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空间立体几何知识点归纳(文科)


第一章

空间几何体知识点归纳

1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱 柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图

投影:中心投影 平行投影 (1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正” , “高平齐” , “宽相等” 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤:
①建立适当直角坐标系 xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系 ?x O
' '

y ' ,使 ?x'O' y ' =450(或 1350) ,注意它们确定的平面表示水平平面;


③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不变;在已知图形平行于 Y 轴的线 段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半;


=2 一般地,原图的面积是其直观图面积的 2 2 倍,即 S原图
4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积; S 侧面 ⑶圆台侧面积: S侧面 ⑷体积公式:

2S直观

? 2? ? r ? l ⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l

? ? (r ? R)l
O1 r

V柱体 ? S ? h ;V锥体
⑸球的表面积和体积:

1 1 ? S ? h ; V台体 ? h S上 ? S上 ? S下 ? S下 3 3

?

?

h O2 R

l

4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 .一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。 3

-1-

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1 、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内

α

A

B

l

? A ? l, B ? l ?l ?? ? ? A ?? , B ??

公理 1 的作用:判断直线是否在平面内

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

α

C A

B

若 A,B,C 不共线,则 A,B,C 确定平面 ? 推论 1:过直线的直线外一点有且只有一个平面

α
α

A
A l
m

l

若 A?l ,则点 A 和 l 确定平面 ?

推论 2:过两条相交直线有且只有一个平面

若m

n ? A ,则 m, n 确定平面 ?

推论 3:过两条平行直线有且只有一个平面

α

m n

若m

n ,则 m, n 确定平面 ?

公理 2 及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
β α
P

P ?? , P ? ? ? ?
L

? ? l且P ? l

·

公理 3 作用: (1)判定两个平面是否相交的依据; (2)证明点共线、线共点等。

4、公理 4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行. a b, c b ? a c 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
a
1 b a' 2 b' a 1 a' 2 b'

a a ?, b b?且?1与?2方向相同 ? ?1=?2 a a ?, b b?且?1与?2方向相反 ? ?1 ? ?2=180?

b

方向相同则 ∠ 1=∠ 2

作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。

方向相反则 ∠1+∠2=180°

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 a b ,
(1)没有任何公共点的两条直线平行 (2)有一个公共点的两条直线相交 (3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

a b ? A,

a, b异面

a ?A
b

7、线面位置关系:直线在平面内、平行、相交
-2-

a

a ? A
(3)

?
(1)

a
a ??

?
(2)

a ?

a ??A

8、面面位置关系:平行、相交。

9、证明两直线平行的主要方法是: ①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; ②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; ③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;

a / /? a?? ? ?? ?b
b, c b ? a c

a / /b

④平行线的传递性: a

⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;

? ?

? ? ? ? ? a? ? a b ? ? ? b? ?
a ??? ??a b b ?? ?

⑥垂直于同一平面的两直线平行;

⑵直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平 行; (上面的③)

10、线面平行: (即直线与平面无任何公共点)
⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
(2)性质Ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;

? ???? ?? a??? a ? ??

-3-

11、面面平行: (即两平面无任何公共点)
(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

a ? ?,b ? ? ? ? a b ? A ? ?? ? a ?,b ? ? ?

(2)面面平行性质:平行于同一平面的两平面平行;

? ?? ??? ? ? ??

(3)面面平行性质:垂直于同一直线的两平面平行 另外性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;

? ? l? ? ?? ? ? ? l?

? ?

? A, C ? ? ? ? ? ? AC ? BD B, D ? ? ? AB CD ? ?

11、线线垂直:
证明两直线垂直和主要方法: ①利用勾股定理证明两相交直线垂直; ②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直; ③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直) ;

(4)线面垂直性质:

l ?? ? ??l ?m m ? ??
P

利用三垂线定理证明两直线垂直( “三垂”指的是“线面垂” “线影垂” , “线斜垂” )

如图:PO ? ? ? OA是PA在平面? 上的射影? 又直线a ? ? , 且a ? OA
a 线

斜 α A 影 O

? ? a ? PA ?

即:线影垂直 ? 线斜垂直,反之也成立。

11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

-4-

l?m l?n m n?

? ? ? ?? l ?? A? m, n ? ? ? ?
???

⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

? ? ? ? m? ? ??l ? ? l ?? ? ? l?m ?
12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。

l ? ?? l ???

??? ? ?

(只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)

转化思想 面面平行 面面垂直 线面平行 线面垂直 线线平行 线线垂直

空间角及空间距离的计算
一、异面直线所成的角 1.异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在两异面直线中的一条上取
一点,过该点作另一条直线平行线,

如图:直线a与b异面,b//b?,直线a与直线b?的夹角为两异 面直线 a与b所成的角,异面直线所成角取值范围是(0?,90?]
2、求法:平移直线法(一作,二说,三求——余弦定理) 二、斜线与平面成成的角 1. 斜线与平面成成的角:斜线与它在平面上的射影成的角。如图:PA 是平面 ? 的一条斜线,A 为斜足,O 为垂足,OA
叫斜线 PA 在平面 ? 上射影, ?PAO 为线面角。

2、范围: 0, ?

?

2

?

3、求法:定义法(一作,二说,三求——解直角三角形) 三、二面角 1.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形 ,如图为二面角 ? ? l ? ? ,
二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 -5-

如图:在二面角? - l - ?中,O棱上一点,OA ? ?,OB ? ?,

且OA ? l , OB ? l , 则?AOB为二面角? - l - ?的平面角。
范围: 2、求法: (1)定义法 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:

?0, ? ?

① 确构成二面角两个半平面和棱;②明确二面角的平面角是哪个? 而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 (求空间角的三个步骤是“一找” 、 “二证” 、 “三计算” ) ( 2) 、三垂线定理法:条件:从一个面到另一个面有垂线 (3)公式法: 5.点到平面的距离:指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图:O 为 P 在平面 ? 上的射影, 线段 OP 的长度为点 P 到平面 ? 的距离求法通常有:定义法和等体积法 等体积法:就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥 V 中有: VS ? ABC

? ABC

? VA?SBC ? VB?SAC ? VC ?SAB

-6-


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