当前位置:首页 >> 数学 >>

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 1.2


第二节 命题、充分条件与必要条件

【知识梳理】

1.必会知识
(1)命题:

教材回扣

填一填

判断真假 、用文字或符号表述的语句叫作命题.其中_________ 判断为真 可以_________ 判断为假 的语句叫作假命题. 的语句叫作真命题,_________

(2)四种命题及其相互关系:

若q,则p

若?p,则?q

若?q,则?p

(3)充要条件: 充分 条件,q是p的_____ 必要 条件 若p?q,则p是q的_____ 充分不必要 条件 p是q的___________ 必要不充分 条件 p是q的___________ 充要 条件 p是q的_____ 既不充分也不必要 条件 p是q的_________________ p?q且q ? ? p p? ? q且q?p p?q p? ? q 且q ? ? p

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)四种命题中的等价关系:
逆否命题 否命题等价于_______, 逆命题 在四种形式的命题 原命题等价于_________, 中真命题的个数只能是0或2或4. (2)等价转化法判断充分条件、必要条件: 充分不必要 条件.其他情 p是q的充分不必要条件,等价于﹁q是﹁p的___________ 况依次类推.

(3)集合与充要条件: p成立的对象构成的集合为A, q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件

真子集 A是B的_______

真子集 B是A的_______
A=B ____ 包含 A,B互不_____

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:判断充分条件、必要条件的定义法、集合法、等价转化

法.
(2)数学思想:化归与转化思想.

(3)记忆口诀:真假能判是命题,条件结论很清楚.
命题形式有四种,分成两双同真假.

若p则q真命题,p是q充分条件,
q是p必要条件,原逆皆真称充要.

【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)语句x2-3x+2=0是命题. (

)
( )

(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.

(3)命题“如果p不成立,则q不成立”等价于“如果q成立,则p成立”.
( )

(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的
意义相同. ( )

【解析】(1)错误.无法判断真假,故不是命题. (2)错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题 ,它们的真假性 相同. (3)正确.一个命题与其逆否命题等价. (4)错误.“p是q的充分不必要条件”即为“p?q且q ? ? p”,“p的充 分不必要条件是q”即为“q?p且p ? ? q ”. 答案:(1)? (2)? (3)√ (4)?

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(选修2-1P21复习题一B组T2改编)命题“若a,b都是无理数,则a+b 是无理数”的逆否命题是 ,其命题的真假情况是 .

【解析】“a,b都是无理数”的否定是“a,b不都是无理数”,“a+b 是无理数”的否定是“a+b不是无理数”,故逆否命题为:若“a+b不是 无理数,则a,b不都是无理数”,是假命题. 答案:若a+b不是无理数,则a,b不都是无理数 假命题

(2)(选修2-1P10习题1-2T1(8)改编)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的 条件. 【解析】x=a?(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立,因此“(x-a)(x-b)=0” 是“x=a”的必要不充分条件. 答案:必要不充分

3.真题小试

感悟考题

试一试 ( )

(1)(2014·北京高考)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解题提示】验证充分性与必要性. 【解析】选D.“a>b”推不出“a2>b2”, 例如,2>-3,但4<9; “a2>b2”也推不出“a>b”, 例如,9>4,但-3<2.

(2)(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边 形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”?“AC⊥BD”,“AC⊥BD”推不 出“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD” 的充分不必要条件.

(3)(2015·渭南模拟)对于原命题“单调函数不是周期函数”,下列 叙述正确的是 ( )

A.逆命题“周期函数不是单调函数” B.否命题“单调函数是周期函数” C.逆否命题“周期函数是单调函数” D.命题的否定“存在单调函数是周期函数” 【解析】选D.由逆命题、否命题、逆否命题的定义知 A,B,C错,命题的 否定只否定结论,与否命题不一样.

考点1

四种命题及其真假判断

【典例1】(1)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论正确的是 ( )

A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真 命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假 命题 C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是 真命题 D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数” 是真命题

(2)(2014·陕西高考)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=

|z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的
是 ( )

A.真,假,真

B.假,假,真

C.真,真,假

D.假,假,假

【解题提示】(1)先判断否命题,逆命题、逆否命题是否正确,再判断 其真假. (2)写出逆命题,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价来判断.

【规范解答】(1)选D.f′(x)=ex-m,由f(x)在(0,+≦)上是增函数知

f′(x)≥0,即m≤ex在x∈(0,+≦)上恒成立,又ex>1,从而m≤1,则原命
题是真命题.对于A,否命题写错,故A错;对于B,逆命题写对,但逆命题

是真命题,故B错;对于C,逆否命题写错,故C错;对于D.逆否命题写对,
且为真命题,故选D.

(2)选B.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;
而它的逆命题为假,所以它的否命题亦为假,故选B.

【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错:
(1)根据f(x)是增函数求错m的取值范围.

(2)把“f(x)是增函数”的否定错误地认为是“f(x)是减函数”.

【规律方法】

1.书写否命题和逆否命题的关注点
(1)一些常见词语及其否定表示:

词语



都是

都不是

等于

大于

否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于

(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点: ①方法:首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚. ②注意点:注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中 “都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是.

2.命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.

【变式训练】命题“若x+y=5,则x=2且x=3”的逆否命题是 A.若x≠2且x≠3,则x+y≠5 B.若x≠2或x≠3,则x+y≠5 C.若x≠2且x≠3,则x+y=5 D.若x≠2或x≠3,则x+y=5

(

)

【解析】选B.因为“若p,则q”的逆否命题是“若﹁q,则﹁p”,故B 正确.

【加固训练】1.命题“若α = ? ,则tanα =1”的逆否命题是

A.若α ≠ ? ,则tanα ≠1
C.若tanα ≠1,则α ≠ ?
4 4

4

(

)

B.若α = ? ,则tanα ≠1
D.若tanα ≠1,则α = ?
4 4 4

【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠ ? ”,故选C.

2.关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠?” 的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是 A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 ( )

【解析】选D.原命题为真命题,则其逆否命题为真命题.

考点2

充分条件、必要条件的判断 知·考情

充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形 式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的 各个方面,如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体 几何等知识.

明·角度

命题角度1:定义法判断充分条件、必要条件
【典例2】(2014·湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C

使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的
A.充分而不必要的条件 C.充要条件

(

)

B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

【解题提示】考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断 .

【规范解答】选C.依题意,若A?C,则?UC??UA,当B??UC,可得A∩B=?;
若A∩B=?,不妨令C=A,显然满足A?C,B??UC,故满足条件的集合C是存 在的.

命题角度2:集合法判断充分条件、必要条件

【典例3】(2015·合肥模拟)“a>1”是“函数f(x)=x3+a在R上为单调
递增函数”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

【解题提示】分清条件与结论,根据充分条件、必要条件的定义去判

断.
【规范解答】选A.因为f′(x)=3x2≥0,所以a无论取何值,函数 f(x)=x3+a在R上为单调递增函数,所以“a>1”是“函数f(x)=x3+a在R 上为单调递增函数”的充分不必要条件.

命题角度3:等价转化法判断充分条件、必要条件

【典例4】(2013·山东高考)给定两个命题p,q.若﹁p是q的必要而不
充分条件,则p是﹁q的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解题提示】借助原命题与逆否命题等价判断.

【规范解答】选A.因为﹁p是q的必要不充分条件,则q?﹁p但﹁p ? ? q,
其逆否命题为p?﹁q但﹁q ? ? p,所以p是﹁q的充分不必要条件.

悟·技法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据p?q,q?p进行判断. (2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题 转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问 题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断 “x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.

通·一类

1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f在x=x0处导数存在,若
p:f′(x0)=0;q:x=x0是f的极值点,则 A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 ( )

【解析】选C.因为若f′ (x0)=0,则x0不一定是极值点,

所以命题p不是q的充分条件;
因为若x0是极值点,则f′(x0)=0, 所以命题p是q的必要条件.

2.(2013·湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的

(

)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.因为集合(1,2)是集合(-≦,2)的真子集,所以“1<x<2” 是“x<2”成立的充分不必要条件,故选A.

3.(2013·上海高考)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思

是:“不便宜”是“好货”的
A.充分条件

(

)

B.必要条件
C.充分必要条件

D.既非充分也非必要条件
【解析】选B.根据等价命题,便宜?没好货,等价于,好货?不便宜,故

选B.

考点3

充分条件、必要条件的应用

?log 2 x, x ? 0, 【典例5】(1)函数f(x)= ? 有且只有一个零点的充分不必 x ??2 ? a, x ? 0

要条件是 A.a<0

(

)

B.0<a< 1

C. 1 <a<1
2

2

D.a≤0或a>1

(2)设条件p:2x2-3x+1≤0;条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是﹁q 的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .

【解题提示】(1)先找出充要条件,再根据集合之间的关系确定答案.

(2)先解不等式把条件p,q具体化,再由互为逆否命题的等价性确定
p,q之间的关系,最后根据集合间的关系列不等式组求解.

【规范解答】(1)选A.因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只

有一个零点?函数y=-2x+a(x≤0)没有零点?函数y=2x(x≤0)与直线
y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1. 观察选项,根据集合间关系{a|a<0} ? {a|a≤0或a>1},故选A.

(2)由2x2-3x+1≤0得 ≤x≤1,

1 2

由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得a≤x≤a+1.
由﹁p是﹁q的必要不充分条件知,p是q的充分不必要条件,则有 {x|
1 ≤x≤1} ? {x|a≤x≤a+1}, 2

1 ? a ? ? 所以 ? 2 , 解得0≤a≤ 1 . 2 ? a ? 1 ? 1, ? 答案:[0, 1 ] 2

【规律方法】

1.与充要条件有关的参数问题的求解方法
解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此 列出关于参数的不等式(组)求解. 提醒:求解时要注意区间端点值的检验.

2.充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是 分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.这类试题一般有两种 设置格式. (1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是A?B,必要性是B?A.

(2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是B?A,必要
性是A?B.

提醒:在分充分性与必要性分别进行证明的试题中,需要分清命题的条

件是什么,结论是什么;在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证
明,即用等价转化法进行推理证明.

【变式训练】已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}.

(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的取值
范围. (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的取值 范围.

【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,

所以P={x|-2≤x≤10},
(1)因为x∈P是x∈S的充要条件,所以P=S, 所以 ?
?1 ? m ? ?2, m ? 3, 所以 ? 这样的m不存在. ? ?1 ? m ? 10, ?m ? 9,

(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件,则S?P,
?1 ? m ? ?2, 当S=?时,1-m>1+m,解得m<0,当S≠?时,由题意可得 ? ?1 ? m ? 10,

所以m≤3. 综上,可知m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.

【加固训练】1.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大

值为

.

【解析】由x2>1得x>1或x<-1. 由题意知{x|x<a} ? {x|x>1或x<-1}, 所以a≤-1,从而a的最大值为-1. 答案:-1

2.已知ab≠0,证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

【证明】先证充分性:若a3+b3+ab-a2-b2=0,
则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,

所以(a+b-1) [(a ? b ) 2 ? 3 b 2 ] =0,由ab≠0得
2 4

a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得证.

再证必要性:若a+b=1,则由以上对充分性的证明知a3+b3+ab-a2-b2
=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,故必要性得证.

综上知,a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

自我纠错1

充分条件、必要条件的判断

【典例】(2013·天津高考改编)设a,b∈R,且a≠0,则“(a-b)a2<0” 是“a<b”的 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?

提示:(1)忽略a≠0这一条件.
(2)只考虑了a<b?(a-b)a2<0是否成立,忽略了反推.

【规避策略】

1.判断思路:判断充分条件、必要条件必须从正、反两个方面进行推
理论证,缺一不可,最后根据充分条件、必要条件的定义进行判断. 2.关注大前提:进行正、反两个方面推理时,大前提都要利用好,是推 理的条件.

【自我矫正】选C.因为a≠0,所以a2>0.

由(a-b)a2<0知,a-b<0,即a<b.
所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分条件. 反之,因为a,b∈R,且a≠0,所以a2>0. 因为a<b,即a-b<0,所以(a-b)a2<0. 所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的必要条件. 综上,应选C.


相关文章:
...人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 1.2.ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 1.2 - 第二节 命
...人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 10.2_图....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 10.2 - 第二节 排列与组合 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)排列与组合的概念: 名称 ...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 2.8 - 第八节 函数与方程 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数的零点: ①函数零点的...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 选修4-1 2 - 第二节 圆与直线、圆与四边形 【知识梳理】 1.圆周角定理及其推论 一半 圆周角 (1)...
...人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 5.2.ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 5.2 - 第二节 等差数列 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)等差数列的概念: 同一个常数...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 8.2_图文....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 8.2 - 第二节 两条直线的位置关系 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)两直线的平行、...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 2.4 - 第四节 指数与指数函数 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)指数扩充及其运算性质: ...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 7.2_图文....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 7.2 - 第二节 空间图形的基本关系与公理 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)空间中点与...
...版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 1.1集合....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 1.1集合_数学_高中教育_教育专区。第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合 【知识梳理】 1.必会...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 6.5合情推理与演绎推理 - 第五节 合情推理与演绎推理 【知识梳理】 1.必会知识 (1)归纳推理: ...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 8.9 - 第九节 直线与圆锥曲线的位置关系 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)直线与圆锥...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 3.6倍角公式和半角公式 - 第六节 倍角公式和半角公式 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 ...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 2.11 - 第十一节 导数与函数的单调性、极值、最值 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 5.1数列 - 第五章 数 列 第一节 数 列 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)数列...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 2.2_图文....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 2.2 - 第二节 函数的单调性与最值 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数在区间上是...
...版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 2.1函数....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 2.1函数及其表示 - 第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 【知识梳理】 1.必会知识 ...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....doc
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 专项强化训练(一) -
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 6.6直接证明与间接证明 - 第六节 直接证明与间接证明 【知识梳理】 1.必会知识 (1)直接证明: ...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 2.6 - 第六节 幂函数与二次函数 【知识梳理】 1.必会知识 (1)幂函数: 教材回扣 填一填 y=xα ...
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配....ppt
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 7.4垂直关系 - 第四节 垂直关系 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)直线与平面垂直:...
更多相关标签: