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平面向量的正交分解极坐标表示、运算


§2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解

平面向量的坐标表示
?? 如图,i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 ?? 的单位向量,若以 i, j 为基底,则 ? 对于该平面内的任一向量 a ,

y
C
A

a

D

有且只有一对实数x、y,可使 ? ? ? a ? xi + y j

j o i B

x

这里,我们把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作

? a ? ( x, y )



其中,x叫做 a 在x轴上的坐标,y叫做 a 在y轴上的坐标, ①式叫做向量的坐标表示。

思考:如图,在直角坐标系中,
? ? j |? ______, 1 1 (1)| i |? _____,| ???? | OC |? ______; 5 ?? uuur (2)若用 i, j 来表示 OC 则: ? ??? uuur ?? 3 i ? 4 j . OC ? ( 3,4) OC ? ________
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). ??? ? ? ??? ? ? 设 OA ? i, OB ? j,填空:

y
7

N

D
M E

F4
B

C

j o iA
方法总结

x
5

3

??? ? ?? (3)向量 CD 能否由 i, j 表示出来?可以的话,如何表示?

??? ? ?? ? ??? CD ? 2 i ? 3 j

例题解析

? ? ? a ? xi +y j
??? ? ? ? OA ? xi +y j

y

? a
y
A( x , y )

OA ? ( x, y )

? j
O

? i

x

x

返回

? ? ? ? ? ? ? 例1.如图,分别用基底 i ,j 表示向量 a 、 c、 d ,并求出 b、
它们的坐标。
A2

解:如图可知

? ? a ? (2,3)
同理

? ???? ???? ? ? ? a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j

A

A1

? ? ? b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3); ? ? ? c ? ?2i ? 3 j ? (?2, ?3); ? ? ? ? d ? 2i ? 3 j ? (2, ?3).

§2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示

? ? ? ? ? ? ? 思考:已知 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,你能得出 a ? b, a ? b, ? a
的坐标吗?

平面向量的坐标运算:
? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的和(差)

? ? a ? (? x1 , ? y1 )
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标

??? ? 例2.如图,已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,求 AB 的坐标。
??? ? ??? ? ??? ? 解: AB ? OB ? OA
y

? ( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 )
? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
A

B

小结:一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标 减去起点的坐标。

O

x

? ? ? ? ? ? ? ? 例3.已知 a ? (2,1), b ? (?3, 4),求 a ? b, a ? b,3a ? 4b 的坐标。

解: a ? b ? ( 2,1) ? ( ?3,4) ? ( ?1,5) a ? b ? ( 2,1) ? ( ?3,4) ? (5,?3) 3a ? 4b ? 3( 2,1) ? 4( ?3,4) ? (6,3) ? ( ?12,16) ? ( ?6,19)

例4.如图,已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 (-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标。 解法1:设点D的坐标为(x,y) ??? ? ? AB ? (?1,3) ? (?2,1) ? (1, 2) ???? DC ? (3, 4) ? ( x, y ) ? (3 ? x, 4 ? y) ??? ? ???? 且 AB ? DC
y B D A O x C

?

? (1, 2) ? (3 ? x, 4 ? y) ? 1? 3? x
2 ? 4? y
解得 x=2,y=2

所以顶点D的坐标为(2,2)

例4.如图,已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 (-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标。 解法2:由平行四边形法则可得

?

??? ? ??? ? ??? ? BD ? BA ? BC ? (3, ?1)

y B D A O

C

? (?2 ? ( ?1),1 ? 3) ? (3 ? ( ?1), 4 ? 3)
???? ??? ? ??? ? 而 OD ? OB ? BD ? ( ?1,3) ? (3, ?1) ? (2, 2)

x

所以顶点D的坐标为(2,2)


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