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曲率的计算公式二_图文

§3.7 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关. 怎样 度量曲线的弯曲程度?
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一、弧微分
?曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a? b)内具有连续导数. 在曲线y?f(x) 上取固定点M0(x0? y0)作为度量弧长的基点? 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向.

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一、弧微分
?有向弧段 M0M 的值 对曲线上任一点 M(x? y)? 规定有向弧段的值 s (简称 弧)如下? s 的绝对值等于这弧段的长度? 当有向弧段M0M 的方向与曲线的正向一致时s>0? 相反时s<0. ( (

显然? 弧 s 是 x 的单调增加函数? s?s(x).

s<0

s>0

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?弧微分公式 设x? x?Dx为(a? b)内两个邻近的点? 它们在曲线y?f(x) 上的对应点为M? N? 并设对应于x的增量Dx? 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx?0时? Ds ~ MN? 又Dx与Ds同号? 所以

ds ? lim Ds ? lim (Dx)2 ? (Dy)2 ? lim 1? ( Dy )2 Dx?0 dx Dx?0 Dx Dx?0 | Dx | Dx

? 1? y?2 .
由此得弧微分公式?
ds ? 1? y?2 dx .

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二、曲率及其计算公式
观察与思考: 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量 曲线的弯曲程度? 提示: 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度.

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?曲率 设曲线C是光滑的? 曲线上 点M对应于弧s? 在点M处切线的 倾角为 ?? 曲线上另外一点 N 对 应于弧 s?Ds? 在点 N 处切线的倾 角为??D? . 平均曲率: 记 K ? D? ? 称 K 为弧段 MN 的平均曲率. Ds 曲率: D? 记 K ? lim ? 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率. Ds ?0 Ds
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?曲率的计算公式
d ? D ? d ? lim 在 ? 存在的条件下? K ? . Ds ?0 Ds ds ds

曲率:

记 K ? lim
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D? ? 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率. Ds ?0 Ds
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?曲率的计算公式
d ? D ? d ? lim 在 ? 存在的条件下? K ? . Ds ?0 Ds ds ds 设曲线C的方程为y?f(x)? 且f(x)具有二阶导数. 因为tan ??y?? 所以 sec 2?d??y??dx?

y?? y?? y?? d? ? 2 dx ? dx ? dx . 2 2 sec ? 1? tan ? 1? y?

又知 ds? 1? y?2 dx? 从而得曲率的计算公式
| y?? | d ? . K? ? 2 3 2 ds (1? y? )
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曲率的计算公式: K ? d? ? | y?? | . ds (1? y?2)3 2
例1 计算等边双曲线xy?1在点(1? 1)处的曲率. 1 解 解? 由 y ? ? 得 x 1 2 ? ? ? y ?? 2 ? y ? 3 . x x 因此y?|x?1??1? y??|x?1?2. 曲线在点(1? 1)处的曲率为

| y?? | 1 ? 2 2 ? . K? ? 2 3 2 2 3 2 (1? y? ) (1? (?1) ) 2 2

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曲率的计算公式: K ? d? ? | y?? | . ds (1? y?2)3 2
例2 抛物线y?ax2?bx?c上哪一点处的曲率最大? 解 由y?ax2?bx?c? 得 y??2ax?b? y???2a? 代入曲率公式? 得

| 2a | . K? 2 3 2 [1? (2ax ? b) ] 显然? 当2ax?b?0时曲率最大. 曲率最大时? x?? b ? 对应的点为抛物线的顶点. 2a 因此? 抛物线在顶点处的曲率最大? 此处K?|2a|.
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讨论: 1. 直线y?ax?b上任一点的曲率是什么?

2. 若曲线的参数方程为x?j(t)? y?y(t)? 那么曲率如何 计算?
3. 半径为R的圆上任一点的曲率是什么? 提示: 1. 设直线方程为y?ax?b? 则y??a? y??? 0. 于是K?0.

? ? ? ? ? ? | j ( t ) y ( t ) ? j ( t ) y (t) | 2. K ? . 2 2 3 / 2 [j ? (t) ?y ? (t)]
3. 圆的参数方程为x?R cos t? y?R sin t .

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三、曲率圆与曲率半径
?曲率圆与曲率半径 设曲线在点M处的曲率为K(K?0). 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于 M 且半径为 r?K?1的圆. 上述圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ? 其圆心叫做曲 率中心? 其半径r叫做曲率半 径. ?曲率与曲率半径关系 r? 1 ? K? 1 . K r
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曲率中心
曲率半径

曲率圆

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例3 设工件表面的截线为抛物线y?0.4x2. 现在要用 砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适? 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径. y??0.8x? y???0.8? y?|x?0?0? y??|x?0?0.8. 把它们代入曲率公式? 得

| y?? | ? 0 . 8 . K? (1? y?2 )3 2 抛物线顶点处的曲率半径为 r?K?1?1.25. 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长? 即直径 不得超过2.50单位长.
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