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2013届高三数学培优补差辅导专题讲座-三角函数单元易错题分析与练习


第三讲:三角函数单元部分易错题解析
1、 角的概念的推广: 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角, 一条射线没有 作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负 半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1) ? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注 意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且
?

绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 (答: ?25 ; ?
?

5 ?) 36 (2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ?Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ?Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ?Z) . (6) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k? , k ? Z ; ? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? k? ? ? ? k? ? , k ? Z ; 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ? , k ? Z .如 ? 的终边与 的 ? 2 2 6

终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =____________。 (答: 2k? ?

?

2 ? 则 是第_____象限角(答:一、三) 2

4、 ? 与 ? 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 ? 是第二象限角,

3

, k ?Z )

? 2 5.弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,1 弧度(1rad) ? 57.3 .

2

2

如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) 6、 任意角的三角函数的定义: ? 是任意一个角, ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点 设 P (异 于 原 点 ), 它 与 原 点 的 距 离 是 r ?

2

x 2 ? y 2 ? 0 , 那 么 sin ? ?

y x , cos ? ? , r r

tan ? ?

数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。如(1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,

y r x r , ? x ? 0 ? , cot ? ? ( y ? 0) , sec ? ? ? x ? 0 ? , csc ? ? ? y ? 0 ? 。三角函 x x y y

7 ) (2)设 ? 是第三、四象限角, ; 13 2m ? 3 3 | sin ? | cos? sin ? ? ? ? 0, , m 的取值范围是_______ 则 (答: (-1, ) ) ; 若 (3) 4?m 2 sin ? | cos? | ? 试判断 cot(sin? ) ? tan(cos ) 的符号(答:负) y
- 12) , 则 si n? ? cos? 的 值 为 _ _ 。 答 : ? ( 7.三角函数线的特征是: 正弦线 MP “站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 余弦线 OM 、 “躺在 x 轴上(起点是原点)” 正切线 AT 、 “站 在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.三角函数线的重要应用是比较三 角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若 ?
B P α O A M x T S

?
8

? ? ? 0 ,则

sin ? ,cos ? , tan ?

的 大 小 关 系 为 _____( 答 :
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tan ? ? sin ? ? cos ? ); (2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为_______ (答:

sin ? ? ? ? tan ? )(3)函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域是_______(答: ; ? 2? (2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) ) 3 3
8.特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° -1 15° 75°

sin ?

1 2

2 2 2 2
1

3 2
1 2

6? 2 4 6? 2 4
2- 3

6? 2 4 6? 2 4
2+ 3

cos?
tan ? cot ?

3 2 3 3

1

0

-1

0

3
3 3

0

0

3

1

0

0

2+ 3

2- 3

9. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ,1 ? cot 2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三 角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩 角的范围, 以便进行定号; 在具体求三角函数值时, 一般不需用同角三角函数的基本关系式, 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号, 再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值。如(1)函数 y ?

sin ? ? tan ? 的值的符号为____(答:大于 0)(2)若 0 ? 2 x ? 2? , ; cos ? ? cot ?

则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____(答: [0,

?

3 m?3 4 ? 2m ? [ ? , ? ] )(3)已知 sin ? ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____(答: ; , cos ? ? m?5 m?5 2 4 5 tan ? sin ? ? 3 cos ? 2 ? ?1 ,则 ? ) (4)已知 ; =____; sin ? ? sin ? cos? ? 2 = tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 12 5 13 a ? ? _________(答: ? ; )(5)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于 ; A、 ? 3 5 1? a2
B、

4

]?

a

1? a2 ? 则 f (sin 30 ) 的值为______(答:-1) 。 k 10.三角函数诱导公式( ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或 2

1? a 2 C、? a

1? a 2 D、 (答:B)(6)已知 f (cos x) ? cos3x , ; a

偶数) ,符号看象限(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的 三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角

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9? 7? 2 3 ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________(答: )(2) ; ? 4 6 2 3 4 ? 已 知 sin( 540 ? ? ) ? ? , 则 c o s ( ? 2 7 ? ) ? ______ , 若 ? 为 第 二 象 限 角 , 则 ? 0 5 4 3 [sin( ? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 180 (答: ? ; ? ) ? ________。 ? 5 100 tan( 180 ? ? )
三角函数。如(1) cos 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? sin 2? ? 2sin ? cos ? ?
令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?

                        2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         cos 2 ?= ? 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      2 ?= ? sin 2 2 tan ?     2? ? tan 1 ? tan 2 ? 1 ? 2 ? ? sin 2 如(1)下列各式中,值为 的是 A、sin15? cos 15? B、cos 2 12 12   ?? ? ? ? ? tan
tan 22.5? 1 ? cos 30? C、 D、 (答:C)(2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 ; 1 ? tan 2 22.5? 2 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要
不 充 分 条 件 D 、 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 ( 答 : C );( 3 ) 已 知

s i n (? ? ?

) c? s ?o

??o s ( c ?

3 7 ? ,那么ncos2? 的值为____(答: ?) si ) (4) ; 5 25

1 3 0 0 的值是______(答:4) ;(5)已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表 ? ? sin10 sin 80? 1 ? a2 a? 3 示)甲求得的结果是 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的 2a 1 ? 3a
判断是______(答:甲、乙都对) 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首 先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第 二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
已知 tan(? ? ? ) ?

? ??
2



???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) ,如(1)

2 ? 1 ? 3 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: )(2) ; 5 4 4 4 22 ? ? 1 ? 2 sin( ? ? ) ? , c ? ) ? 的值 ( s ? 已知 0 ? ? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? ? , 且 求o (答: 2 2 9 2 3 490 3 )(3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函 ; 5 729

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3 4 3 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5 (2)三角函数名互化(切割化弦),如(1)求值 sin50? (1 ? 3 tan10? ) (答:1)(2) ; sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 已知 1 ? cos 2? 3 8 (3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。如(1)已知 A、B
数关系为______(答: y ? ? 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____(答: ? 设 ?ABC 中,tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B ,sin Acos A ? 三角形(答:等边)

2 ) ;(2) 2

3 , 则此三角形是____ 4

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与升幂 2 2 3 2 2 公式: 1 ? cos 2? ? 2cos ? , 1 ? cos 2? ? 2sin ? )。如(1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简 2
(4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ?
2

? 1 1 1 1 ; ? ? cos 2? 为_____(答:sin )(2)函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3cos 2 x 2 2 2 2 2 5 ? 5? ? 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________(答: [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) 2 12 12 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如(1) tan ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? tan sin ? ? tan ? 1 ? sin ? 2; ? (答: sin ? )(2)求证: ; (3)化简: ? ? ? cot ? ? csc ? 2 1 ? 2sin 1 ? tan 2 2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 (答: 1 cos 2 x ) ? ? 2 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 2 2 2 2 (6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x 3 2 2 ? tan ? ? sin ? ?? 等) ,如已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? (答: ). 4 2 5 sin x ? cos x、sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” (7)正余弦“三兄妹— ,如(1) 2 t ?1 o 若 sin x ? cos x ? t , sn c s x ? 则i x __ (答:? ), 特别提醒: 这里 t ?[? 2, 2] ; 2 4? 7 (2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答: ? )(3)已知 ; 2 3 ? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值(答: 1 ? k ) 。 4 2 1 ? tan ?
13、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? 在的象限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a

如 (1) 若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解, c 的取值范围是___________. 则 (答: [-2,2]) ;

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(2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答: ?

( 答 : - 2) ; 4 ) 求 值 : ( f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = 3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________(答:32) 2 2 sin 20? cos 20? 14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图 ? 3? , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接 方法:五点法:先取横坐标分别为 0, , ? , 2 2 起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 (2)值域:都是 ??1,1? ,对 y ? sin x ,当 x ? 2k ? ?

3 ); (3)如果 2

?

x ? 2k ? ?

3? ?k ? Z ? 时, y 取最小值-1;对 y ? cos x ,当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, y 取最 2

2

?k ? Z ? 时, y 取最大值 1;当
?

大值 1,当 x ? 2k? ? ? ?k ?Z ? 时, y 取最小值-1。如(1)若函数 y ? a ? b sin(3 x ? 的最大值为

6

)

1 3 1 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _(答: a ? , b ? 1 或 b ? ?1 )(2)函数 ; 2 2 2

f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? [ ?

? ?

则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____(答:7;-5) (4)函数 ;

, ]) 的值域是____ (答: [-1, 2]) ; 若 2? ? ? ? ? , (3) 2 2

f ( x) ? 2 cos x sin(x ?
(答:2;k? ?

?
3

)?

2 3 sin x ? sin x cos x 的最小值是_____,此时 x =__________

?
12

(k ? Z ) )(5)己知 sin ? cos ? ? ;

1 ,求 t ? sin ? cos ? 的变化范围 (答: 2

1 [0, ] )(6)若 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 2 cos? ,求 y ? sin 2 ? ? sin 2 ? 的最大、最小值(答: ; 2 。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余 ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 )
弦函数的有界性了吗? (3) 周期性: y ? sin x 、y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ; f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ① ②

?x 2? 。 如 (1) 若 f ( x ) ? sin ,则 3 |? | f (1) f ( 2? f ( 3? ? f ( 2 0 0 3 ) ? ) ?) =___(答:0) ;(2) 函数 f ( x) ? cos4 x ?2sin x cos x ? ? ? sin 4 x 的最小正周期为____ 答: ) (3) 设函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ) , ( 若对任意 x ? R ? ; 2 5 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 | x1 ? x2 | 的最小值为____(答:2) ( 4 ) 奇 偶 性 与 对 称 性 : 正 弦 函 数 y ? sin x( x ? R) 是 奇 函 数 , 对 称 中 心 是 ? ? k? ,0?? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? 2 ? k ? Z ? ;余弦函数 y ? cos x( x ? R) 是偶函数, ? ? ? 对称中心是 ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ?(正(余)弦型函数的对称轴 2 ? ? 为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。如(1)函数
和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的 最 小 正 周 期 都 是 T ?
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? 5? ? y ? sin ? ? 2 x ? 的 奇 偶 性 是 ______ ( 答 : 偶 函 数 );( 2 ) 已 知 函 数 ? 2 ? ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______(答:-5)(3) ; f ( x ) ? ax ? b sin3 x ? 1( a,b 为常数) s n s 函 数 y ? 2 c o x( s i x ? c o x) 的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 __________ 、 k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z ) );( 4 ) 已 知 ____________ ( 答 : ( 2 8 2 8 ? ? (答: ? ? k? ? ( k ? Z ) ) f ( x?) s i n ( ?x 3 ) ? ? c 为偶函数,求) 的值。 ?? os( x 6 ? ?? ? ( 5 ) 单 调 性 : y ? sin x在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上 单 调 递 增 , 在 2 2? ? ? 3? ? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? k ? Z ? 单调递减;y ? cos x 在 ?2k? , 2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减, ? ? 在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。特别提醒,别忘了 k ? Z !
16、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅; f ?

1 ―频率(周期的倒数) ? x ? ? ―相位; ? ―初 ; T
2 3 Y 2? 9 X

相; (2) 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定: 由最值确定;? A 由 周 期 确 定 ; ? 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 如

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 ,| ? |?

?
2

) 的图象如图所示,则

-2 15 ? 23题 图 f ( x) ? 2sin( x ? ) ) f ( x) =_____(答: ; 2 3 (3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X = ? 3? , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法: 0, , ? , 2 2

这是作函数简图常用方法。 (4) 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系: ①函数 y ? sin x 的 图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的 图 象 ; ② 函 数 y ? sin? x ? ? ? 图 象 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

1

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;③函数 y ? sin ?? x ? ? ? 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;④函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变, 纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。要特别注意, ? 若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移 | | 个单位,如 ? ? (1)函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象?(答: 4 ? ? ? y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 向上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再向左平移 个单位 4 4 8 得 y ? 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y ? 2sin x 的图象,最后将纵坐标缩小 1 x ? 到原来的 即得 y ? sin x 的图象) ;(2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需把函数 2 2 4
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?

,得到函数

y ? sin

? ? 像, 按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称, 这样的向量是否唯一?若唯一, 求出 a ;
若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量 a ? (?

x ? 7? 的图象向___平移____个单位(答:左; )(3)将函数 y ? 2sin(2 x ? ; ) ?1 图 2 2 3 ?

?

函数 f ? x ? ? cos x ? sin x x ? ? 0, 2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的交点, k 则 的取值范围是 (答: [1, 2) ) (5)研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将

?

?

6

, ?1) )(4)若 ;

y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区
间时, 要特别注意 A 和 ? 的符号, 通过诱导公式先将 ? 化正。 (1) 如 函数 y ? sin( ?2x ? 的递减区间是______(答: [ k? ?

?
3

)

5 ? x ? ? ,k? ? ]( k ? Z ) )(2) y ? log 1 cos( ? ) 的 ; 12 12 3 4 2 3 3? ]( k ? Z ) );( 3 ) 设 函 数 递 减 区 间 是 _______ ( 答 : [ 6k? ? ? , 6k? ? 4 4 ? ? 2? 对称, 它的周期是 ? , f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? 1 则 A 、 f ( x)的图象过点 (0, ) 2
12

5? 2? , ] 上是减函数 B 、 f ( x) 在 区 间 [ C、 12 3 5? D、 f ( x ) 的最大值是 A(答:C)(4)对于函数 ; f ( x)的图象的一个对称中心 是( ,0)

2

2

3

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线 3? ? ? ? x ? 成轴对称; ③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 个单位得到; ④图像向左 12 3 ? 平移 个单位, 即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。 其中正确结论是_______ (答: ②④) ; (5) 12 ? 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距离为 , 3
那么此函数的周期是_______(答: ? ) 17、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: (1)定义域:{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数

的定义域了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是 一个周期 ? 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加 绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝 对值,其周期性不变,其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x

? cos x 的周期为
期不变;

? ? 1 ? ,而 y ?| 2 sin(3x ? ) ? |, y ? | 2 sin(3x ? )? 2 |, y ?| tan x | 的周 6 2 6 2
? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒:正(余) ? 2 ?

(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ?

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切型函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但 无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间 ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。但要注 2 ? 2 ?

意在整个定义域上不具有单调性。如下图:

y ? A sin(? x ? y=Asin(ωx+φ) ? ) y
O

三角函数图象几何性质
x

三角函数图象几何性质
y=Atan(ωx+φ)? ) y ? A tan(? x ?
O y x

x3

x4
邻中心轴相距

x3
x=x1 T
4

x4 x=x1 x=x2

x=x2
邻中心|x3-x4|= T/2 无穷对称中心: 由y=0或 y无意义确定

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴:

由y=A或-A确定

邻渐近线|x1-x2|=T 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交,且相邻两 交点的距离为一个周期!

18. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角 形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方 和大于第三边的平方.

a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦 sin A sin B sin C a b ,sin B ? ,sin C 定理的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? 2R 2R c ? ; ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三 2R
(2)正弦定理: 角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. (3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定
2 2 2

2bc

三角形的形状.

2 2 2 2 2 2 2 如 ? ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ? ABC 的形状(答:直角
2

(4)面积公式: ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径) . S

三角形) 。 特别提醒: (1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A ? B ? C ? ? 这个特殊性:

A? B C A ? B ? ? ? C , sin(A ? B )? sin , sin C ? cos ; (2)求解三角形中含有边角混合关 2 2 系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如(1) ?ABC 中,A、B 的对边 ? 分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、 有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C)(2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B ; 成立的_____条件 (答: 充要) ; 在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 , lg s C (3) 则o i n 2 1 = _____ ( 答 : ? ) (4) 在 ?ABC 中 , a , b , c 别 是 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 , 若 ; 分 2 ? ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B , ?C =____ 则 (答:60 ) ; 在 ?ABC 中, (5)

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a 2 ? b2 ? c2 ? ? ,则 ?C =____(答: 30 )(6)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 , ; 4 3 2 39 这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是_______(答: )(7)在△ABC ; 3 1 2 B?C 2 2 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a ? 3, cos A ? , 则 cos = , b ? c 的最 3 2 1 9 大值为 (答: ; ) (8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 ; 3 2 ? ? ( 答 : 0 ? C ? ) ( 9 ) 设 O 是 锐 角 三 角 形 ABC 的 外 心 , 若 ?C ? 75 , 且 ; 6 . ?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足关系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A (答: 45? ) 19.反三角函数: (1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例) arcsin a 表示一个角, : ? ? ?? 这个角的正弦值为 a ,且这个角在 ? ? , ? 内 (?1 ? a ? 1) 。(2)反正弦 arcsinx 、反余弦 ? 2 2?
若其面积 S ?
2 2 2 2 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的 倾斜角、 l1 到 l 2 的角、 l1 与 l 2 的夹角以及两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围?

arccosx 、反正切 arctan x 的取值范围分别是 [? ? , ? ], [0, ? ], (? ? , ? ) .

(0, ],[0, ],[0,? ], ?0, ? ? , [0, ? ),[0, ),[0, ? ] . 2 2 2
20、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择, 其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数
2 值) 。如(1)若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ?

?

?

?

的值______ (答:

= _______ ( 答 :

? ) ( 3 ) 若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , ; 3 2? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值(答: ). 3
2? 2? , cos ) 则角 ? 的最小值为 , ( 3 3 11? D、 6
) 。

3? ) ; (2)?ABC 中,3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1,则 ?C 4

例题选讲: 例题 1 已知角 ? 的终边上一点的坐标为 sin ( A、

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

正解:D

2? 2? 2 3 5 11 ? 0 cos ?0 tan? ? cos ? ? ? ,?? ? ?或? ? ? ,而 sin 3 3 3 3 6 6
所以,角 ? 的终边在第四象限,所以选 D, ? ? 误解: tan ? ? tan 例题 2

11 ? 6

2 2 ? , ? ? ? ,选 B 3 3
2

A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实

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数根,则 ? ABC 是( ) A、钝角三角形 B、锐角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形

3 ? 5 ?tan A ? tan B ? 5 tan A ? tan B 5 ? 正解:A 由韦达定理得: ? ? tan(A ? B) ? ? 3 ? 1 ? tan A tan B 2 2 ?tan A tan B ? 1 ? 3 3 ?
在 ?ABC 中, tan C ? tan[ ? ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) ? ?

5 ?0 2

? ?C 是钝角,? ?ABC 是钝角三角形。
例题 3 已知方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? ,
2

且? 、 ? ? ? ?

? ?? ? ? ?? 的值是_________________. , ? ,则 tan 2 ? 2 2?
2

错误分析:忽略了隐含限制 tan? , tan? 是方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根,从而导 致错误. 正确解法:? a ? 1

? ? ? t a n ? t a n ? ?4a ? 0 , tan? ? tan? ? 3a ? 1 ? o

? tan? , tan? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根
又? , ? ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ,0 ? 即 ? ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan 答案: -2 .

?? ? ? ? =

4 ? ?? tan? ? tan ? ? 4a ? ?2. = = 可得 tan 2 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

例题 4 函数 f ( x) ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为 2,则 a ? ______, b ? _______。

1 ? ?a ? 2 ?a ? b ? 3 ? ?? 解:若 a ? 0 则 ? ??a ? b ? 2 ?b ? 5 ? ? 2
1 ? a?? ?a ? b ? 3 ? ? ? 2 ?? 若a ?0 则? ?a ? b ? 2 ?b ? 5 ? 2 ?
说明:此题容易误认为 a ? 0 ,而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。 例题 5 函数 f(x)=

sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x
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错解: ??

? ?

2 1 2 1? ? , ? ? 2 2 2 2?
t ?1 ? ?1 2

错因:令 t ? sin x ? cos x 后忽视 t ? ?1 ,从而 g (t ) ? 正解: ??

? ?

? ? 2 1 2 1? ? ,?1? ? ? ? 1, ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ?
2

例题 6 若 2sin2α ? sin 错解: [?4,2]

? ? 3sin ? , 则sin 2 ? ? sin 2 ? 的取值范围是

错因:由 sin 2 ? ? sin 2 ? ? ? sin 2 ? ? 3sin ? ?1,(1) 其中 ? 1 ? sin ? ? 1 ,得错误结果;由

0 ? sin 2 ? ? 3sin ? ? 2 sin 2 ? ? 1
得 sin ? ? 1 或 0 ? sin ? ?

1 5 结合(1)式得正确结果。正解:[0 , ] ? ?2? 2 4

例题 7 已知 ?? ? ? ? ? ,求 y ? cos? ? 6sin? 的最小值及最大值。 解:?2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? y ? 2sin ? ? 6sin ? ? 1 ? 2(sin ? ? ) ?
2 2

3 2

11 2

令 t ? sin? 而对称轴为 t ?

则 |t |? 1

3 11 ? y ? 2( t ? ) 2 ? 2 2

3 当 t ?1 时, y min ? ?5 ?当 t ? ?1时, y max ? 7 ; 2 3 ?11 说 明 : 此 题 易 认 为 sin ? ? 时 , y m i n ? ,最大值不存在,这是忽略了条件 2 2 3 |sin? |? 1, 不在正弦函数的值域之内。 2 2 tan x 例题 8 求函数 f ( x) ? 的最小正周期。 1 ? tan 2 x 2 tan x 解:函数 f ( x) ? 的定义域要满足两个条件; 1 ? tan 2 x
tan x 要有意义且 tan 2 x ? 1 ? 0

? x ? k? ?

?
2

,且 x ?

k? ? ? ( k ?Z ) 2 4

当原函数式变为 f ( x) ? tan 2 x 时, 此时定义域为 x ?

k? ? ? ( k ?Z ) 2 4

显然作了这样的变换之后,定义域扩大了,两式并不等价 所以周期未必相同,那么怎么求其周期呢?首先作出 y ? tan 2 x 的图象:
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y

? ??

? ?? ? ? ? ? ?

? ? ? 0 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? x ? ? ?

而原函数的图象与 y ? tan 2 x 的图象大致相同 只是在上图中去掉 x ? k? ?

?
2

( k ? Z ) 所对应的点

从去掉的几个零值点看,原函数的周期应为 ? 说明:此题极易由 y ? tan 2 x 的周期是

? ? 而得出原函数的周期也是 ,这是错误的,原因 2 2
? 4 ? 2

正如上所述。 那么是不是说非等价变换周期就不同呢?也不一定, 1993 年高考题: 如 函数 y ?

1 ? tan 2 2 x 的最小正周期是( 1 ? tan 2 2 x

) 。A.

B.

C.

?

D.

2? 。此题就可以由 y ? cos4 x 的周期为

? ? 而得原函数的周期也是 。但这个解法 2 2

并不严密,最好是先求定义域,再画出图象,通过空点来观察,从而求得周期。 例题 9 求函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?
4

? x) ? 3 的值域

答案:原函数可化为 f ( x) ? sin 2 x ? 2(cosx ? sin x) ? 3, 设 cos x ? sin x ? t , t ? [? 2 , 2 ] 则 sin 2 x ? 1 ? t
2 2
2

则 f ( x) ? ?t ? 2t ? 4 ? ?(t ? 1) ? 5 ?当t ? 1 , f ( x) max ? 5 , 时 当 t ? ? 2时, f ( x) min ? 2 ? 2 2 错解: (??,5] 错因:不考虑换元后新元 t 的范围。 例题 10 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数, 其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间[0,

3 4

? ]上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 2

正解:由 f (x) 是偶函数,得 f (? x) ? f ( x) 故 sin(??x ? ?) ? sin(?x ? ?) ,? ? cos? sin ?x ? cos? sin ?x 对任意 x 都成立,且 ? ? 0,? cos? ? 0 依题设 0≤ ? ≤ ? ,? ? ?

?
2

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由 f (x) 的图像关于点 M 对称,得 f ( ? ? x) ? ? f ( ? ? x)

3 4

3 4

3 4 3 3?x ? 3?x 3?x ? ) ? cos( ),? cos( )?0 ? f ( ? ) ? sin( 4 4 2 4 4 3?x ? ? ? k? , k ? 0,1,2...... 又 ? ? 0 ,得 4 2 2 ? ? ? (2k ? 1), k ? 0,1,2... 3 2 2 ? ? 当 k ? 0 时, ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) 在 [0, ] 上是减函数。 3 3 2 2
取 x ? 0得f ( ? ) ? ? f ( ? ),? f ( ? ) ? 0 当 k ? 1 时, ? ? 2, f ( x) ? sin( 2 x ? 当 k ≥2 时, ? ?

3 4

3 4

?

误解:①常见错误是未对 K 进行讨论,最后 ? 只得一解。 ②对题目条件在区间 [0, 基础练习题

10 ? ? , f ( x) ? sin(?x ? ) 在 [0, ] 上不是单调函数。 3 2 2 2 所以,综合得 ? ? 或 ? ? 2 。 3

) 在 [0, ] 上是减函数。 2 2

?

?

2

] 上是单调函数,不进行讨论,故对 ? ≥

10 不能排除。 3

1、在?ABC 中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA= 3 ,则?C 的大小应为( A.

)

? 6

B.

? 3

C.

? 5 或 ? 6 6

D.

? 2? 或 3 3

正确答案:A 错因:学生求?C 有两解后不代入检验。 2、已知 tan? tan?是方程 x +3 3 x+4=0 的两根,若?,??(A.
2

? ?

, ),则?+?=( 2 2



? 3

B.

? 2 或- ? 3 3

C.-

? 2 或 ? 3 3

2 D.- ? 3

正确答案:D 错因:学生不能准确限制角的范围。
n n 3、若 sin? ? cos? ? 1 ,则对任意实数 n,sin ? ? cos ? 的取值为(



A. 1

B. 区间(0,1)

C.

1 2 n?1
2 2

D. 不能确定 解得 ?

解一:设点 (sin?, cos? ) ,则此点满足 ?

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 1

?x ? 0 ?x ? 1 或? ?y ? 1 ?y ? 0

即?

?sin? ? 0 ?sin? ? 1 ?sin n ? ? cosn ? ? 1 ? 选 A 或? ?cos? ? 1 ?cos? ? 0
同样有 sin ? ? cos ? ? 1
n n

解二:用赋值法, 令 sin? ? 0, cos? ? 1

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?选 A
说明:此题极易认为答案 A 最不可能,怎么能会与 n 无关呢?其实这是我们忽略了一个隐 含条件 sin ? ? cos ? ? 1,导致了错选为 C 或 D。
2 2

4、在 ?ABC 中, 3sin A ? 4 cos B ? 6,3cos A ? 4 sin B ? 1 ,则 ?C 的大小为( A.



? 6

B.

5 ? 6

C.

?

5 或 ? 6 6

D.

?

2 或 ? 3 3

解:由 ?

?3sin A ? 4 cos B ? 6 1 1 ? 5 平方相加得 sin( A ? B) ? ? sin C ? ? C ? 或 ? 2 2 6 6 ?3cos A ? 4 sin B ? 1
若C ? ? ,

5 6

则 A? B ?

?
6 1 1 1 又 ? 3 2 3

?1 ? 3cos A ? 4sin B ? 0 ? cos A ? ?A?

?

5 ? ? C ? ? ? C? 3 6 6

?选 A
说明:此题极易错选为 C ,条件 cos A ? 目条件的挖掘。 5、函数 y ? 2 sin( A. [0,

1 比较隐蔽,不易发现。这里提示我们要注意对题 3
)

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是?????? (
B. [

? ] 3

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

正确答案:C 错因:不注意内函数的单调性。 6、已知 ? , ? ? ?

?? ? , ? ? 且 cos? ? sin ? ? 0 ,这下列各式中成立的是( ?2 ?
3? 2
C. ? ? ? ?



A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? 正确答案(D)

3? 2

D. ? ? ? ?

3? 2

错因:难以抓住三角函数的单调性。 7、△ABC 中,已知 cosA= A、

16 65

5 3 ,sinB= ,则 cosC 的值为( 13 5 56 16 56 B、 C、 或 65 65 65

) D、 ?

16 65

答案:A 点评:易误选 C。忽略对题中隐含条件的挖掘。 8、在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C 的大小为( A、



?
6

B、

5? 6

C、

?
6



5? 6

D、

?
3



2? 3

答案:A
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点评:易误选 C,忽略 A+B 的范围。 9、设 cos1000=k,则 tan800 是( ) A、

1? k2 k

B、

? 1? k2 k

C、 ?

1? k2 k

D、 ?

k 1? k2

答案:B 点评:误选 C,忽略三角函数符号的选择。 10、在锐角⊿ABC 中,若 tan A ? t ? 1 , tan B ? t ? 1 ,则 t 的取值范围为( A、 ( 2 ,??) B、 (1,??) C、 (1, 2 ) D、 (?1,1)



错解: B. 错因:只注意到 tan A ? 0, tan B ? 0, 而未注意 tan C 也必须为正. 正解: A. 11、已知 sin ? ?

m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? ( ?? ?? ) ,则 tan ? ? (C) m?5 m?5 2 4 ? 2m m?3 5 3 5 A、 B、 ? C、 ? D、 ? 或 ? m?3 4 ? 2m 4 12 12
2 2

错解:A 错因:忽略 sin ? ? cos ? ? 1 ,而不解出 m 正解:C 12、如果 log1 | x ?
2

π π |? log1 ,那么 sin x 的取值范围是( 3 2 2



A. [?

1 1 1 1 1 1 1 3 3 , ] B. [? , 1] C. [? , ) ? ( , 1] D. [? , , 1] )?( 2 2 2 2 2 2 2 2 2

错解: D. 错因:只注意到定义域 x ? 正解: B. 13、函数 y ? A、 [ k? ?

?
3

,而忽视解集中包含 x ?

2? . 3

sin x cos x 的单调减区间是(

) B、 [k? ?

?
4

, k? ?

?
4

] (k ? z)

?

C、 [ 2k? ?

?
4

,2k? ?

?
2

]( k ? z )

D、 [k? ?

?
4

, k? ?

?
2

3 , k? ? ? ]( k ? z ) 4 4 ]( k ? z )

答案:D 错解:B 错因:没有考虑根号里的表达式非负。 14、在△ABC 中, 3 sin A ? 4 cos B ? 6,4 sin B ? 3 cos A ? 1, 则∠C 的大小为 ( A、30° 正确答案:A B、150° C、30°或 150° )

D、60°或 150°

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错误 原因:易 选 C,无讨论 意识,事 实上如 果 C=150° 则 A=30°∴ sin A ?

1 ,∴ 2

3 sin A ? 4 cos B <

11 <6 和题设矛盾 2

15、已知 5 cos2 ? ? 4 cos2 ? ? 4 cos? ,则 cos2 ? ? cos2 ? 的取值范围是_______________. 错误分析:由 5 cos2 ? ? 4 cos2 ? ? 4 cos? 得 cos ? ? cos ? ?
2

5 cos 2 ? 4

代入 cos2 ? ? cos2 ? 中,化为关于 cos? 的二次函数在 ?? 1,1? 上的范围, 而忽视了 cos? 的隐含限制,导致错误. 答案: ?0, ? . 25 略解: 由 5 cos
2

? 16 ? ? ?

? ? 4 cos2 ? ? 4 cos? 得 cos 2 ? ? cos ? ? cos 2 ?
? 4? ? c o ? ? ?0, ? s ? 5?

5 4

?1?

? c o 2 ? ? ?0,1? s

将(1)代入 cos

2

? ? cos2 ? 得 cos2 ? ? cos2 ? = ?

1 ?cos ? ? 2?2 ? 1 ? ?0, 16 ? . ? 25? 4 ? ?

16、若 A ? ?0,? ? ,且 sin A ? cos A ? 错误分析:直接由 sin A ? cos A ? 解,忽略隐含限制 A ? ?

7 5 sin A ? 4 cos A ? _______________. ,则 13 15 sin A ? 7 cos A

7 2 2 ,及 sin A ? cos A ? 1 求 sin A, cos A 的值代入求得两 13
答案:

?? ? , ? ? 出错. ?2 ?
? ?

8 . 43

17、设ω >0,函数 f(x)=2sinω x 在 [? 答案:0<ω ≤

, ] 上为增函数,那么ω 的取值范围是_____ 3 4

2 3

点评: [?

?? ??
3 , 4

] ? [?

? ?

, ] 2 2


18、已知奇函数 f ?x ?在?? 1 0?上为单调减函数,又α ,β 为锐角三角形内角,则( , A、f(cosα )> f(cosβ ) B、f(sinα )> f(sinβ ) C、f(sinα )<f(cosβ ) D、f(sinα )> f(cosβ ) 正确答案: (C) 错误原因:综合运用函数的有关性质的能力不强。 19、函数 y ? sin x(sin x ? cos x) ( x ? [0, 正确答案: ?0,

?
2

]) 的值域是



? ?

2 ? 1? ? 2 ?
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20、若 sin? ? 答案:5

5 ? ,α 是第二象限角,则 tan =__________ 13 2

点评:易忽略

?
2
4

的范围,由 sin ? ?

2 tan 1 ? tan

?
2 ?

2

得 tan

?
2

=5 或

1 。 5

2

21、求函数 y ? sin x ? cos x ?
4

3 的相位和初相。 4 3 2 2 2 2 2 解: y ? ( s i nx ? cos x ) ? 2 sin x cos x ? 4

1 1 1 1 ? cos 4 x 1 ? ? sin 2 2 x ? ? ? ? ? 2 4 2 2 4 1 1 ? ? cos 4 x ? sin(4 x ? ) 4 4 2

?原函数的相位为 4 x ?

? ? ,初相为 2 2

说明:部分同学可能看不懂题目的意思,不知道什么是相位,而无从下手。应将所给函数式 变形为 y ? Asin(?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0) 的形式(注意必须是正弦) 。 22、已知函数 f(x)=-sin2x+sinx+a, (1)当 f(x)=0 有实数解时,求 a 的取值范围; (2)若

17 ,求 a 的取值范围。 4 1 1 解: (1)f(x)=0,即 a=sin2x-sinx=(sinx- )2- 2 4 1 1 ∴当 sinx= 时,amin= ,当 sinx=-1 时,amax=2, 2 4 1 ∴a∈[ ? ,2]为所求 4
x∈R,有 1≤f(x)≤

17 ? 2 7 ?a ? sin x ? sin x ? 4 (2)由 1≤f(x)≤ 得 ? 4 ? 2 ?a ? sin x ? sin x ? 1
∵ u1=sin2x-sinx+

17 1 ? (sin x ? ) 2 +4≥4 4 2 1 3 u2=sin2x-sinx+1= (sin x ? ) 2 ? ≤3 2 4

∴ 3≤a≤4 点评:本题的易错点是盲目运用“△”判别式。
2 ? ? 23、已知定义在区间[-?, ? ]上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= - 对称,当 x?[- , 3 6 6

? ? 2 ? ]时,函数 f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0,- <?< ),其图象如图所示。 2 2 3
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2 (1)求函数 y=f(x)在[-?, ? ]的表达式; 3

(2)求方程 f(x)=

2 的解。 2
2? ? ? )=2?, 3 6

解:(1)由图象知 A=1,T=4( ?=
2? ?1 T

在 x?[将( ∵-

2? ? , ]时 3 6

? ? ? ,1)代入 f(x)得 f( )=sin( +?)=1 6 6 6

? ? ? 2? ? ? <?< ∴?= ∴在[- , ]时 f(x)=sin(x+ ) 2 2 3 3 3 6
? 对称 6

∴y=f(x)关于直线 x=∴在[-?,-

? ? ?sin(x ? ) 综上 f(x)= ? 3 ?? sin x ?
(2)f(x)=
2 2

? ]时 f(x)=-sinx 6 ? 2?
x ? [? 6 , 3 x ? [?? ,?

]

?
6

]

在区间[-

5x 2? ? , ]内可得 x1= 12 3 6

x2= ? 4

?
12
3? 4

∵y=f(x)关于 x= ∴f(x)=

? 对称 6

=-

x4= -

? 5? 2 ? 3? 的解为 x?{,- ,- , } 12 12 4 4 2

24、将函数 y ? f ( x) sin x 的图像向右移

? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换得到的函数 4
) 。 D、 2 sin x

y ? 1? 2 sin 2 x 的图像,则 f (x) 可以是(
A、 ? 2 cos x 正解:B B、 2 cos x

C、 ? 2 sin x

y ? 1 ? 2 sin 2 x ? cos2x ,作关于 x 轴的对称变换得 y ? ? cos 2 x ,然后向左平移
个单位得函数 y ? ? cos 2( x ?

?
4

? 4

) ? sin 2 x ? f ( x) ? sin x 可得 f ( x) ? 2 cos x

误解:未想到逆推,或在某一步骤时未逆推,最终导致错解。

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