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四川省绵阳南山中学205-2016学年高二数学上学期期中试题 文


四川省绵阳南山中学 205-2016 学年高二数学上学期期中试题 文
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页.满分 100 分.考试时间 100 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名.考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上,并 将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的黑 色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸.试题卷上答 题无效. 3.考试结束后,将答题卡收回. 第Ⅰ卷(选择题,共 48 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的) 1.点 A(2,3,5)关于坐标平面 xoy 的对称点 B 的坐标是 A.(2,3,-5) C.(-2,3,5) 2.已知直线 l 的方程为 y ? A. 30 ? C. 60 ? B.(2,-3,5) D.(-2,-3,5)

3x ? 1 ,则直线 l 的倾斜角为

B. 45 ? D. 90 ?

3.下列说法的正确的是 A.经过定点 P 0 x0 ,y0 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 表示 B.经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

?

?

x y ? ? 1 表示 a b

D.经过任意两个不同的点 P 、P2 ?x2,y2 ? 的直线都可以用 1 ?x1,y1 ? 方程 ? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 来表示 4.经过点 P(-2,1)且与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点的直线的条数为
2

A.1 C.3
2 2

B.2 D.4
2 2

5.圆 (x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 与圆 x ? y ? 14x ? 2 y ? 14 ? 0 的位置关系是

-1-

A.外切

B.内切

C.相交

D.相离

6.等比数列 {an } 中, a5 ? a1 ? 15 , a4 ? a2 ? 6 ,且 a1 ? 0 ,则 a3 等于 A.3 B.

1 2

C.4

D.

1 4

7.已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4 S 4 ,则 a10 ? A.

17 2

B.

19 2

C. 10

D. 12

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的两条渐近线均和圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 2 a b 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 A. B. 5 4 4 5 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 3 6 6 3
8.已知双曲线 9.数列 {an } , {bn } 满足 an ? bn ? 1 , an ? n 2 ? 3n ? 2 ,则数列 {bn } 的前 10 项的和为 A.

1 2

B.

7 12

C.

1 3

D.

5 12

10.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 , 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? A. 12 C. 1 ? log3 5 11.已知椭圆 B. 10 D. 2 ? log3 5

x2 y 2 x2 y 2 与双曲线 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 1? m ? 0, n ? 0? 有相同的焦点 ? ?c,0? 和 ? ? a 2 b2 m2 n2 ? c,0? ,若 c 是 a, m 的等比中项, n 2 是 2 m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的离心率是

A.

3 3

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

12. 双 曲 线

x2 ? y2 ? 1 n (? n

1的 ) 两 焦 点 为 F1 , F2 , P 在 双 曲 线 上 , 且 满 足
)

PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 , 则 ?PF1F2 的面积为(
A.1 C.2 B.

1 2

D.4 第Ⅱ卷(非选择题,共 52 分)

-2-

注意事项:用钢笔将答案直接写在答题卷上. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.请把答案直接填在答题卷中的横线 上. ) 13.直线 l1 : x ? (1 ? m) y ? 2 ? m 与直线 l 2 : 2mx ? 4 y ? ?16 平行,则 m ?

14.圆心在直线 3x ? y ? 0 上,与 x 轴相切,且被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 2 7 的圆的方 程是

15.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一个长方形和抛物线构成。为保证安全,要 求行使车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 0.5 米。若行车 道总宽度 AB 为 6 米,则车辆通过隧道的限制高度是 米(精确到 0.1 米)

16.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a 2 ?

1 ,并且 an (an?1 ? an?1 ) ? 2an?1an?1 (n ? 2), 则 a2017 ? 3

三、解答题: (本大题共 4 个小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分为 10 分) 求满足下列条件的直线的一般式方程: ( Ⅰ ) 经 过 两 条 直 线 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 和 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的 交 点 , 且 垂 直 于 直 线

3x ? 2 y ? 4 ? 0
(Ⅱ)与两条平行直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 及 6 x ? 4 y ? 3 ? 0 等距离

-3-

18.(本小题满分为 10 分) 已知点 P(-2,-3)和以点 Q 为圆心的圆 (x ? 4) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 。 (Ⅰ)求以 PQ 为直径的圆 Q ? 的方程; (Ⅱ)设⊙ Q ? 与⊙Q 相交于点 A、B,求直线 AB 的一般式方程。

(2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 与圆 Q 相交于点 C、D,求截得的弦 CD (Ⅲ)设直线 l :
的长度最短时 m 的值。

19.(本小题满分为 10 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的公比为 q .已知 b1 ? a1 ,b2 ? 2 ,
q ? d , S10 ? 100 .

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

20. (本小题满分为 10 分) 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l ,满足 PA ? PB ? PM ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在, 请说明理由.
2

1 3 , 且经过点 M(1, ), 过点 P(2,1) 2 2

绵阳南山中学 2015 年秋季高 2014 级半期考试
-4-

数 学 试 题(文科)参考答案 一.选择题(共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C D C B C B 二.填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 13. 16. 1

8 A

9 D

10 B

11 D 15.

12 A 3.2

14. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9

1 4033

三.解答题(共 4 个小题,每小题 10 分) 17. 解: (Ⅰ)由 ?

?2 x ? 3 y ? 10 ? 0 2 得交点 A 为(-2,2) ,由题所求直线的斜率为 ? , 3 ? 3x ? 4 y ? 2 ? 0 2 ∴所求直线的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 2) ,即 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 …………………… 5 3
(注:也可以用直线系方程求解)

分 (Ⅱ) 由题可设所求的直线方程为 6 x ? 4 y ? m ? 0 , 则由题有 m ? 12 ? m ? 3 , ∴m ? ? ∴所求直线的方程为 12x ? 8 y ? 15 ? 0 分 18. 解: (Ⅰ)由题知点 Q 为(4,2) ,又点 P 为(-2,-3) ∴以 PQ 为直径的圆 Q ? 的方程为 ( x ? 2)( x ? 4) ? ( y ? 3)( y ? 2) ? 0 ,即

15 2

……………………10

x 2 ? y 2 ? 2 x ? y ? 14 ? 0
3分 (Ⅱ)∵圆 Q 的方程为 x ? y ? 8x ? 4 y ? 11 ? 0
2 2

……………………

圆 Q ? 的方程为 x ? y ? 2 x ? y ? 14 ? 0 ∴由两式相减得所求直线 AB 的方程为 6 x ? 5 y ? 25 ? 0
2 2

……………………

6分 (Ⅲ)∵直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 即 m(2 x ? y ? 7) ? x ? y ? 4 ? 0 由? 最短。 此时MQ的斜率 k MQ ? 10 分 19解: (Ⅰ) 由题意有 ?

?2 x ? y ? 7 ? 0 知直线 l 恒过定点M(3,1) ,当 MQ ? l 时所得的弦CD的长度 ? x? y?4?0
2 ?1 2m ? 1 ? 1 ,∴ k l ? ?1 ? ? ,∴ m ? 0 …………………… 4?3 m ?1

a ?9 ?10 a1 ? 45d ? 100 ?2a 1 ?9d ? 20 ?a1 ? 1 ? ? 1 2, , 即? , 解得 ? 或? d ? a1d ? 2 d ? 2 a d ? 2 ? ? ? 1 ? 9 ?

-5-

1 ? (2n ? 79) ?a n ? 2n ? 1 ?an ? 9 故? 或 ? n ?1 2 ? bn ? 2 ? bn ? 9 ? ( ) n?1 9 ?
(Ⅱ)由 d ? 1 知 an ? 2n ? 1, bn ? 2n?1 ,故 cn ?

……………………5 分

3 5 7 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 , ① 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 1 ∴ Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ② 2 2 2 2 2n 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ? 3? ∴由①-②可得 Tn ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ?2 ? n 2 2 2 2 2 2n 2n ? 3 故 Tn ? 6 ? n ?1 ……………………10 分 2 Tn ? 1 ?
20. 解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 1 + 9

2n ? 1 ,于是 2 n ?1

x2 y2 a b

=1, ? ? 由 题 意 得 ?c 1 = , a 2 ? ?a =b +c .

a2 4b2

解 得 a = 4 , b = 3. 故 椭 圆 C 的 方 程 为

2

2

x2
4



y2
3



2

2

2

1. ……………………4 分 (2) 若 存 在 直 线 l 满 足 条 件 , 由 题 意 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y = k(x - 2) + 1 , 由

x y ? ? + =1, ?4 3 ? ?y=k(x-2)+1,
- 8k(2k - 1)x + 16k 0. ……………………5 分 因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 2 2 2 所以 Δ =[-8k(2k-1)] -4·(3+4k )·(16k -16k-8)>0. 1 整理得 32(6k+3)>0,解得 k>- . 2 分 2 8k(2k-1) 16k -16k-8 又 x1+x2= , x x = , 1 2 2 2 3+4k 3+4k 2 且·= , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 5 2 所以(x1-2)(x2-2)(1+k )= , 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k )= . 4 分 得 (3 + 4k )x
2 2 2

2

2



16k



8



……………………6

……………………8

-6-

16k -16k-8 8k(2k-1) 4+4k 5 2 所以[ -2× +4](1+k )= 2 2 2= , 3+4k 3+4k 3+4k 4 1 解得 k=± 2 分 1 所以 k= .于是存在直线 l 满足条件, 2 其方程为 x ? 2 y ? 0 10 分

2

2

……………………9

……………………

-7-


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