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已用山东省青岛市2015届高三一模数学


2015 年山东省青岛市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.(5 分)(2015?青岛一模)设 i 为虚数单位,复数 A. ﹣1+i B. ﹣1﹣i C. 1﹣i D. 1+i 【考点】: 复数代数形式的乘除运算. 【专题】: 数系的扩充和复数. 【分析】: 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值. 【解析】: 解: 故选:D. 【点评】: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. = . 等于( )

2.(5 分)(2015?青岛一模)设全集 I=R,集合 A={y|y=log2x,x>2},B={x|y= ( ) A. A?B B. A∪B=A C. A∩B=? D. A∩(?IB)≠? 【考点】: 集合的包含关系判断及应用. 【专题】: 计算题;集合. 【分析】: 化简集合 A,B,即可得出结论. 【解析】: 解:由题意,A={y|y=log2x,x>2}=(1,+∞),B={x|y= ∴A?B, 故选:A.

},则

}=[1,+∞),

【点评】: 本题考查集合的包含关系判断及应用,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的 元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集. 3.(5 分)(2015?青岛一模)如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统 计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A. 5 和 1.6 B. 85 和 1.6 C. 85 和 0.4 D. 5 和 0.4 【考点】: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 【专题】: 图表型. 【分析】: 根据均值与方差的计算公式,分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可.

【解析】: 解:根据题意可得:评委为某选手打出的分数还剩 84,84,84,86,87, 所以所剩数据的平均数为
2

=85,
2 2 2 2

所剩数据的方差为 [(84﹣85) +(84﹣85) +(86﹣85) +(84﹣85) +(87﹣85) ]=1.6. 故选 B. 【点评】: 本题考查茎叶图、平均数和方差,对于一组数据通常要求的是这组数据的众数,中 位数,平均数,方差,它们分别表示一组数据的特征,这样的问题可以出现在选择题或填空题. 4.(5 分)(2015?青岛一模)“?n∈N ,2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【考点】: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;等差数列的性质. 【专题】: 等差数列与等比数列. 【分析】: 由 2an+1=an+an+2,可得 an+2﹣an+1=an+1﹣an,可得数列{an}为等差数列;若数列{an} 为等差数列,易得 2an+1=an+an+2,由充要条件的定义可得答案. 【解析】: 解:由 2an+1=an+an+2,可得 an+2﹣an+1=an+1﹣an, 由 n 的任意性可知,数列从第二项起每一项 与前一项的差是固定的常数,即数列{an}为等差数列, 反之,若数列{an}为等差数列,易得 2an+1=an+an+2, 故“?n∈N ,2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件, 故选 C 【点评】: 本题考查充要条件的判断,涉及等差数列的判断,属基础题. 5.(5 分)(2015?青岛一模)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图 中的 x 的值是( )
* *



A. 2 B .

C.

D. 3

【考点】: 简单空间图形的三视图. 【专题】: 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】: 根据三视图判断几何体为四棱锥,再利用体积公式求高 x 即可. 【解析】: 解:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是: V= 故选 D. =3?x=3.

【点评】: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.

6.(5 分)(2015?青岛一模)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直 )

线 l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1 D.



=1

【考点】: 双曲线的标准方程. 【专题】: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】: 由已知得

,由此能求出双曲线方程.

【解析】: 解:∵双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:x+2y+5=0,

双曲线的一个焦点在直线 l 上,





解得 a=2

,b=

, ﹣ =1.

∴双曲线方程为 故选:A.

【点评】: 本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性质的合 理运用. 7.(5 分)(2015?青岛一模)设 m,n 是不同的直线,α,β 是不同的平面,下列命题中正确的 是( ) A. 若 m∥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β B. 若 m∥α,n⊥β,m⊥n,则 α∥β C. 若 m∥α,n⊥β,m∥n,则 α⊥β D. 若 m∥α,n⊥β,m∥n,则 α∥β 【考点】: 平面与平面之间的位置关系. 【专题】: 空间位置关系与距离. 【分析】: 利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案. 【解析】: 解:选择支 C 正确,下面给出证明. 证明:如图所示: ∵m∥n,∴m、n 确定一个平面 γ,交平面 α 于直线 l. ∵m∥α,∴m∥l,∴l∥n. ∵n⊥β,∴l⊥β, ∵l?α,∴α⊥β. 故 C 正确. 故选 C.

【点评】: 正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解 题的关键. 8.(5 分)(2015?青岛一模)函数 y=4cosx﹣e (e 为自然对数的底数)的图象可能是(
|x|



A. 【考点】: 函数的图象.

B.

C.

D.

【专题】: 函数的性质及应用. 【分析】: 先验证函数 y=4cosx﹣e 是否具备奇偶性,排除一些选项,在取特殊值 x=0 时代入 函数验证即可得到答案. 【解析】: 解:∵函数 y=4cosx﹣e , ∴f(﹣x)=4cos(﹣x)﹣e
|﹣x| |x| |x|

=4cosx﹣e =f(x),

|x|

函数 y=4cosx﹣e 为偶函数,图象关于 y 轴对称,排除 BD, 又 f(0)=y=4cos0﹣e =4﹣1=3, 只有 A 适合, 故选:A. 【点评】: 本题主要考查函数的图象,关于函数图象的选择题,通常先验证奇偶性,排除一些 选项,再代特殊值验证,属于中档题. 9.(5 分)(2015?青岛一模)已知△ABC 的三边分别为 4,5,6,则△ABC 的面积为( A. B. C. D. )
|0|

|x|

【考点】: 余弦定理的应用;三角形中的几何计算. 【专题】: 解三角形. 【分析】: 根据余弦定理先求出其中一个角的余弦值,然后求出对应的正弦值,利用三角形的 面积公式即可得到结论. 【解析】: 解:∵△ABC 的三边长 a=4,b=5,c=6, ∴由余弦定理得 cosC= = ,

∴sinC=

=

=

∴三角形的面积为 S= absinC= × 4× 5× 故选:B.

=



【点评】: 本题主要考查了三角形的面积的计算,利用余弦定理和正弦定理求出其中一个角的 正弦值是解决本题的关键.

10.(5 分)(2015?青岛一模)已知点 G 是△ABC 的外心, 2 + + =





是三个单位向量,且

,如图所示,△ABC 的顶点 B,C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上 )

移动,则 G 点的轨迹为(

A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 【考点】: 轨迹方程.

【专题】: 计算题;直线与圆. 【分析】: 确定点 G 是 BC 的中点,△ABC 是直角三角形,∠A 是直角,BC=2,根据△ABC 的 顶点 B、C 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上移动,即可得出结论. 【解析】: 解:∵点 G 是△ABC 的外心,且 2 + + = ,|

∴点 G 是 BC 的中点,△ABC 是直角三角形,∠A 是直角 ∵ , , 是三个单位向量,

∴BC=2 ∵△ABC 的顶点 B、C 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上移动 ∴G 的轨迹是以原点为圆心 1 为半径的圆弧, 故选:B. 【点评】: 本题考查向量在几何中的应用,解题的关键是判断三角形的形状,属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2015?青岛一模) 已知函数 f (x) =tanx+sinx+2015, 若f (m) =2, 则f (﹣m)= 【考点】: 函数奇偶性的性质. 【专题】: 函数的性质及应用. 【分析】: 根据解析式得出 f(﹣x)+f(x)=4030,f(m)+f(﹣m)=4030,即可求解. 【解析】: 解:∵函数 f(x)=tanx+sinx+2015, ∴f(﹣x)=﹣tanx﹣sinx+2015, ∵f(﹣x)+f(x)=4030, ∴f(m)+f(﹣m)=4030, ∵f(m)=2, ∴f(﹣m)=4028. 故答案为:4028. 【点评】: 本题考查了函数的性质,整体运用的思想,属于容易题,难度不大. 12.(5 分)(2015?青岛一模)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 ; .

【考点】: 程序框图. 【专题】: 图表型;算法和程序框图.

【分析】 : 模拟执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 s, i 的值, 当 i=10 时, 不满足条件 i≥11, 退出循环,输出 s 的值为 132. 【解析】: 解:模拟执行程序框图,可得 i=12,s=1 满足条件 i≥11,s=12,i=11 满足条件 i≥11,s=132,i=10 不满足条件 i≥11,退出循环,输出 s 的值为 132. 故答案为:132. 【点评】: 本题主要考查了程序框图和算法,依次正确写出每次循环得到的 s,i 的值是解题的 关键,属于基本知识的考查. 13.(5 分)(2015?青岛一模)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,使邻边长 分别等于线段 AC、CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为 【考点】: 几何概型. 【专题】: 概率与统计. 【分析】: 设 AC=x,则 BC=12﹣x,由矩形的面积 S=x(12﹣x)>20 可求 x 的范围,利用几 何概率的求解公式可求. 【解析】: 解:设 AC=x,则 BC=12﹣x 矩形的面积 S=x(12﹣x)>20 ∴x ﹣12x+20<0 ∴2<x<10 由几何概率的求解公式可得,矩形面积大于 20cm 的概率 P= 故答案为: .
2 2 2



= .

【点评】: 本题主要考查了二次不等式的解法,与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用, 属于基础试题

14.(5 分)(2015?青岛一模)设 z=x+y 其中 x,y 满足

,若 z 的最大值为 6,则 z

的最小值为

﹣3



【考点】: 简单线性规划.

【分析】: 先根据条件画出可行域,观察可行域,当直线 z=x+y 过 A 点时取最大值,从而求出 k 值,再当直线 z=x+y 过 B 点时取最小值,求出 z 最小值即可. 【解析】: 解:作出可行域如图: 直线 x+y=6 过点 A(k,k)时,z=x+y 取最大, ∴k=3, z=x+y 过点 B 处取得最小值,B 点在直线 x+2y=0 上, ∴B(﹣6,3), ∴z 的最小值为=﹣6+3=﹣3. 故填:﹣3.

【点评】: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 15.(5 分)(2015?青岛一模)若 X 是一个集合,τ 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且 满足:①X 属于 τ,?属于 τ;②τ 中任意多个元素的并集属于 τ;③τ 中任意多个元素的交集属于 τ.则称 τ 是集合 X 上的一个拓扑.已知集合 X={a,b,c},对于下面给出的四个集合 τ: ①τ={?,{a},{c},{a,b,c}}; ②τ={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③τ={?,{a},{a,b},{a,c}}; ④τ={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 其中是集合 X 上的拓扑的集合 τ 的序号是 【考点】: 集合的包含关系判断及应用. 【专题】: 压轴题;新定义. 【分析】: 根据集合 X 上的拓扑的集合 τ 的定义,逐个验证即可:①{a}∪{c}={a,c}?τ,③{a, b}∪{a,c}={a,b,c}?τ,因此①③都不是; ②④满足:①X 属于 τ,?属于 τ;②τ 中任意多个元素的并集属于 τ;③τ 中任意多个元素的交集 属于 τ,因此②④是,从而得到答案. 【解析】: 解:①τ={?,{a},{c},{a,b,c}}; 而{a}∪{c}={a,c}?τ,故①不是集合 X 上的拓扑的集合 τ; ②τ={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}},满足:①X 属于 τ,?属于 τ;②τ 中任意多个元素的 并集属于 τ;③τ 中任意多个元素的交集属于 τ 因此②是集合 X 上的拓扑的集合 τ; ③τ={?,{a},{a,b},{a,c}}; 而{a,b}∪{a,c}={a,b,c}?τ,故③不是集合 X 上的拓扑的集合 τ; ④τ={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 满足:①X 属于 τ,?属于 τ;②τ 中任意多个元素的并集属于 τ;③τ 中任意多个元素的交集属于 τ 因此④是集合 X 上的拓扑的集合 τ; 故答案为②④. ②④ .

【点评】: 此题是基础题.这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题,重在理解 题意. 本题是开放型的问题, 要认真分析条件, 探求结论, 对分析问题解决问题的能力要求较高. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12 分)(2015?青岛一模)某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演,甲、乙两社区 各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目,其中甲社区表演队中表演跳舞的有 1 人,表演笛子演 奏的有 2 人,表演唱歌的有 3 人. (Ⅰ)若从甲、乙社区各选一个表演项目,求选出的两个表演项目相同的概率; (Ⅱ)若从甲社区表演队中选 2 人表演节目,求至少有一位表演笛子演奏的概率. 【考点】: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】: 概率与统计. 【分析】: (Ⅰ)若从甲、乙社区各选一个表演项目,选出的两个表演项目所有基本事件的个 数,求出相同的事件的个数,即可求解概率; (Ⅱ)从甲社区表演队中选 2 人表演节目,列出所有基本事件的个数,找出至少有一位表演笛子 演奏的事件个数,然后求解概率. 【解析】: (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)记甲、乙两社区的表演项目:跳舞、笛子演奏、唱歌分别为 A1,B1,C1;A2,B2, C2 则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有(A1,A2),(A1,B2),(A1,C2),(B1, A2),(B1,B2),(B1,C2),(C1,A2),(C1,B2),(C1,C2)共 9 种,…(4 分) 其中选出的两个表演项目相同的事件 3 种,所以 …(6 分)

(Ⅱ)记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为 a1,b1,b2,c1,c2, c3 则从甲社区表演队中选 2 人的基本事件有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1, c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3), (c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共 15 种…(10 分) 其中至少有一位表演笛子演奏的事件有 9 种,所以 …(12 分)

【点评】: 本题考查古典概型的概率的求法,列出所有基本事件,做到不重复不漏是解题的关 键.

17.(12 分)(2015?青岛一模)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ 点的纵坐标为 2,且图象上相邻两个最高点的距离为 π. (Ⅰ)求 a 和 ω 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在[0,π]上的单调递减区间. 【考点】: 正弦函数的单调性;两角和与差的正弦函数. 【专题】: 三角函数的图像与性质.

)+a(ω>0)图象上最高

【分析】: (Ⅰ)根据条件确定函数最值和周期,利用三角函数的公式进行化简即可求 a 和 ω 的值; (Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求出函数的单调递减区间.

【解析】: 解:(Ⅰ) = = .…(4 分) 当 时,f(x)取得最大值 2+1+a=3+a

又 f(x)最高点的纵坐标为 2, ∴3+a=2,即 a=﹣1.…(6 分) 又 f(x)图象上相邻两个最高点的距离为 π, ∴f(x)的最小正周期为 T=π 故 ,ω=1…(8 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 由 得 令 k=0,得: . …(12 分) . .…(10 分)

故函数 f(x)在[﹣π,π]上的单调递减区间为

【点评】: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的图象以及三角函数的辅助角 公式求出函数的解析式是解决本题的关键. 18. (12 分) (2015?青岛一模)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90° ,BC=1,AB= 点. (Ⅰ)证明:B1D∥平面 AD1E1; (Ⅱ)证明:平面 ACD1⊥平面 BDD1B1. ,AD=AA1=3,E1 为 A1B1 中

【考点】: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.

【专题】: 空间位置关系与距离. 【分析】: (Ⅰ)连结 A1D 交 AD1 于 G,证明 B1D∥E1G,利用直线与平面平行的判定定理证 明 B1D∥平面 AD1E1. (Ⅱ)设 AC∩BD=H,通过△BHC~△DHA,结合 BC=1,AD=3,求出 , ,证明

AC⊥BD,然后证明 BB1⊥AC,得到 AC⊥平面 BDD1B1,利用平面与平面垂直的判定定理证明 平面 ACD1⊥平面 BDD1B1. 【解析】: (本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ)连结 A1D 交 AD1 于 G, 因为 ABCD﹣A1B1C1D1 为四棱柱, 所以四边形 ADD1A1 为平行四边形, 所以 G 为 A1D 的中点, 又 E1 为 A1B1 中点,所以 E1G 为△A1B1D 的中位线, 所以 B1D∥E1G…(4 分) 又因为 B1D?平面 AD1E1,E1G?平面 AD1E1, 所以 B1D∥平面 AD1E1. (Ⅱ)设 AC∩BD=H, …(6 分)

因为 AD∥BC,所以△BHC~△DHA 又 BC=1,AD=3,所以 ,

∵AD∥BC,∠BAD=90° ,所以∠ABC=90° ∴ 从而
2

, ,
2 2



所以 CH +BH =BC ,CH⊥BH,即 AC⊥BD…(9 分) 因为 ABCD﹣A1B1C1D1 为四棱柱,AA1⊥底面 ABCD 所以侧棱 BB1⊥底面 ABCD,又 AC?底面 ABCD,所以 BB1⊥AC…(10 分) 因为 BB1∩BD=B,所以 AC⊥平面 BDD1B1…(11 分) 因为 AC?平面 ACD1,所以平面 ACD1⊥平面 BDD1B1.…(12 分)

【点评】: 本题考查直线与平面平行,平面与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力 以及逻辑推理能力. 19.(12 分)(2015?青岛一模)已知数列{an}是等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,且 a10=28, S8=92;数列{bn}对任意 n∈N ,总有 b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1 成立. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
*

(Ⅱ)记 cn=

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】: 数列的求和. 【专题】: 等差数列与等比数列. 【分析】: (Ⅰ)设出{an}的首项和公差,由已知列方程组求得首项和公差,代入等差数列的 通项公式求通项;再由 b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1,得 b1?b2?b3…bn﹣1=3n﹣2(n≥2),两式相除可 得数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)把{an}、{bn}的通项公式代入 cn= 和 Tn . 【解析】: 解:(Ⅰ)设{an}的首项为 a1,公差为 d,由 a10=28,S8=92, 得 a10=a1+9d=28, 解得 a1=1,d=3,an=1+3(n﹣1)=3n﹣2; 又∵b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1, ∴b1?b2?b3…bn﹣1=3n﹣2(n≥2), 两式相除得 当 n=1 时 b1=4 适合上式, ∴ ; , , ,化简后利用错位相减法求得数列{cn}的前 n 项

(Ⅱ)把{an}、{bn}的通项公式代入 cn=

,得









两式作差得:











【点评】: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了错位相减法求数列的和,是中 档题.

20.(13 分)(2015?青岛一模)已知椭圆 C:
2 2

+

=1(a>b>0)上顶点为 A,右顶点为 B,

离心率 e=

,O 为坐标原点,圆 O:x +y = 与直线 AB 相切.

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l:y=k(x﹣2)(k≠0)与椭圆 C 相交于 E、F 两不同点,若椭圆 C 上一点 P 满足 OP∥l.求△EPF 面积的最大值及此时的 k . 【考点】: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】: (Ⅰ)设出直线 AB 的方程为:
2 2 2 2

,利用圆 O 与直线 AB 相切,列出关系式,

设椭圆的半焦距为 c,通过 b +c =a ,利用离心率,求出 a,b,得到椭圆 C 的标准方程. (Ⅱ)了直线与椭圆方程,设 E(x1,y1),F(x2,y2),利用韦达定理,以及弦长公式,点到 直线的距离,求出 = 分离常数,利用二次函

数的最值,求解△EPF 的面积的最大值,以及 k 的中. 【解析】: 解:(Ⅰ)由题意,直线 AB 的方程为: ,即为 bx+ay﹣ab=0

因为圆 O 与直线 AB 相切,所以



…①…(2 分)

设椭圆的半焦距为 c,因为 b +c =a ,

2

2

2



所以
2

…②…(3 分)
2

由①②得:a =2,b =1 所以椭圆 C 的标准方程为: …(5 分)

(Ⅱ)由

可得:(1+2k )x ﹣8k x+8k ﹣2=0

2

2

2

2

设 E(x1,y1),F(x2,y2) 则 所以 , …(7 分)

又点 O 到直线 EF 的距离



∵OP∥l,∴

=

…(10 分)

又因为

,又 k≠0,∴
2

令 t=1+2k ∈(1,2),则



所以当

时,

最大值为

所以当

时,△EPF 的面积的最大值为

…(13 分)

【点评】: 本题考查椭圆的方程的求法,直线与圆的我最关心,直线与椭圆的综合应用,考查 分析问题解决问题的能力,考查转化思想的应用.
2 x

21.(14 分)(2015?青岛一模)已知函数 f(x)=(ax +2x﹣a)e ,g(x)= f(lnx),其中 a∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. (Ⅰ)若函数 y=f(x)的图象在点 M(2,f(2))处的切线过坐标原点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)在[﹣1,1]上为单调递增函数,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)当 a=0 时,对于满足 0<x1<x2 的两个实数 x1,x2,若存在 x0>0,使得 g′(x0) = 成立,试比较 x0 与 x1 的大小.

【考点】: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】: 导数的综合应用. 【分析】: (Ⅰ)求出函数的导函数 f'(x)=[ax +2(a+1)x+2﹣a]e ,通过 f'(2),求出函 数 y=f(x)的图象在点 M(2,f(2))处的切线方程,通过切线过坐标原点,求出 a 即可. (Ⅱ)通过 f(x)在[﹣1,1]上为单调递增函数,只要 f'(x)≥0,构造 Γ(x)=ax +2(a+1)x+2 ﹣a 通过①当 a=0 时,推出函数 f(x)在[﹣1,1]上为单调递增函数. ②当 a>0 时, Γ (x) =ax +2 (a+1) x+2﹣a, 利用二次函数的性质, Γ (x) (﹣1) =﹣2a≥0?a≤0 min=Γ 推出矛盾. ③当 a<0 时,Γ(x)=ax +2(a+1)x+2﹣a 类比②,得到结果.
2 2 2 2 x

(Ⅲ)利用

,g'(x)=lnx+1.通过导数的几何意义,说明存在 x0

>0,使得 单调性,然后推出 x0>x1 即可. 【解析】: (本小题满分 14 分)

,然后构造函数,利用新函数的导数,判断函数的

解:(Ⅰ)∵f(x)=(ax +2x﹣a)e ,∴f'(x)=[ax +2(a+1)x+2﹣a]e 则 f'(2)=(7a+6)e ,f(2)=(3a+4)e
2 2

2

x

2

x

∴函数 y=f(x)的图象在点 M(2,f(2))处的切线为:y﹣f(2)=(7a+6)e (x﹣2) ∵切线过坐标原点,0﹣f(2)=(7a+6)e (0﹣2), 即(3a+4)e =2(7a+6)e ,∴ (Ⅱ)f'(x)=[ax +2(a+1)x+2﹣a]e
2 2 x 2 2 2 2

2

…(3 分)

要使 f(x)在[﹣1,1]上为单调递增函数,只要 ax +2(a+1)x+2﹣a≥0 令 Γ(x)=ax +2(a+1)x+2﹣a ①当 a=0 时,Γ(x)=2x+2,在[﹣1,1]内 Γ(x)≥Γ(﹣1)=0,∴f'(x)≥0 函数 f(x)在[﹣1,1]上为单调递增函数…(4 分) ②当 a>0 时,Γ(x)=ax +2(a+1)x+2﹣a 是开口向上的二次函数, 其对称轴为 ,
2

∴Γ(x)在[﹣1,1]上递增,为使 f(x)在[﹣1,1]上单调递增, 必须 Γ(x)min=Γ(﹣1)=﹣2a≥0?a≤0 而此时 a>0,产生矛盾 ∴此种情况不符合题意
2

…(6 分)

③当 a<0 时,Γ(x)=ax +2(a+1)x+2﹣a 是开口向下的二次函数, 为使 f(x)在[﹣1,1]上单调递增,必须 f'(x)≥0,即 Γ(x)≥0 在[﹣1,1]上恒成立, ∴ ?

又 a<0,∴﹣2≤a<0 综合①②③得实数 a 的取值范围为[﹣2,0]…(8 分) (Ⅲ) ,g'(x)=lnx+1.

因为对满足 0<x1<x2 的实数 x1, x2, 存在 x0>0, 使得 立, 所以 ,即 ,



从而 = =

.…(11 分)

设 φ(t)=lnt+1﹣t,其中 0<t<1,则 因而 φ(t)在区间(0,1)上单调递增,φ(t)<φ(1)=0, ∵0<x1<x2,∴ ,从而



,又

所以 lnx0﹣lnx1>0,即 x0>x1…(14 分) 【点评】: 本题考查函数的导数的综合应用,切线方程的求法,构造法的应用,导数的几何意 义,考查函数的单调性的应用,转化思想的应用.


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