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taiyangchengzhucesong68yuan:高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理课件 新人教A版选修22(1)_图文

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2.1 合情推理与演绎推理

2.1.2 演绎推理



阶 段 二

业 分 层 测



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1.理解演绎推理的含义.(重点) 2.掌握演绎推理的模式,会利用三段论进行简单的推理.(重点、 易混点)

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[基础·初探] 教材整理 1 演绎推理 阅读教材 P78~P79“思考”以上部分,完成下列问题. 1.含义:从一般性的原理出发,推出__某__个__特__殊__情__况__下____的结论,我们把 这种推理称为演绎推理. 2.特点:演绎推理是由_一__般__到__特__殊____的推理.

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演绎推理中的“一般性原理”包括( )

①已有的事实;②定义、定理、公理等;③个人积累的经验.

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

【解析】 演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”“定义、定

理、公理等”.

【答案】 A

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教材整理 2 三段论 阅读教材 P79~P80“思考”以上内容,完成下列问题. 1.三段论的模式

(1)大前提——已知的_一__般__原__理___; (2)小前提——所研究的__特__殊__情__况__; (3)结论——根据__一__般__原__理__,对_特__殊__情__况___做出的判断.

2.三段论的表示 大前提:__M__是__P____. 小前提:___S_是__M____.

结论:___S_是__P____.

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判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理.( ) (2)演绎推理的结论是一定正确的.( ) (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×

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[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

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[小组合作型]
把演绎推理写成三段论的形式
将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)一切奇数都不能被 2 整除,75 不能被 2 整除,所以 75 是奇数. (2)三角形的内角和为 180°,Rt△ABC 的内角和为 180°. (3)菱形对角线互相平分. (4)通项公式为 an=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列.

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【自主解答】 (1)一切奇数都不能被 2 整除.(大前提) 75 不能被 2 整除.(小前提) 75 是奇数.(结论) (2)三角形的内角和为 180°.(大前提) Rt△ABC 是三角形.(小前提) Rt△ABC 的内角和为 180°.(结论) (3)平行四边形对角线互相平分.(大前提) 菱形是平行四边形.(小前提) 菱形对角线互相平分.(结论)

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(4)数列{an}中,如果当 n≥2 时,an-an-1 为常数,则{an}为等差数列.(大 前提)
通项公式 an=3n+2,n≥2 时, an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(常数).(小前提) 通项公式为 an=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列.(结论)

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把演绎推理写成“三段论”的一般方法: ?1?用“三段论”写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段 论中大前提提供了一个一般性原理,小前提提供了一种特殊情 况,两个命题结合起来,揭示一般性原理与特殊情况的内在联系. ?2?在寻找大前提时,要保证推理的正确性,可以寻找一个 使结论成立的充分条件作为大前提.

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[再练一题] 1.将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线 互相平分; (2)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B 是等腰三角形的两底角,则∠A= ∠B.

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【解析】 (1)平行四边形的对角线互相平分,大前提 菱形是平行四边形,小前提 菱形的对角线互相平分.结论 (2)等腰三角形的两底角相等,大前提 ∠A,∠B 是等腰三角形的两底角,小前提 ∠A=∠B.结论

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用三段论证明几何问题
如图 2-1-11 所示,D,E,F 分别是 BC,CA, AB 边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:DE=AF.写 出“三段论”形式的演绎推理.
【精彩点拨】 用三段论的模式依次证明:(1)DF∥AE, (2)四边形 AEDF 为平行四边形,(3)DE=AF.

图 2-1-11

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【自主解答】 (1)同位角相等,两直线平行,(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以 DF∥AE.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA 且 DF∥EA,(小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提) DE 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提) 所以 DE=AF.(结论)

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1.用“三段论”证明命题的步骤 (1)理清楚证明命题的一般思路; (2)找出每一个结论得出的原因; (3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来. 2.几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理,都可以 分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情况,就能得 出相应结论.

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[再练一题]

2.证明:如果梯形的两腰和一底相等,那么它的对角线必平分另一底上的

两个角. 【解】 已知在梯形 ABCD 中(如图所示),AB=DC=AD,AC 和 BD 是它

的对角线,求证:CA 平分∠BCD,BD 平分∠CBA.

证明:①等腰三角形的两底角相等,

大前提

△DAC 是等腰三角形,DC=DA,

小前提

∠1=∠2.结论

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②两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,大前提 ∠1 和∠3 是平行线 AD,BC 被 AC 所截的内错角,小前提 ∠1=∠3.结论 ③等于同一个量的两个量相等, 大前提 ∠2,∠3 都等于∠1,小前提 ∠2 和∠3 相等.结论 即 CA 平分∠BCD. ④同理 BD 平分∠CBA.

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[探究共研型]

演绎推理在代数中的应用 探究 1 演绎推理的结论一定正确吗?

【提示】 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理

中,只要前提和推理形式正确,其结论一定正确. 探究 2 因为对数函数 y=logax(a>0,a≠1)是增函数,而 y=log13x 是对数

函数,所以 y=log13x 是增函数.

上面的推理形式和结论正确吗? 【提示】 推理形式正确,结论不正确.因为大前提是错误的.

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已知 a,b,m 均为正实数,b<a,用三段论形式证明:ba<ab++mm. 【精彩点拨】 利用不等式的性质证明. 【自主解答】 因为不等式(两边)同乘以一个正数,不等号不改变方向,(大 前提) b<a,m>0,(小前提) 所以 mb<ma.(结论) 因为不等式两边同加上一个数,不等号方向不变,(大前提) mb<ma,(小前提)

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所以 mb+ab<ma+ab,即 b(a+m)<a(b+m).(结论) 因为不等式两边同除以一个正数,不等号方向不变,(大前提) b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提) 所以ba??aa+ +mm??<aa??ba+ +mm??,即ba<ba+ +mm.(结论)

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代数问题中常见的利用三段论证明的命题 1.函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称 性等. 2.导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极 值和最值,证明与函数有关的不等式等. 3.三角函数的图象与性质. 4.数列的通项公式、递推公式以及求和,数列的性质. 5.不等式的证明.

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[再练一题]

3 . “ 由 (a2 + a + 1)x>3 , 得

x>

3 a2+a+1



























__________. 【答案】 不等式两边同除以一个正数,不等号方向不变.

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[构建·体系]

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1.(2016·吉林高二检测)“三角函数是周期函数,y=tan x,x∈???-π2,π2???是三

角函数,所以 y=tan x,x∈???-π2,π2???是周期函数”.在以上演绎推理中,下列说

法正确的是( )

A.推理完全正确

B.大前提不正确

C.小前提不正确

D.推理形式不正确

【解析】 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念,犯了偷换概念的

错误,即推理形式不正确. 【答案】 D
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2.用三段论证明命题:“任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a2

>0”,你认为这个推理( )

【导学号:60030052】

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.是正确的

【解析】 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于 0”,小前提

是“a 是实数”,结论是“a2>0”,显然结论错误,原因是大前提错误. 【答案】 A

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3.函数 y=2x+5 的图象是一条直线,用三段论表示为: 大前提:________________________________________________________; 小前提:________________________________________________________; 结论:___________________________________________________________. 【答案】 一次函数的图象是一条直线 函数 y=2x+5 是一次函数 函数 y=2x+5 的图象是一条直线

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4.如图 2-1-12 所示,因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB=CD,BC=AD.
又因为△ABC 和△CDA 的三边对应相等,所以△ABC≌ △CDA.
上述推理的两个步骤中分别省略了 ________、________. 【答案】 大前提 大前提

图 2-1-12

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5.用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等; (2)y=x2(x∈R)是偶函数. 【解】 (1)因为矩形的对角线相等,大前提 而正方形是矩形,小前提 所以正方形的对角线相等.结论 (2)因为?x∈R,函数 f(x)有 f(-x)=f(x),则 f(x)是偶函数,大前提 而 y=x2 满足?x∈R,f(-x)=f(x),小前提 ∴y=x2(x∈R)是偶函数.结论

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