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流体力学习题及答案-第二章


第二章

流体静力学

2-1 如果地面上空气压力为 0.101325MPa,求距地面 100m 和 1000m 高空处的压力。 答:取空气密度为 ? ? 1.226 kg / m ,并注意到 1?MPa ? ? 10 ?Pa ? 。
3 6

?

?

(1)100 米高空处:

? 101325 ?Pa ? ? 1203 ?Pa ? ? 1.00122 ? 10 5 ?Pa ?
(2)1000 米高空处:

p ? p0 ? ?gh ? 1.01325 ? 10 5 ?Pa ? ? 1.226 k g / m 3 ? 9.81 m / s 2 ? 100 ?m ?

?

?

?

?

? 101325 ?Pa ? ? 12027 ?Pa ? ? 0.89298 ? 10 ?Pa ?
5

p ? p0 ? ?gh ? 1.01325 ? 10 5 ?Pa ? ? 1.226 k g / m 3 ? 9.81 m / s 2 ? 1000 ?m ?

?

?

?

?

2-2 如果海面压力为一个工程大气压, 求潜艇下潜深度为 50m、500m 和 5000m 时所承受海 水的压力分别为多少? 答:取海水密度为 ? ? 1.025 ? 10 kg / m ,并注意到所求压力为相对压力。
3 3

?

?

(1)当水深为 50 米时:

p ? ?gh ? 1.025 ?10 3 kg / m3 ? 9.81 m / s 2 ? 50?m? ? 5.028 ?10 5 ?Pa ? 。
(2)当水深为 500 米时:

?

?

?

?

p ? ?gh ? 1.025 ?10 3 kg / m 3 ? 9.81 m / s 2 ? 500 ?m? ? 5.028 ?10 6 ?Pa ? 。
(3)当水深为 5000 米时:

?

?

?

?

p ? ?gh ? 1.025 ?10 3 kg / m 3 ? 9.81 m / s 2 ? 5000 ?m? ? 5.028 ?10 7 ?Pa ? 。
2-3 试决定图示装置中 A,B 两点间的压力差。已知: h1 ? 500 mm , h 2 ? 200 mm ,

?

?

?

?

h 3 ? 150 mm , h 4 ? 250 mm , h 5 ? 400 mm ; 酒 精 重 度 ? 1 ? 7848 N / m 3 , 水 银 重 度

? 2 ? 133400 N / m3 ,水的重度 ? 3 ? 9810 N / m 3 。
答:设 A,B 两点的压力分别为 p A 和 p B ,1,2,3,4 各个点处的压力分别为 p1 , p 2 , p 3 和 p 4 。根据各个等压面的关系有:

p1 ? p A ? ? 3 h1 ,

p1 ? p2 ? ? 2 h2 ,

-1-

p3 ? p2 ? ? 1h3 ,
p3 ? p4 ? ? 2 h4 , p4 ? p B ? ? 3 ?h5 ? h4 ? ;
整理得到:

pA ? p B ? ? 3 ?h5 ? h4 ? ? ? 2 h4 ? ? 1h3 ? ? 2 h2 ? ? 3 h1 ,

? ?7848 ? 0.15 ? 133400 ? ?0.25 ? 0.2? ? 9810 ? ?0.4 ? 0.25 ? 0.5? ? 55419 .3?Pa ?

p A ? p B ? ?? 1h3 ? ? 2 ?h2 ? h4 ? ? ? 3 ?h5 ? h4 ? h1 ?

2-4 有闸门如图所示,其圆心角 ? ? 60 ,转轴位于水面上。已知闸门宽度为 B,半径为 R,
?

试求闸门受到的合力及合力与自由面的夹角 ? 。 答:(1)求水平分力 Px ? ? ? hc ? S x 由 于 H ? R ? s in , 则 hc ? ?

1 1 H ? R ? sin ? ; S x ? H ? B ? R ? sin ? ? B 。 因 此 : 2 2
2

1 1 ? 3? 3 2 ? ?? ? R2 B ? Px ? ? ? R sin ? ? RB sin ? ? ? ? ?R B 。 2 2 ? 2 ? 8 ? ?
(2)求垂向分力 Pz ? ? ? V 其中: V ? ?

?? 1 3? 2 ?? ? ?R B , ? ?R 2 ? R sin ? ? R cos? ? ? B ? ? ? ?6 2 8 ? ? 2? ? ? ? ?? 3? 2 ? R B ? ?0.523 ? 0.217 ??R 2 B ? 0.306 ?R 2 B 。 ? ?6 8 ? ? ?

因此 Pz ? ? ? V ? ? ? ? (3)求合力 P 合力大小: P ?

Px2 ? Pz2 ? 0.484 ?R 2 B ;
2 2

? 合力方向: tan? ? Pz Px ? 0.306?R B 0.375 ?R B ? 0.816 , ? ? 39.2 。

2-5 设水深为 h , 试对下述几种剖面形状的柱形水坝, 分别计算水对单位长度水坝的作用力。 (1)抛物线: z ? ax ,( a 为常数);
2

(2)正弦曲线: z ? a sin bx ,( b / a ? 1, a , b 为常数)。 答:(1) z ? ax , a 为常数。
2

-2-

水平分力: Px ? ? ? hc ? S x ; 其中 hc ?

1 1 1 h , S x ? h ?1 ? h ;因此 Px ? ? ? h ? h ? ?h 2 。 2 2 2

垂直分力: Pz ? ? ? V ; 其中 V ? S ?1 ? S ,而 S ? h ? xh ?

?

xh

0

ax2 dx ,并注意到 xh ? h / a ,于是得到:
3

h h h a ? h? 2 h a ax 2 dx ? h ? ? V ? h? ?? ? ?? ? a ? ? 3h a 。 0 a a 3 ? ?

因此, Pz ?

2 h ?h 。 3 a

(2) z ? a sin bx ,( b / a ? 1, a , b 为常数)。 水平分力: Px ? ? ? hc ? S x ? 垂直分力: Pz ? ? ? V ; 其中 V ? S ?1 ? S , S ? h ? xh ? 而
xh

1 2 ?h 。 2

?

xh

0

1 h 并注意到 xh ? arcsin , 于是得到: a sin bxdx , b a

V ? xh ? h ? ? a sin bxdx ? xh ? h ?
0

a a a x ? cosbx 0h ? xh ? h ? cosbxh ? b b b h h a h? a ? 1 ? arcsin ? cos? b ? arcsin ? ? b a b a? b ? b h h 1 2 a ? arcsin ? a ? h2 ? b a b b

因此, Pz ?

??

h ? 2 2 ? h ? arcsin ? a ? h ? a ? 。 b? a ?

2-6 试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。已知水的重度 ? ? 9810 (N/m3) ,水渠 左壁为 y ? ?x 的直线,右壁为 y ? x 的抛物线。
2

答:(1)水渠左壁面受力 ①采用平板公式计算 作用力大小: P ? ? ? hc ? S ? 9810 ?

1 ? 2 ?1 ? 6935 .67 ( N ) ; 2

作用力方向:垂直作用于平板 OA,并指向 OA。 作用点:

-3-

y ?f ? y c ?

Ic 1 2 ,其中 y c ? , Ic ? ? 12 yc S 2

? 2 ? ?1 ?
3

2 , S ? 2 ?1 ? 2 。 6

因此, y ?f ?

2 2 2 2 2? ? (m) 。 2 ? 0.9427 ) h?f ? y ?f sin 45 ? ? (m ; 3 2 3 3

②采用柱面公式计算 水平分力: Px ? ? ? hc ? S x ? 9810 ? 垂直分力: Pz ? ? ? V ? 9810 ? 合力: P ?

1 ?1?1 ? 4905 ?N ? ; 2

1 ?1?1?1 ? 4905 ?N ? ; 2

Px2 ? Pz2 ? 4905 ? 2 ? 6936 .72?N ? 。

(2)水渠右壁面受力 水平分力: Px ? ? ? hc ? S x ? 9810 ? 垂直分力: Pz ? ? ? V ; 而 V ? S ?1 ? S , S ? 1 ? 1 ? x dx ? 1 ?
2 0

1 ?1?1?1 ? 4905 ?N ? ; 2

?

1

1 2 ? ; 3 3

因此 Pz ? ? ? V ? 9810 ? 合力: P ?

2 ? 6540 ?N ? 。 3

Px2 ? Pz2 ? 8175 ?N ? 。

2-7 一圆筒形容器的半径 R,所盛水的高度 H。若该容器以等角速度 ? 绕其中心轴转动, 设 r=0,z=h 点的压力为 p0,试求容器内水的压力分布及自由表面方程(设容器足够高,旋 转时水不会流出)。 答:(1)作用于筒内流体的质量力包括两项: 第一项:与 z 坐标方向相反的重力,重力加速度为 g ; 第二项:沿 r 坐标方向的离心力,离心加速度为 ? r 。
2

因此单位质量力为:

? ? ? ? ? f ? ? 2r ? er ? g ? ez ,其中: er 、 ez 分别为 r 、 z 方向的单位向量。
(2)对于静止流体微分方程: f ?

?

1

?

?p ,其中压力梯度: ?p ?

?p ? ?p ? ? er ? ? ez ; ?r ?z

将质量力 f 和压力梯度 ?p 代入,则得到:

?

-4-

??2r ? er ? ?g ? ez ?
比较方程两端,则得到:

?

?

?p ? ?p ? ? er ? ? ez ; ?r ?z

?p ?p ? ??2 r , ? ? ?g 。 ?r ?z ?p ?p ?p ?p (3)压力的全微分: dp ? dr ? dz ,将 ? ??2 r 和 ? ? ?g 代入其中,有: ?r ?z ?r ?z
dp ? ??2rdr ? ?gdz ;
将上式两端同时积分,得到:

p?

1 ??2r 2 ? ?gz ? C ,其中 C 为常数。 2

将条件 r ? 0 、 z ? h 时 p ? p0 代入上式,则得到:

C ? p0 ? ?gh 。
即流体内部的压力分布为:

p?

1 1 ??2r 2 ? ?gz ? p0 ? ?gh ? p0 ? ?g (h ? z ) ? ??2r 2 ; 2 2

又由于在自由表面上: p ? p0 ,代入到上述压力分布式中,则得到:

1 ??2r 2 ? ?g (h ? z ) ? 0 ; 2
该式便是筒内流体的自由面方程。 2-8 底面积 a×a=200×200mm2 的正方形容器的质量为 m1=4kg,水的高度为 h=150mm,容 器的质量为 m2=25kg 的重物作用下沿平板滑动,设容器底面与平板间的摩擦系数为 0.13, 试求不使水溢出的最小高度 H。 答:(1)求水平加速度 a x : 建立如图所示坐标系,且设倾斜后不使水溢出的最小高度为 H 。

? 设容器内水的质量为 m1 ,容器和水的总质量为 m ,则:
? m1 ? ?a 2h ? 1.0 ?103 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.15 ? 6 (kg) ,

? m ? m1 ? m1 ? 4 ? 6 ? 10 (kg) 。
由牛顿第二定律:

m2 g ? ?mg ? (m ? m2 )ax ,

-5-

其中 ? ? 0.13 为摩擦系数,则水平加速度为:

ax ?

1 ?m2 ? ?m?g ? 1 ?25 ? 0.13 ?10 ?g ? 0.667 g 。 m ? m2 35

(2)求作用于流体上的单位质量力: 单位质量力为: f ? ? ax i ? gk 。代入到静止流体平衡微分方程 f ?

?

?

?

?

1

?

?p 中,有:

? 1 ? ?p ? ?p ? ? ? ? ax i ? gk ? ? i ? k ?; ? ? ?x ?z ?
比较方程两端,可以得到:

?p ?p ? ? ?ax , ? ? ?g 。 ?x ?z
(3)求自由表面方程 压力的全微分为: dp ?

?p ?p dx ? dz 。 ?x ?z

在自由液面上, p ? p0 ? const , dp ? 0 。代入到上式中得到: ? ?ax dx ? g?dz ? 0 。 对其进行积分,得到自由表面方程:

ax x ? gz ? C
其中 C 为常数。 *** (确定常数 C 和高度 H ) : 由于自由表面方程通过两点: (0, H ) 、 (a, h1 ) ,代入到自由面方程中,则有:

0 ? ax ? gH ? C
a ? ax ? gh1 ? C
将(1)代入到(2)中,得到:

(1) (2)

a ? ax ? gh1 ? gH
又由于倾斜前后,水体积(质量)保持不变,则有:

(3)

a 2h ?

1 2 a ( H ? h1 ) 2
(4)

整理得到: h1 ? 2h ? H 将(4)代入(3)中,得到:
-6-

a ? ax ? g (2h ? H ) ? gH ,
整理得到:

H?

ax 0.667 g , ?a ? h ? ? 0.2 ? 0.15 ? 0.218 (m) 2g 2g

即不使水溢出的最小高度为 0.218m。 2-9 一物体位于互不相容的两种液体的交界处。 若两液体的重度分别为 ? 1 ,? 2( ? 2 > ? 1 ) , 物体浸入液体 ? 1 中的体积为 V1,浸入液体 ? 2 中的体积为 V2,求物体的浮力。 答:设微元面积 dS 上的压力为 p ,其单位外法向量为 n ,则作用于 dS 上的流体静力为

?

? ? dP ? ? pndS 。
沿物体表面积分,得到作用于整个物体表面的流体静力为 P ? ?

?

?? pndS 。
S

?

设 V1 部分的表面积为 S1 , V2 部分的表面积为 S 2 , 设 两种液体交界面处物体的截面积为 S 0 , 交界面处的压力为 p 0 。 并建立下述坐标系,即取交界面为 xoy 平面, z 轴垂直向上为正,液体深度 h 向下为正,显 然 h ? ?z 。 因此 P ? ?

?

?? pndS ? ??? pndS ??? pndS 。
S S1 S2

?

?

?

在 S1 上 p ? p0 ? ? 1h ? p0 ? ? 1 z ,在 S 2 上 p ? p0 ? ? 2 z ;代入到上式中得到:

? ? ? P ? ? ?? ? p0 ? ? 1 z ?n dS ? ?? ? p0 ? ? 2 z ?n dS ? ? ? ? ? ? ?? p0 n dS ? ?? ?? 1 z ?n dS ? ?? p0 n dS ? ?? ?? 2 z ?n dS
S1 S1 S2 S2 S1 S2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? p0 n dS ? ?? p0 n dS ? ? ? ?? ?? 1 z ?n dS ? ? ? ?? ?? 2 z ?n dS ? ?S ? ?S ? ?S ? S2 ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? 在此,需要注意到,由于在交界面上 z ? 0 ,因此有 ?? ?? 1 z ?ndS ??? ?? 2 z ?ndS ? 0 。将这两
S0 S0

项分别加入到上式的第二个括号和第三个括号中,则原式成为:

-7-

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P ? ?? ?? p0 ndS ? ?? p0 ndS ? ? ? ?? ?? 1 z ?ndS ? ?? ?? 1 z ?ndS ? ? ? ?? ?? 2 z ?ndS ? ?? ?? 2 z ?ndS ? ?S ? ?S ? ?S ? S2 S0 S0 ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?? p0 ndS ? ?? ?? 1 z ?ndS ? ?? ?? 2 z ?ndS
S S1 ? S0 S 2 ? S0

利用高斯公式,可以得到:

? P ? ? ??? ?? p0 ?dV ? ??? ??? 1 z ?dV ? ??? ??? 2 z ?dV ? ? ? ? 0 ? ? 1V1k ? ? 2V2 k ? ?? 1V1 ? ? 2V2 ?k
?
V V1 V2

即物体受到的浮力为 P ? ?? 1V1 ? ? 2V2 ?k 。

?

-8-

-9-


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