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山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版一轮复习课件:第2章 第7节 函数的图象

抓 住 2 个 基 础 知 识 点

挖 掘 1 大 技 法

第七节

函数的图象
课 堂 限 时 检 测

掌 握 3 个 核 心 考 向

[考情展望]

1.以基本初等函数为知识载体,考查利用图象

的变换(平移、对称、翻折、伸缩 )作函数图象的草图.2.结合函 数的解析式辨别函数图象 .3.利用函数图象研究函数性质或探究 方程解的个数问题.

一、描点法作图

描点 、连线,三个步骤画出函数的图象. 通过______ 列表 、______
二、图象变换 1.平移变换

2.对称变换 关于x轴对称 -f(x) (1)y=f(x) ――――→ y=__________ ; 关于y轴对称 y= f ( - x) ; (2)y=f(x) ――――→ __________ 关于原点对称 y=-f(-x) (3)y=f(x) ――――→ _______________ ; 关于y=x对称 y=logax(a>0且a≠1) . (4)y=a (a>0 且 a≠1) ――――→ ____________________
x

3.翻折变换 保留x轴上方图象 |f(x)| (1)y=f(x)――――――――――――→y=_______. 将x轴下方图象翻折上去 保留y轴右边图象,并作其 f(|x|) (2)y=f(x)――――――――――――→____________ . 关于y轴对称的图象

平移变换八字方针 (1)对于左(右)平移变换, 可熟记为: 左加右减, 但要注意加(减) 指的是自变量. (2)对于上(下)平移变换, 可熟记为: 上加下减, 但要注意加(减) 指的是函数值.

1 1.函数 y=1- 的图象是( x- 1

)

1 【解析】 将 y=- 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 x 1 一个单位,即可得到函数 y=1- 的图象. x-1

【答案】

B

2.函数y=x|x|的图象大致是(

)

【解析】 故选 A.

2 ? ?x y=x|x|=? 2 ? ?-x

x≥0, x<0,

【答案】

A

3.函数f(x)=|log2x|的图象是(

)

【解析】 法一 正确. 法二

? ?log2x,x≥1, f(x)=? ? ?-log2x,0<x<1.

结合图象可知 A

结合翻折变换,可知选 A.

【答案】

A

4.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值 范围是________.

【解析】

在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的

图象,如图所示:由图象知当a>0时,方程|x|=a-x只有一个 解.

【答案】

(0,+∞)

x3 5.(2013· 四川高考)函数 y= x 的图象大致是( 3 -1

)

【解析】

3 x 由 3x-1≠0 得 x≠0,∴函数 y= x 的定义域 3 -1

?- 1 ?3 3 为{x|x≠0},可排除选项 A;当 x=-1 时,y= = >0,可排 1 2 -1 3 64 除选项 B;当 x=2 时,y=1,当 x=4 时,y= ,但从选项 D 80 的函数图象可以看出函数在(0,+∞)上是单调递增函数,两者矛 盾,可排除选项 D.故选 C.

【答案】

C

6.(2013·湖北高考)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途 中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行 驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )

【解析】

距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀

速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速, 直线段比前段下降的快,故应选C. 【答案】 C

考向一 [028]

作函数的图象

作出下列函数的图象:
?1?|x| (1)y=?2? ; ? ?

(2)y=|log2(x+1)|; 2x-1 (3)y= ; x-1 (4)y=x2-2|x|-1.

【思路点拨】 对于(1),(2),(4)可先去掉绝对值号化成分段 函数,再分别画出函数的图象,也可通过图象变换画出函数图 象.对于(3)可先化简解析式分离常数,再用图象变换画图.

【尝试解答】 x≥0 的部分,加上 分,即得

(1)作出

?1?x y=?2? 的图象,保留 ? ?

?1?x y=?2? 图象中 ? ?

?1?x y=?2? 的图象中 ? ?

x>0 部分关于 y 轴的对称部

?1?|x| y=?2? 的图象,如图实线部分. ? ?

(2)将函数 y=log2x 的

图象向左平移一个单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上 去,即可得到函数 y=|log2(x+1)|的图象,如图

1 1 (3)∵y=2+ , 故函数图象可由 y=x图象向右平移 1 个单 x-1 位,再向上平移 2 个单位而得,如图.

2 ? ?x -2x-1,x≥0 (4)∵y=? 2 ? ?x +2x-1,x<0

且函数为偶函数,先用描点法作

出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象.得 图象如图.

规律方法 1

画函数图象的一般方法有

?1?直接法:当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何 中熟悉的曲线?如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分 ?时,就可 根据这些函数或曲线的特征直接作出. ?2?图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平 移、翻折、对称变换得到,可利用图象变换作出.

对点训练

分别画出下列函数的图象:

(1)y=|lg x|; x+ 2 (2)y= ; x+3 (3)y=|log2x-1|.

【解】

(1)∵y=|lg

? ?lg x,x≥1, x|=? ? ?-lg x,0<x<1.

∴函数 y=|lg x|的图象,如图①;

x+2 1 1 (2)∵y= =1- , 可见原函数图象可由 y=-x图象向 x+3 x+ 3 左平移 3 个单位再向上平移 1 个单位而得,如图②.







(3)先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向下平移一个单位, 保留 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图象,如图③.

考向二 [029]

识图与辨图 )

cos 6x (2012· 山东高考)函数 y= x -x的图象大致为( 2 -2

【思路点拨】

从函数的奇偶性及x→+∞和x从正方向趋
cos 6x ∵y=f(x)= x - , 2 -2 x

近于0三个方面排除选项,得出正解.
【尝试解答】

cos?-6x? ∴f(-x)= -x =-f(x), 2 -2x ∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除选项 A;当 x 从正 cos 6x 方向趋近 0 时,y=f(x)= x - 趋近+∞,排除选项 B;当 x 趋近 2 -2 x cos 6x +∞时,y=f(x)= x - 趋近 0,排除选项 C.故选择选项 D. 2 -2 x

【答案】

D

规律方法 2

知式选图的方法,?1?从函数的定义域,判断图

象左右的位置;从函数的值域,判断图象上下的位置; ?2?从函数的单调性,判断图象的变化趋势; ?3?从函数的奇偶性,判断图象的对称性; ?4?从函数的周期性,判断图象的循环往复; ?5?从函数的极值点判断函数图象的拐点. 利用上述方法,排除错误选项,筛选正确选项.

对点训练

(1)已知图 2-7-1①中的图象对应的函数为 y= )

f(x),则图②的图象对应的函数为(

图 2-7-1 A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|) B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

(2)(2014· 青岛模拟)已知 a>0,且 a≠1,函数 y=logax,y= ax,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是( )

【解析】

? ?f?-x?,x≥0 (1)y=f(-|x|)=? ? ?f?x?,x<0

(2)当 0<a<1 时,y=logax 及 y=ax 均为减函数且直线 y=x +a 恒过定点(0,a),排除 D 选项. 当 a>1 时,y=logax 及 y=ax 均为增函数,故排除 A. 又 y=logax 及 y=ax 的单调性相同,从而排除 B 选项. 经检验,C 选项符合 0<a<1 时的情形,故选 C.

【答案】

(1)C

(2)C

考向三 [030]

函数图象的应用

已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式 f(x)>0 的解集; (5)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有三个不相等的实根}.

【思路点拨】

求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式,

再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象,进而应用
图象求解(3)(4)(5)三个小题.
【尝试解答】 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4;

(2)∵f(x)=x|m-x|
? ?x?x-4?,x≥4, =x|4-x|=? ? ?-x?x-4?,x<4.

∴函数 f(x)的图象如图: 由图象知 f(x)有两个零点.

(3)从图象上观察可知:f(x)的单调递减区间为[2,4]; (4)从图象上观察可知: 不等式 f(x)>0 的解集为:{x|0<x<4 或 x>4}. (5)由图象可知若 y=f(x)与 y=m 的图象有三个不同的交点, 则 0<m<4, ∴集合 M={m|0<m<4}.

规律方法 3

1.?1?有关方程解的个数问题常常转化为两个函

数图象的公共点的个数问题;利用此法也可由解的个数求参数值. ?2?有关不等式问题常常转化为两个函数图象的上、下关系问 题. 2.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图 象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数 的单调性、周期性等.

对点训练

(1)已知函数 y=f(x)的周期为 2, 当 x∈[-1,1]时,

f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lg x|的图象的交点共 有( ) A.10 个 C. 8 个 B.9 个 D. 1 个

(2)直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值 范围是________.

【解析】 作图如下:

(1)根据 f(x)的性质及 f(x)在[-1,1]上的解析式可

可验证当 x=10 时,y=|lg 10|=1;0<x<10 时,|lg x|<1; x>10 时|lg x|>1. 结合图象知 y=f(x)与 y=|lg x|的图象交点共有 10 个.故选 A.

2 ? ?x -x+a,x≥0, (2)y=? 2 ? ?x +x+a,x<0,

作出图象,如图所示.

1 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a- ,要使 y=1 与其 4 1 5 有四个交点,只需 a- <1<a,∴1<a< . 4 4
【答案】 (1)A 5 (2)1<a< 4

易错易误之三 ———

图解题的一大“杀手”——作图不规范 ——— [1 个防错练] ———

[1 个示范例]

|x2-1| (2012· 天津高考)已知函数 y= 的图象与函 x-1 数 y = kx - 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是 ________.

【解析】

|x2-1| ? ?x+1?x>1或x<-1?, 因为函数 y= =? x-1 ? ?-x-1?-1≤x<1?.

此处常因不会去绝对值导致函数解析式无法化简,最终导致 无法画出函数图象. 所以函数 y=kx-2 的图象恒过点(0,-2),

此处常因分析不出直线的特征:恒 过定点?0,-2?,导致无法确定k的取值 范围. 根据图象易知,两个函数图象有两

个交点时,0<k<1或1<k<4.

【防范措施】 ?1?解析式含有绝对值符号的函数,一般要去 掉绝对值符号,把函数化为分段函数,利用几何直观求解. ?2?直线方程中 x 或 y 的系数含有参数时,直线恒过定点,可 通过该点旋转直线寻找满足条件的 k 的取值范围.

(2013· 湖南高考)函数 f(x)=ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x +4 的图象的交点个数为( A. 0 C. 2 ) B.1 D. 3

【解析】

g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标

系内画出函数 f(x)=ln x 与 g(x)=(x-2)2 的图象(如图). 由图可得 两个函数的图象有 2 个交点.

【答案】

C

课堂限时检测(十)

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