AB 的方程为 y=kx+m,与抛物线方程联立得 x2-4kx-4m=0,线 段 AB 中点坐标为(2,2),x1+x2=4k=4,得 k=1. 又∵y1+y2=k(x1+x2)+2m=4, ∴m=0.从而直线 AB:y=x,|AB|=2|OM|=4 2. 3 2 8. 4 p ? ?p ? 解析 抛物线的焦点 F 的坐标为? ?2,0?,线段 FA 的中点 B 的坐标为?4,1?,代入抛物 p 2 线方程得 1=2p× ,解得 p= 2,故点 B 的坐标为? ,1?,故点 B 到该抛物线准线的距离 4 ?4 ? 2 2 3 2 为 + = . 4 2 4 9.解 设直线和抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 ? ?y =2px 2 ? (1)当抛物线开口向右时,设抛物线方程为 y =2px (p>0),则 ,消去 y 得, ?y=2x+1 ? 4x2-(2p-4)x+1=0, p-2 1 ∴x1+x2= ,x1x2= ,(4 分) 2 4 ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| = 5· ?x1+x2?2-4x1x2 p-2?2 1 = 5· ? ? 2 ? -4×4= 15,(7 分) p2 则 -p= 3,p2-4p-12=0,解得 p=6(p=-2 舍去), 4 抛物线方程为 y2=12x.(9 分) (2)当抛物线开口向左时,设抛物线方程为 y2=-2px (p>0),仿(1)不难求出 p=2, 此时抛物线方程为 y2=-4x.(11 分) 综上可得, 所求的抛物线方程为 y2=-4x 或 y2=12x.(12 分) 10.证明 因为直线 AB 与 x 轴不垂直, 设直线 AB 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2, ? ? 由? 1 2 ? ?y=8x , 可得 x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16.(4 分) 1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x.(7 分) 8 4

所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 1 1 1 1 k1= x1,k2= x2,k1k2= x1· x2 4 4 4 4 1 = x1· x2=-1.(10 分) 16 所以 AQ⊥BQ.(12 分) 11.解 (1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离,

所以点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴所求轨迹的方程为 x2=4y.(5 分) (2)由题意直线 l2 的方程为 y=kx+1,与抛物线方程联立消去 y 得 x2-4kx-4=0. 记 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4.(8 分) 2 ? 因为直线 PQ 的斜率 k≠0,易得点 R 的坐标为? ?-k,-1?.(9 分) 2 → → ? ?x2+2,y2+1? RP· RQ=?x1+k,y1+1? k ?· ? ? 2 2 ?? ? =? ?x1+k??x2+k?+(kx1+2)(kx2+2) 2 4 ? =(1+k2)x1x2+? ? k+2k?(x1+x2)+k2+4 2 ? 4 =-4(1+k2)+4k? ?k+2k?+k2+4 1 k2+ 2?+8,(11 分) =4? k? ? 1 2 ∵k + 2≥2,当且仅当 k2=1 时取到等号. k → → → → RP· RQ≥4×2+8=16,即RP· RQ的最小值为 16. (14 分)


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