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[原创]2013年《随堂优化训练》数学 人教版 九年级 下册 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数及其图象 第1课


下册 第二十六章 二次函数
26.1 二次函数及其图象
第 1 课时 二次函数及 y=ax 2 的图象

1.二次函数的概念 常数 ≠0 (1)形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是______,a____)的函数, 叫做二次函数.

c x a b (2)______是自变量,______,______,______分别是函数
表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2.描点法作图的三个步骤 列表 描点 连线 (1)________;(2)________;(3)________.

3.顶点 对称轴 (1)定义:抛物线与________的交点. 低 高 (2)性质:抛物线的最______点或最______点. 4.二次函数 y=ax2 的图象 探究:y=ax2,

≥ (1)当 a>0 时,无论 x 取何值,总有 y____0,除点(0,0)外, 上 抛物线在 x 轴____方.
≤ (2)当 a<0 时,无论 x 取何值,总有 y____0,除点(0,0)外, 下 抛物线在 x 轴____方.

归纳:
函数 a 的符号 图象 开口 方向 对称轴 顶点 有最高或 坐标 最低点 最值 当 x=

a>0

向上

最低点

0 时,

y=ax2
a<0
向下

y轴

(0,0) 最高点

ymin=0
当 x=

0 时,

ymax=0

小 (3)当 a>0 时,a 越大,抛物线的开口越______; 大 当 a<0 时,a 越大,抛物线的开口越______.

二次函数的概念(重点)

例 1:当 m 为何值时,y=(m -4) x 的二次函数?

2

m2 ? m ? 4

+2x-1 是关于 x
m2 ? m ? 4

思路点拨:根据二次函数的定义,要使 y=(m -4) x

2



2x-1 是二次函数,m 必须满足两个条件:①m2-m-4=2; ②m2-4≠0.两者缺一不可.

自主解答:根据题意,得 m2-m-4=2,m2-4≠0. 解得 m=3. ∴当 m=3 时,y=(m -4) x
2
m2 ? m ? 4

+2x-1 是二次函数.

跟踪训练 1.下列函数中是二次函数的是( A )
A.y=2x2 1 C.y=x2 B.y= x2-1 D.y=a2x
m2 ? 7

2.已知 y=(m-3) x

是 y 关于 x 的二次函数,求 m 的值.
解得 m=-3.

?m2-7=2, ? 解:由题意,得? ?m-3≠0, ?

二次函数 y=ax2 的图象的画法
1 2 例 2:在同一直角坐标中,画出函数 y=2x 和 y=-2x2 的图 象,并根据图象回答下列问题: (1)说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; 1 2 (2)抛物线 y=2x ,当 x________时,抛物线上的点都在 x 轴 上方;当 x>0 时,曲线自左向右逐渐________;它的顶点是图象 的最________点; (3)函数 y=-2x2,对于一切 x 的值,总有函数值 y______0; 当 x<0 时,y 随 x 的增大而________;当 x________时,y 有最 ________值为________.

自主解答:列表:

x
1 2 y=2x

… …

-2 -1.5 2 1.125

-1 0.5
-2

0

1

1.5

2

… …

0

0.5 1.125

2

y=-2x2



-8 -4.5

0 -2 -4.5 -8 …

1 2 然后描点、画图,得函数 y=2x 和 y=-2x2 的图象,如图 D50 所示.

图 D50
1 2 (1)抛物线 y=2x 的开口向上, 对称轴是 y 轴, 顶点坐标是(0,0); 抛物线 y=-2x2 的开口向下,对称轴是 y 轴,顶点坐标是(0,0).

(2)≠0

上升 低

(3)≤

增大 =0 大 0

跟踪训练
1 2 3. 在同一坐标系内用描点法画出 y=-4x , y=-x , 4x , y=
2 2

y=x2 的图象.

图略

二次函数 y=ax2 的图象及性质(重点)

例 3:已知 y=(n+2) x

n2 ? n ? 4

是关于 x 的二次函数.

(1)求函数满足条件的 n 的值; (2)当 n 为何值时,抛物线有最高点; (3)当 n 为何值时,抛物线开口向上. 思路点拨:(1)n 需满足两个条件:①n2+n-4=2;②n+ 2≠0.(2),(3)中 n 值的确定都与二次项系数的正负有关.

?n2+n-4=2, ? 自主解答:(1)由题意,得? ?n+2≠0, ?

解得 n1=2,n2=-3. 即当 n=2 或 n=-3 时,原函数为二次函数. (2)当 n=-3 时,n+2<0, ∴当 n=-3 时,抛物线有最高点. (3)当 n=2 时,n+2>0, ∴n=2 时,抛物线开口向上.

跟踪训练 4.已知 a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数

y=x2 的图象上,则( C )
A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3

5.如图 26-1-1,

图 26-1-1

①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.
比较 a,b,c,d 的大小,用“>”连接.

a>b>d>c _________________.


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