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第一章_集合与函数概念__复习讲义doc

第一章 集合与函数概念 一、集合的基本概念与运算 1.集合的定义 大写字母 A,B,C,D,?表示集合,用小写 a,b,c,?表示元素。 2.集合中元素的特征 (1)确定性:(2)互异性:(3)无序性 3、集合相等 4、元素与集合的关系 a∈A;a? A。 5、常见的数集及记法 N(N*或 N+); Z; Q;
注:集合的分类

R。

?有限集:含有有限个元 素的集合叫做有限集 按元素个数 ? 素的集合叫做无限集 ?无限集:含有无限个元
按元素的特征可分为:数集,点集,形集等等。 特别地,至少有一个元素的集合叫做非空集合;不含有任何元素的集合叫做空集 (? ) ,只含有一个元素的集合叫做单元素集。

例 已知 P ? ?x, y,1?, Q ? ?x 2 , xy, x?, 且P ? Q  x, y的值 ,求

6、集合的表示方法 (1)列举法:适用条件:有限集或有规律的无限集 (2)描述法:适用条件:一般适合于无限集,有时也可以是有限集。
拓展与提示: 如果集合中的元素的范围已经很明确, 那么 x∈D 可以省略, 只写其元素 x, 如 x ? R x ? 10 可以表示为 x x ? 10 。

?

?

?

?

1

(3)韦恩图法:把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等) 例 用适当的方法表示下列集合,并指出它是有限集还是无限集: (1)由所有非负奇数组成的集合; (2)由所有小于 10 既是奇数又是质数的自然数组成的集合; (3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合; (4)方程 x2+x+1=0 的实数根组成的集合。 (二)集合的基本关系 1、子集:若 x ? A ? x ? B ,则集合 A 是集合 B 的子集。
2、集合相等:如果集合 A 是集合 B 的子集 ( A ? B) ,且集合 B 是集合 A 的子集 3、真子集:如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A , 或说:若集合 A ? B ,且 A≠B,则集合 A 是集合 B 的真子集。 4、空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 ? ,并规定:空集是任何集合的 子集,是任何非空集合的真子集。
拓展与提示:(1) ? ? A, A ? A 。

(2) ? ? B(其中 B 为非空集合) (3)对于集合 A,B,C,若 A ? B, B ? C , 则A ? C 。

? (4)对于集合 A,B,C,若 A 豣 , ? ? C 则 A 豣C
(5)对于集合 A,B,若 A ? B且B ? A, 则A ? B 。 (6)含 n 元素的集合的全部子集个数为 2n 个,真子集有 2n-1 个,非空子集有 2n-1 个,非空真子集有 2n-2 个。
(7) ?a? ? A与a ? A 是不同的,前者为包含关系,后者为属于关系。

(三)集合间的基本运算 1、并集 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为 集合 A 与 B 的并集, 记作 A ? B (读作 并 B” 即 A ? B ? ?x x ? A, 或x ? B? “A ),
2

拓展与提示:对于任意集合 A、B,有(1) A ? A ? A, A ? ? ? A; (2) A ? B ? B ? A ; (3) A ? ( A ? B), B ? ( A ? B) ;(4) A ? B ? A ? A ? B 。

2、交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 称 为 集 合 A 与 B 的 交 集 , 记 作 A? B ( 读 作 “ A 交 B ” ) , 即
A ? B ? ?x x ? A, 且x ? B?。
拓展与提示:对于任意集合 A、B,有(1) A ? A ? A, A ? ? ? ? ; (2) A ? B ? B ? A ; (3) ( A ? B) ? A, ( A ? B) ? B ;(4) A ? B ? A ? A ? B ;(5) ( A ? B) ? ( A ? B) 。

3、全集与补集 (1)全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及 的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作 U。 (2)补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元 素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,简称为集合 A 的补 集,记作 ?uA ? ? x x ? U , 且x ? A? 。
? 拓展与提示: (1)A∩ (?uA) = ? , A∪ (?uA) , (2) u ( uA) = A , uU = ? , u? =U; =U; 痧 ?
(3) ?u ( A ? B) = (痧 ) ? ( uB) , ?u ( A ? B) = (痧 ) ? ( uB) 。 uA uA

例 设集合 A ? ?x 2 ,2x ? 1,?4?, B ? ?x ? 5,1 ? x,9?,若 A∩B= ?9? ,求 A∪B。

4、集合中元素的个数: .例 学校先举办了一次田径运动会,某班有 8 名同学参赛,又举 办了一次球类运动会,这个班有 12 名同学参赛,两次运动会都参赛 的有 3 人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛?
3

二、函数及其表示 (一)函数的概念 1、定义 2、函数的三要素 (1)函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。 (2)由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函 数的定义域相同, 并且对应关系完全一致, 我们就称这两个函数相等。
拓展与提示:(1)函数符号 y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在 18 世纪引入的。 (2)注意区别 f(a)和 f(x),f(x)是指函数解析式,f(a)是指自变量为 a 时的函数值。

3、区间
拓展与提示:(1)在数轴上,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表 示不包括在区间内的端点。 (2)求函数定义域,主要通过下列途径实现。 ①若 f(x)是整式,则定义域为 R; ②若 f(x)为分式,则定义域为使分母不为零的全体实数; ③若 f(x)为偶次根式,则定义域为使被开方数为非负数的全体实数; ④若 f(x)的定义域为[a,b] ,则 f[g(x)]的定义域是 a≤g(x)≤b 的解集; ⑤若 f[g(x)]的定义域为[a,b] ,则 f(x)的定义域是 g(x)在 x ? ?a, b? 下的值域。

例 1 求下列函数的定义域
y ? x ?1 ? 1 2? x

例 2 (1)已知函数 f(x)的定义域是[-1,3] ,求 f(x+1)和 f(x2)的定义域 (2)已知函数 f(2x+3)的定义域为 ?? 1,2? ,求 f(x-1)的定义域 4、映射
拓展与提示:(1)映射包括集合 A、B 以及从 A 到 B 的对应法则 f,三者缺 一不可,且 A、B 必须非空。 (2)A 中的元素在 B 中都能找到唯一的元素和它对应,而 B 中的元素却不 一定在 A 中找到对应元素,即使有,也不一定只有一个。

4

5、函数解析式的求法 ①待定系数法。若已知函数类型,可设出所求函数的解析式,然 后利用已知条件列方程或方程组,再求系数。 ②换元法。若已知函数 y ? f ?? (x)?的解析式,可令 t ? ? (x) ,并由此 求出 x=g(t), 然后代入解析式求得 y=f(t)的解析式, 要注意 t 的取值范 围为所求函数的定义域。 ③赋值法:可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。 例 解答下列各题: (1)已知 f(x)=x2-4x+3,求 f(x+1); (2)已知 f(x+1)=x2-2x,求 f(x); (3)已知二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,图象过原点,求 g(x)。 三、函数的基本性质 (一)函数的单调性 1、单调性
拓展与提示:(1)定义中的 x1,x2 具有任意性,不能用特殊值代替。 (2)若 f(x)在区间 D1,D2 上都是增(减)函数,但 f(x)在 D1∪D2 上不一定是增(减)函数。 (3) 由 于 定 义 域 都 是 充 要 性 命 题 , 因 此 由 f(x) 是 增 ( 减 ) 函 数 , 且

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x 2 ( x1 ? x2 ) ,这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间
的不等关系可以“正逆互推” 。

2、函数单调性的判断方法 (1)定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为 第一步:取值。设 x1、x2 是该区间内的任意两个值,且 x1<x2。 第二步:作差、变形。准确作出差值,并通过因式分解、配方、
5

分子(分母)有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形。 第三步:判断 f(x1)-f(x2)[或 f(x2)-f(x1)]的符号。 第四步:根据定义作出结论。 简记为“取值—作差—变形—定号—结论” 。 (2)直接法。运用已知的结论,直接得到函数的单调性,常见结论有: ①函数 y=-f(x)与函数 y=f(x)的单调性相反;②当函数 f(x)恒为正或恒 为负时,函数 y ?
1 与 f ( x)

y=f(x)的单调性相反;③在公共区间内,增函

数+增函数,其和为增函数,增函数-减函数,其差为增函数等。 (3)图象法:按照作图的方法,准确作出函数的图象,观察判断函数 的单调性。 (4)若当 x∈(a,b)时,f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上递增;若当 x∈(a,b)时, f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)上递减。
拓展与提示:定义有如下等价形式 设 x1,x2∈[a,b] ,那么 ①

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是增函数, ? 0 ? f ( x)在?a, b? x1 ? x 2 x1 ? x 2

上是减函数; ②

( x1 ? x2 )? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? f ( x)

在 [ a,b ] 上 是 增 函 数 ,

( x1 ? x2 )? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? f ( x) 上是减函数。

例 讨论函数 f ( x) ? ax ? 1 (a ? 1 ) 在(-2,+∞)上的单调性。
x?2 2

3、复合函数的单调性 对于复合函数 y=f[g(x)] ,若 t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数, 则 y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数; t=g(x)与 y=f(t) 若 单调性相同(同时为增或减), y=f 则 [g(x)] 为增函数, t=g(x)与 g=f(x) 若
6

单调性相反,则 y=f[g(x)]为减函数,简单地说成“同增异减” 。 y=f(t) t=g(x) Y=f[g(x)] (二)函数的最大(小)值 1、定义
拓展与提示:(1)函数的最大(小)值是函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。 (2)一个连续不断的函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最小值。 (3)求函数最值的常见方法为①构造二次函数;②单调性法;③导数法。

增 增 增

减 减 增

增 减 减

减 增 减

2、二次函数在闭区间上的最值 二次函数 f(x)=ax2+bx+c,当 a>0 时,在闭区间[m,n]上的最值 可分如下讨论:
b ? m 时,则最大值为 f(n),最小值为 f(m); 2a ②若 ? b ? n 时,则最大值为 f(m),最小值为 f(n); 2a ③若 m ? b ? n 时,则最大值为 f(m)或 f(n),最小值为 f (? b ) . 2a 2a 例 已知 1 ? a ? 1 ,若 f(x)=ax2-2x+1,在 [1,3] 上最大值为 M(a), 3

①若 ?

最小值为 N(a),令 g(a)=M(a)-N(a),求 g(a)的函数表达式。 (三)函数的奇偶性 1、定义 偶函数:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数。 奇函数:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数。
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拓展与提示:①并不是所有的函数都具备奇偶性,这些既不是奇函数又不偶函数的函数 称为非奇非偶函数;既是奇函数又是偶函数的函数只有一个,就是 f(x)=0。 ②判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称,否则称为非奇非偶函数。

2、函数奇偶性的性质 (1)若函数 f(x)是偶函数,那么: ①对任意定义域的 x,都有 f(-x)=f(x); ②函数 f(x)的图象关于 y 轴对称; ③函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。 (2)若函数 f(x)是奇函数,那么: ①对任意定义域内的 x,都有 f(-x)=-f(x); ②函数 f(x)的图象关于坐标原点对称; ③函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。 3、函数奇偶性的判定方法 (1)定义法 f(x)是奇函数 ?
f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? 0

f(x)是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 (2)利用图象的对称性 f(x)是奇函数 ? f(x)是偶函数 ?
f (x) 的图象关于原点对称。 f (x) 的图象关于

y 轴对称。

例 设函数 f(x)对任意 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2。 (1)求证:f(x)为奇函数(2)试问在-3≤x≤3 时,f(x)是否有最值?如果 有,求出最值;如果没有,说明理由。
8

集合与函数的概念练习题
一、选择题 1、不能形成集合的是( ) A、正三角形的全体 B、高一年级所有学生 C、高一年级所有胖学生 D、所有无理数 2、设集合{a}用 A 表示,则下列各式中正确的是( ) A、O∈A B、a∈A C、 a ? A D、a≠0 {0}上述四

3、在①1 ? {0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2} ? {0,1,2};④φ 个关系中,错误的个数是: ( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 4、已知集合 A={1,2,3,4}, 那么 A 的真子集的个数是( ) A、15 B、16 C、3 D、4

5、设全集 U=Z,A={x|x<5,x∈Z},B={x|x≤2,x∈Z},则 CU A 与 CU B 的关系是( A. CU A ? CU B B. CU A ? CU B C. CU A ? CU B D. CU (CU A)



CU (CU B)

6、若集合 M ? {x | x ? A、 {a} M

7} , a ? 6 ,则下列关系正确的是( )
M C、a ? M D、a M ) D、 {x|x≤-3} )

B、{a}

7、已知全集为实数 R,M={x|x+3>0},则 CR M 为( A、{x|x>-3} B、 {x|x≥-3}
-x

C、 {x|x<-3}

8、若集合 M={y|y=2 } ,P={y|y=

x ? 1 } ,则 M∩P 等于(

A、{y|y>1} B、{y|y≥1} C、{y|y>0} D、{y|y≥0} 9、设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈N 且 x≤5},则 A∪B 中的元素个数是( A、11 B、10 C、16 D、15 10、如图,U 是全集,M、P、S 是 U 的 3 个子集 ,则阴影部分所表示的集合是( A、(M∩P)∩S B、(M∩P)∪S C、(M∩P)∩(CUS) D、CU(M∩P)∪(CU S) ( ) 11、对于函数 y ? f ( x) ,以下说法正确的有

) )

① y 是 x 的函数;②对于不同的 x , y 的值也不同;③ f ( a ) 表示当 x ? a 时函数 f ( x ) 的值, 是一个常量;④ f ( x ) 一定可以用一个具体的式子表示出来。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 ) D、4 个

12、如下图可作为函数 ? f (x) 的图像的是(

y

y

y

y

O
(A)

x

O

(B)

x

O
(C)

x

O
(D)

x

9

13、若 f ( x) ? A、2

x ? 1 ,则 f (3) ?
B、4 (



) C、 2 2 D、10

14、下列各组函数是同一函数的是 ① f ( x) ?



?2 x3 与 g ( x) ? x ?2x ; ② f ( x) ? x 与 g ( x) ?

? x?

2

; ③ f ( x) ? x0 与

g ( x) ?

1 ;④ f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1与 g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 。 0 x
B、①③ C、③④ ( D、①④ ) D、 a ≤

A、①②

15、设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则有 A、 a ?

1 2

B、 a ?

1 2

C、 a ≥

1 2

1 2

16、奇函数 f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为 5,那么在[-7,-3]上( ) (A)递增,最小-5 (B)递减,最小-5 (C)递增,最大-5 (D)递减,最大-5 17、在区间(0,2)上是增函数的是( ) (A)y=-x+1 18、函数 y ? lg(1 ? (A)正值增函数 19、函数 f ( x) ? (B)y= x (C)y= x2-4x+5 ) (D)负值减函数 (D)y=

2 x

1 ) 在区间(0,+∞)上是( x
(B)负值增函数

(C)正值减函数 )

x ? 1 ? 1 ? x 的奇偶性是(

(A)奇函数 (B)偶函数 (C)既奇又偶函数 (D)非奇非偶函数 20、已知 y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列各点中,在曲线 y=f(x)上的点是( ) A、(a,f(-a)) B、(-sin?,-f(-sin?)) C、(-lga, -f(lg

1 )) D、(-a,-f(a)) a

21、已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( ) (A)-26 (B)-18 (C)-10 (D)10 22、下列所给 4 个图象中,与所给 3 件事吻合最好的顺序为 ( ) (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; (2)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。 离开家的距 离离离 离开家的距 离离 离开家的距 离 离开家的距 离

O

时 (1) 间

O

时 (2) 间

O

时 (3) 间

O

时 (4) 间 D、 (1) (4) (2)

A、 (2) (1) (4)

B、 (2) (4) (3)

C、 (1) (4) (3)

10

二、填空题 1、集合{x∈N|-1<x<4}用列举法表示为_______
2

_________。

2 、 已 知 x ? {1,2, x } , 则 x=___________ 。 3 、 若 集 合 A ? ?x ? Z | ?2 ? x ? 2? ,

B ? y | y ? x 2 ? 2000 x ? A ,则用列举法表示集合 B ? ,
4、若集合 A ? ? ,3, x?, B ? 1, x 2 ,且 A ? B ? ? ,3, x? ,则 x ? 1 1 5、设 U 是全集,非空集合 P、Q 满足 P 算结果为空集 Q U,若含 P、Q 的一个集合运算表达式,使运 .(只要写出一个表达式)

?

?

? ?

,则这个运算表达式可以是

2 6、 f ( x) ? x ? x ? 1 ,则 f ( 2 ) = _________; f ( ) ? _________;

1 a

f (a ? b) ? _________; f ( f (2)) ? _________。
7、 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f ( 2 ) = _________。 8、函数 f(x)=x2+px+3 在 (??,1] 上单调递减,在 (1,??) 上单调递增,则 p= 9、函数 y ? log 1 (? x ? 6 x ? 8) 的单调递减区间为
2 2

.

.

10、奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称. 11、若 f(x)的定义域为 R,且当 x∈??,???时为增函数,则当 f(x)为奇函数时,它在???,?? 上为_____ 、当 f(x)为偶函数时,它在???,??上为 。 (填增减性) 2 12、已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则 a= 、b = . 13、已知 f (0) ? 1, f (n) ? nf (n ?1)(n ? N? ) ,则 f (4) ? 。

14、已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围 是 。

( x ≤ ?1) ?x ? 2 ? 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x ? 15、设 f ( x) ? ? x ? 2x ( x ≥ 2) ?
三. 解答题: 1、已知



A ? ?( x,y )| y ? 3x ? 2?,B ? ( x,y )| y ? x 2

?

? ,求 A ? B 。

2、已知集合 P={2,x,y}, Q ? {2 x,2, y },且 P=Q,求 x、y 的值。
2

11

3、求下列函数的定义域: (1) y ? | x | ?2 ; (2) y ? 2x ?1 ? 3 ? 4x ; (3) y ?

1 。 x ? 2 ?1

? x 2 ( x ? 0) ? 4、 (1)已知函数 f ( x) ? ?1( x ? 0) ,求 f (2) , f (?2) , f ( f (?2)) , f ( f ( f (?2))) 。 ?0( x ? 0) ?

5、已知函数 y ?

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上是增函数,试求 a 的取值范围. x?2

6、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= x ?

1 ; x

(2) f ( x) ? lg

1? x ; 1? x

7、证明:函数 f ( x) ? x ? 1 是偶函数,且在 ?0, ??? 上是增加的并求出最大(小)值。
2

8、对于二次函数 y ? ?4 x ? 8x ? 3 , (1)指出函数的开口方向、对称轴方程、顶点坐标;
2

(2)求函数的最大值或最小值; (3)分析函数的单调性。

9、 设函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的减函数, 并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ? ? ? 1 , (1)求 f (1) 的值, (2)如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围。

?

?1? ? 3?

12


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