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必修4三角函数测试题1


高中数学必修四三角函数检测题
一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列不等式中,正确的是( ) 13? 13? ? ? A.tan B.sin ? cos( ? ) ? tan
4 5 5

C.sin(π -1)<sin1o

D.cos

? 2. 函数 y ? sin( ?2 x ? ) 的单调递减区间是( 6
A. [? ? ? 2k? , ? ? 2k? ]( k ? Z )
6

7? 2? ? cos( ? ) 5 5

7


6 6

C. [ ?

?
6

? k? ,

?

3

B. [ ? ? 2k? , 5? ? 2k? ]( k ? Z ) D. [ ? ? k? , 5? ? k? ]( k ? Z )
6 6

3

? k? ]( k ? Z )

3.函数 y ?| tan x | 的周期和对称轴分别为( A. ? , x ? k? ( k ? Z ) 2 C. ? , x ? k? (k ? Z )
2



B. ? , x ? k? ( k ? Z ) D.
?
,x ?

k? (k ? Z ) 2 2 4.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,可由函数 y ? cos( 2 x ? ? ) ( 4



? 个长度单位 8 ? C. 向左平移 个长度单位 4
A. 向左平移

? 个长度单位 8 ? D. 向右平移 个长度单位 4
B. 向右平移

5.三角形 ABC 中角 C 为钝角,则有( ) A.sinA>cosB B. sinA<cosB C. sinA=cosB D. sinA 与 cosB 大小不确定 ? ? 3? cos x(? ? x ? 0) , 6. 设 f ( x) 是定义域为 R, 最小正周期为 的函数, 若 f ( x) ? ? 2 ? 2 ? 则 f (? 15? ) 的值等于(
4
?sin x(0 ? x ? ? )


2

A. 1

B. 2

C.0

D. ? 2
2

y

7.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的解析式为( A. y sin 2 x ? 2 B. y ? 2 cos3x ? 1 ? ? C. y ? sin( 2 x ? ) ? 1 D. y ? 1 ? sin( 2 x ? ) 5 5

)2 1
o
? 7? 10 20

x

8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 得最小值,则函数 y ? f (
3? ? x) 是( ) 4 A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

?
4

处取

3? ,0) 对称 2 3? C.奇函数且它的图象关于点 ( ,0) 对称 2 D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

B.偶函数且它的图象关于点 (

9.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x, x ?[?? ,0] 的单调递增区间是( ) 5? 5? ? ? ? A. [ ?? ,? ] B. [? ,? ] C. [? ,0] D. [? ,0] 6 6 6 3 6 ? ? ? ? ? ? 10. 已知函数 y ? sin ? x ? ? cos ? x ? ? ,则下列判断正确的是( ) ? 12 ? ? 12 ? ?? ? A.此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ? ,0 ? ? 12 ? ?? ? B.此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 ? ,0 ? ? 12 ? ?? ? C.此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ? ,0 ? ?6 ? ?? ? D.此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 ? ,0 ? ?6 ? cos 2? 2 ?? 11. 若 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ) ? 2 sin(? ? ) 4 1 1 7 7 A. ? B. ? C. D. 2 2 2 2 ? 3 12. . 函数 y ? cos x(sin x ? 3 cos x) ? 在区间 [ ? , ? ] 的简图是( ) 2 2
y
? ? 3

y

1
? 6

1
?
? ? ?? O 3 2 ? 6

? ? 2

O
?1

? x

?1

A.

B.

y
1
? ? 2 ? O ? 6

y
?
? 3

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O

? x

?1
D.

C.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13 设 sin?-sin?= ,cos?+cos?= , 则 cos(?+?)=

1 3

1 2



1 14..已知 sin(700+α)= ,则 cos(2α -40? )= . 3 ? ? 15. 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ) , 若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立, 2 5 则 | x1 ? x2 | 的最小值是____________.
16. 关于 x 的方程 s i nx ? 3 co sx ? a (0 ≤ x ≤ _____________

? ) 有两相异根,则实数 a 的取值范围是 2

三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 x ? 17. (本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin( ? ) ? 3 2 6 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)指出 f ( x) 的周期、振幅、初相、对称轴; (3)说明此函数图象可由 y ? sin x在[0,2 ? ] 上的图象经怎样的变换得到.
y

?

? O 2

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

3? 7?
2

4?

x

18. ( 1 ) 已 知

?

为 第 三 象 限 角 ,

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 f ?? ? ? tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )

. 若

3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值 2 5 ? 6sin ? ? cos ? ? 2 ,求: (2)已知 tan 2 3sin ? ? 2 cos ? cos(? ?

的值.(12 分)

19. 设函数 f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a (其中 ? >0, a ? R ),且 f ( x) 的图象 ? 在 y 轴右侧的第一个高点的横坐标为 . 6 (1)求 ? 的值; ? ? 5? ? (2)如果 f ( x) 在区间 ?? , ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. ? 3 6 ?

20. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ?? ? 0, | ? |?

?
2

) 在一个周

期内的图象 下图所示。 (1)求函数的解析式; (2)设 0 ? x ? ? ,且方程 f ( x) ? m 有两个不同的实数根,求实数 m 的取值范 围和这两个根的和。
y 2 1 O -2
11? 12

x

21.已知函数

?? ? f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 4? ?
f ( x) 在区间 [0, ] 上的单调性。 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)讨论

?

22(本小题满分 12 分) 某港口的水深 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函数,下面是每天时间与 水深的关系表:

t
y

0 10

3 13

6 9.9

9 7

12 10

15 13

18 10.1

21 7

24 10

经过长期观测, y ? f (t ) 可近似的看成是函数 y ? A sin ?t ? b (1)根据以上数据,求出 y ? f (t ) 的解析式 (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可 以安全的进出该港?

.

高一数学必修四三角函数检测题
参考答案
一、选择题: (本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分。 ) 题 号 答 案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 D 8 D 9 D 10 B 11 C 12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 7 59 13、 ? ; 14、 ? ; 15、2; 16、 a ? [ 3,2) 9 72 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
17.解: (1)列表 x

?

?
3
0 3

x ? ? 2 6
y y

2? 3

? 2
6

5? 3

?
3

8? 3 3? 2
0

11? 3
2?
3

6 x ? ? 2? ( k ? Z ) 即为对称轴; 由 ? ? k? ? ,得 x ? 2k? ? 2 6 2 3
(3)①由 y ? sin x 的图象上各点向左平移 ? ? ②由 y ? sin(x ?

? 3? 2? ? 2 2? (2)周期 T= 4? ,振幅 A=3,初相 ? ? ,
?

? O 2

5? 2

3? 7?
2

4?

x

?

?
6

6

个长度单位,得 y ? sin( x ?

?
6

) 的图象;

) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得

x ? y ? sin( ? ) 的图象; 2 6 x ? ③由 y ? sin( ? ) 的图象上各点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变) ,得 2 6

x ? y ? 3 sin( ? ) 的图象; 2 6 x ? x ? ④由 y ? 3 sin( ? ) 的图象上各点向上平移 3 个长度单位, 得 y ? 3 sin( ? ) +3 的图 2 6 2 6
象。

18. : (1)

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 f ?? ? ? tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
(? cos ? )(sin ? )(? tan ? ) (? tan ? ) sin ? ? ? cos ? ?

∵ cos(? ∴

又 ? 为第三象限角 ∴ cos ?

3? 1 )? 2 5 1 ? sin ? ? 5 ?

从而 sin ?

??

1 5

? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 2 6 5

2 6 5



f (? ) 的值为 ?

(2)∵ tan

?
2

? 2 , ∴ tan ? ?

2 ? 2? 2 ? ? 4 ? 1? 4 3 1 ? tan 2 2

2 tan

?



6sin ? ? cos ? 3sin ? ? 2 cos ?



6 tan ? ? 1 3 tan ? ? 2

? 4? 6? ? ? ? ?1 7 ? 3? ? = 6 ? 4? 3? ? ? ? ? 2 ? 3?
19.解: (1) f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a

? 3 3 1 3 ?a, cos 2?x ? sin 2?x ? ? a = sin(2?x ? ) ? 3 2 2 2 2 ? ∵ f ( x) 的图象在 y 轴右侧的第一个高点的横坐标为 , 6 ? ? ? 1 ? 2? ? ? ? ,? ? ? ; 6 3 2 2 ? 3 ?a, (2)由(1)的 f ( x) ? sin(x ? ) ? 3 2 ? ? 7? ? ? ? 5? ? ? x ? ?? , ? ,? x ? ? ?0, ? , 3 ? 6 ? ? 3 6?


7? ? 时, sin( x ? ) 取最小值 ? 3 6 3 1 ? ? 5? ? ∴ f ( x) 在区间 ?? , 的最小值为 ? ? ? 2 ? 3 6 ?
∴当 x ?

?

?

1 , 2 3 ?a, 2

1 3 3 ?1 ?? ? ? a ? 3 ,? a ? 2 2 2 . 20. 解: (1)显然 A=2,
又图象过(0,1)点,? f (0) ? 1 , ? sin ? ? 由图象结合“五点法”可知, (

?? ?

11? ? ? ? 2? ,得 ? ? 2 . 12 6

11? ,0) 对应函数 y ? sin x 图象的点( 2? ,0 ), 12

1 ? ? ,?| ? |? ,? ? ? ; 2 2 6

所以所求的函数的解析式为: f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

).
y 2 1 O ? 5? -2 6 12
2? 3

( 2 ) 如图 所示 ,在 同 一坐 标 系中 画出

y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 和 y ? m ( m ? R )的图象,

由图可知, 当 ? 2 ? m ? 1或1 ? m ? 2 时, 直线 y ? m 与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实 数根。

?

x

? m 的取值范围为: ? 2 ? m ? 1或1 ? m ? 2 ; ? 2? 当 ? 2 ? m ? 1 时,两根和为 ;当 1 ? m ? 2 时,两根和为 . 6 3
22. 解: ( 1 )由表中数据可以看到:水深最大值为 13 ,最小值为 7 , h ?

13 ? 7 ? 10 , 2

A?

13 ? 7 ?3 2

且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T ? 故 f (t ) ? 3sin

2?

2? t ? 10 9

?

? 9 ,? ?

2? , 9

( 0? t ? 2 4 )
2? t ? 10 ? 11.5 9
解 得 : 9k ?

(2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ? 11.5 ,即 3sin ∴ sin

2? 1 t? 9 2

2 k? ?

?
6

?

2? 5? t? ? 2 k? 9 6

3 15 ? t ? ? 9k 4 4

k ?Z
又 0 ? t ? 24 当 k ? 0 时,

3 3 3 3 3 3 ? t ? 3 ;当 k ? 1 时, 9 ? t ? 12 ;当 k ? 2 时, 18 ? t ? 21 4 4 4 4 4 4

故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3: 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18: 45 ? 21: 45)


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