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2017优化方案高考总复习·数学理(江苏专用)第十章第8讲知能训练轻松闯关


1.(2015· 高考江苏卷)解不等式 x+|2x+3|≥2. 3 3 ? ? ?x<-2, ?x≥-2, 解:原不等式可化为? 或? ? ?-x-3≥2 ? ?3x+3≥2. 1 解得 x≤-5 或 x≥- . 3 1? ? ? 综上,原不等式的解集是?x? ?x≤-5或x≥-3 . ? ? 1 1 1 2.若 a、b、c 为正实数,且 + + =1,求 a+2b+3c. a 2b 3c 2 ?1+ 1 + 1 ?≥? a· 1 + 2b· 1 + 3c· 1 ? =9.(当且仅 解: a+2b+3c=(a+2b+3c)· ?a 2b 3c? ? a 2b 3c? 3 当 a=2b=3c,即 a=3,b= ,c=1 时等号成立) 2 1 1 5 3.已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< . 3 6 18 1 证明:因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|< ,|2x-y| 3 1 < , 6 2 1 5 5 从而 3|y|< + = ,所以|y|< . 3 6 6 18 4.(2016· 常州模拟)已知 a>0,b>0,证明:(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2. 证明:因为 a>0,b>0, 3 所以 a2+b2+ab≥3 a2·b2·ab=3ab>0, 3 ab2+a2b+1≥3 ab2·a2b·1=3ab>0, 所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2. 5.(2016· 重庆巴蜀中学质检)已知函数 f(x) = |x +1|-|2x-1|. (1)求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若不等式 f(x)<a 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1) |x+1|≥|2x-1|?x2+2x+1≥4x2-4x+1, 解得 0≤x≤2, 所以 f(x)≥0 的解集为{x|0≤x≤2}. (x+1)-(2x-1)=-x+2,x> , ? 2 ? 1 (2)因为 f(x)=? (x+1)-(1-2x)=3x,-1≤x≤ , 2 ? ?-(x+1)-(1-2x)=x-2,x<-1. 1 1 1 3 -∞, ?上单调递增,在? ,+∞?上单调递减,所以 f(x)max=f? ?= , 易知 f(x)在? 2? ? ?2 ? ?2? 2 1 3 所以 a>f(x)max,即 a> . 2 6.(2016· 苏锡常镇四市调研)求函数 y= 1-x+ 3x+2的最大值. 解:因为( 1-x+ 3x+2)2 =? 3-3x· ? 2 1 ? + 3x+2· 1 3 ? 1 ? 20 ≤(3-3x+3x+2)? ?3+1?= 3 , 2 15 所以 y= 1-x+ 3x+2≤ . 3 3-3x 3x+2 7 等号当且仅当 = ,即 x= 时成立. 1 1 12 3 2 15 所以 y 的最大值为 . 3 7.(2016· 镇江模拟)已知函数 f(x)=|x-1|+|x-2|,若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)对任意 a,b∈R 恒成立,求实数 x 的取值范围. 解:若 a=0,则不等式转化为 2|b|≥0 恒成立,此时 x∈R. 若 a≠0,由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)可得 f(x)≤ 而 |a+b|+|a-b| 恒成立, |a| |a+b|+|a-b| |a+b+a-b| ≥ =2,所以 f(x)≤2 恒成立, |a| |a| ?x≤1 ?x≥2 ?1<x<2

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