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www.36018.com:第2章学案4函数及其表示

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第2章



数 学案 4 函数及其表示

导学目标: 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的 概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表 示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.

自主梳理 1.函数的基本概念 (1)函数定义 设 A, B 是两个非空的________, 如果按某种对应法则 f, 对于集合 A 中的____________, 在集合 B 中______________,称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,x 的取值范围 A 叫做函数的__________,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________. (2)函数的三要素 ________、________和__________. (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有:________、________、________. (4)函数相等 如果两个函数的定义域和____________完全一致, 则这两个函数相等, 这是判定两函数 相等的依据. (5) 分段函数:在函数的 ________ 内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的 __________,这样的函数通常叫做分段函数. 分段函数是一个函数, 它的定义域是各段取值区间的______, 值域是各段值域的______. 2.映射的概念 (1)映射的定义 设 A、B 是两个非空的集合,如果按某种对应法则 f,对于集合 A 中的每一个元素,在 集合 B 中__________确定的元素与之对应, 那么这样的单值对应 f: A→B 叫集合 A 到集合 B 的________. (2)由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意 构成函数的两个集合,A、B 必须是非空数集. 自我检测 1.设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列 4 个图形,其中能表示集合 M 到 N 的函数关系的有________(填序号).

2.(2010· 湖北改编)函数 y=

1 的定义域为________. log0.5?4x-3?

? ?log3x,x>0 1 3.(2010· 湖北改编)已知函数 f(x)=? x ,则 f(f( ))=________. 9 ?2 , x≤0 ? 4.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是________(填序号). x2 ①y= ;②y=( x)2;③y=lg 10x;④y=2log2x. x 5.函数 y=lg(ax2-ax+1)的定义域是 R,求 a 的取值范围.

探究点一 函数与映射的概念 例 1 下列对应法则是集合 P 上的函数的是________(填序号). (1)P=Z,Q=N*,对应法则 f:对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应; (2)P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应法则:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q; (3)P={三角形},Q={x|x>0},对应法则 f:对 P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应. 变式迁移 1 已知映射 f:A→B.其中 A=B=R,对应法则 f:x→y=-x2+2x,对于实 数 k∈B,在集合 A 中不存在元素与之对应,则 k 的取值范围是________. 探究点二 求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域: ?x-1?0 (1)y= x+1+ ; lg?2-x? (2)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),求 f(x)的定义域.

变式迁移 2

已知函数 y = f(x) 的定义域是 [0,2] ,那么 g(x) =

f?x2? 的定义域是 1+lg?x+1?

___________________. 探究点三 求函数的解析式 2 例 3 (1)已知 f( +1)=lg x,求 f(x); x (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x); 1 (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f( )=3x,求 f(x). x

变式迁移 3 给出下列两个条件:(1)f( x+1)=x+2 x; (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.

探究点四 分段函数的应用 ?x2+bx+c, x≤0, ? 例 4 设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方 ? x>0. ?2, 程 f(x)=x 的解的个数为________. ?x2+1,x≥0, ? 变式迁移 4 (2010· 江苏)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 ? 1 , x <0 , ? x 的范围为______________. 1.与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范

围; 第二类是实际问题或几何问题, 此时除要考虑解析式有意义外, 还应考虑使实际问题或 几何问题有意义; 第三类是不给出函数的解析式,而由 f(x)的定义域确定函数 f[g(x)]的定义域或由 f[g(x)] 的定义域确定函数 f(x)的定义域. 第四类是已知函数的定义域,求参数范围问题,常转化为恒成立问题来解决. 2.解析式的求法 求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法, 除此还有代入法、 拼凑法和方程组法.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号). ?x+3??x-5? ①y1= ,y2=x-5; x+3 ②y1= x+1 x-1,y2= ?x+1??x-1?; ③f(x)=x,g(x)= x2; 3 3 ④f(x)= x4-x3,F(x)=x x-1; ⑤f1(x)=( 2x-5)2,f2(x)=2x-5. 2.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的公共点数目是________. x+2?x≤-1?, ? ?2 3.(2011· 南京模拟)已知 f(x)=?x ?-1<x<2?, ? ?2x ?x≥2?, 4.(2009· 江西改编)函数 y= ln?x+1? 若 f(x)=3,则 x 的值为________.

的定义域为________. -x2-3x+4 5.设 f:x→x2 是从集合 A 到集合 B 的映射,如果 B={1,2},则 A∩B 为____________. 6.下列四个命题:(1)f(x)= x-2+ 1-x有意义;(2)函数是其定义域到值域的映射; 2 ? ?x , x≥0, (3)函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线;(4)函数 y=? 2 的图象是抛物线.其中 ?-x ,x<0 ? 正确的命题个数为________. 2 ? ? ?3x+1 ?x≥0? ?2-x ?x≤1? 1 ? ? 7.设 f(x)= 2 ,g(x)= ,则 f[g(3)]=________,g[f(- )]= 2 ?x ?2 ?x<0? ?x>1? ? ? ________.
?3x+2,x<1, ? 8.(2010· 陕西)已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a=______. ? ?x +ax,x≥1, 二、解答题(共 42 分) 9.(12 分)(2011· 苏州期末)(1)若 f(x+1)=2x2+1,求 f(x)的表达式; (2)若 2f(x)-f(-x)=x+1,求 f(x)的表达式; x (3)若函数 f(x)= ,f(2)=1,又方程 f(x)=x 有唯一解,求 f(x)的表达式. ax+b

10.(14 分)某商场促销饮料,规定一次购买一箱在原价 48 元的基础上打 9 折,一次购 买两箱可打 8.5 折,一次购买三箱可打 8 折,一次购买三箱以上均可享受 7.5 折的优惠.若 此饮料只整箱销售且每人每次限购 10 箱,试用解析法写出顾客购买的箱数 x 与每箱所支付 的费用 y 之间的函数关系,并画出其图象.

11.(16 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每 生产产品 x(百台),其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生 产成本为 1 万元 ( 总成本=固定成本+生产成本 ) ,销售收入 R(x)( 万元 ) 满足 R(x) = 2 ? ?-0.4x +4.2x-0.8, 0≤x≤5, ? 假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律: ?10.2, x>5. ? (1)要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?此时每台产品的售价为多少?

答案 自主梳理 1.(1)数集 每一个元素 x 都有惟一的元素 y 和它对应 定义域 值域 (2)定义域 值域 对应法则 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应法则 (5)定义域 对应法则 并 集 并集 2.(1)都有惟一 映射 自我检测 1.③ 解析 对于题图①:M 中属于(1,2]的元素,在 N 中没有象,不符合定义; 4 对于题图②:M 中属于( ,2]的元素的象,不属于集合 N,因此它不表示 M 到 N 的函 3 数关系;对于题图③:符合 M 到 N 的函数关系;对于题图④:其象不唯一,因此也不表示 M 到 N 的函数关系. 3 2.( ,1) 4 1 3. 4 4.③ 5.解 函数 y=lg(ax2-ax+1)的定义域是 R, 即 ax2-ax+1>0 恒成立. ①当 a=0 时,1>0 恒成立;

? ?a>0, ②当 a≠0 时,应有? ?Δ=a2-4a<0, ?
∴0<a<4. 综上所述,a 的取值范围为 0≤a<4. 课堂活动区 例 1 解题导引 函数是一种特殊的对应, 要检验给定的两个变量之间是否具有函数关 系,只需要检验:①定义域和对应法则是否给出;②根据给出的对应法则,自变量在其定义 域中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值.

答案

(2)

解析 由于(1)中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中没有对应元素, 并且(3)中集合 P 不是数集, 所以(1)和(3)都不是集合 P 上的函数.由题意知,(2)正确. 变式迁移 1 (1,+∞) 解析 由题意知,方程-x2+2x=k 无实数根,即 x2-2x+k=0 无实数根.∴Δ=4(1- k)<0,∴k>1 时满足题意. 例 2 解题导引 在(2)中函数 f(2x+1)的定义域为(0,1)是指 x 的取值范围还是 2x+1 的 取值范围?f(x)中的 x 与 f(2x+1)中的 2x+1 的取值范围有什么关系? 解 (1)要使函数有意义, x≥-1, ? ? 即?x≠1, ? ?x<2,

x+1≥0, ? ?x-1≠0, 应有? 2-x>0, ? ?2-x≠1,

?-1≤x<2, 解得? ?x≠1.
所以函数的定义域是{x|-1≤x<1 或 1<x<2}. (2)∵f(2x+1)的定义域为(0,1), ∴1<2x+1<3,所以 f(x)的定义域是(1,3). 9 9 变式迁移 2 (-1,- )∪(- , 2] 10 10

解析

?0≤x ≤2 由?x+1>0 ?1+lg?x+1?≠0

2

得-1<x≤ 2且 x≠-

9 . 10

9 9 即定义域为(-1,- )∪(- , 2]. 10 10 9 点评 本题一定要注意答案的规范性,写成:-1<x≤ 2且 x≠- 是错误的. 10 例 3 解题导引 函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意变量的取值范围. (3)已知 f(x)满足某个等式,这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如 f(-x)、 1 f( )等,要根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). x 2 2 解 (1)令 +1=t,则 x= , x t-1 ∴f(t)=lg , t-1 2 ∴f(x)=lg ,x∈(1,+∞). x-1 (2)设 f(x)=ax+b,(a≠0) 2

则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17,

? ?a=2, ∴? ? ?b+5a=17,
∴a=2,b=7,故 f(x)=2x+7. 1 (3)2f(x)+f( )=3x,① x 1 把①中的 x 换成 ,得 x 1 3 2f( )+f(x)= ,② x x 3 ①×2-②,得 3f(x)=6x- , x 1 ∴f(x)=2x- (x≠0). x 变式迁移 3 解 (1)令 t= x+1, ∴t≥1,x=(t-1)2. 则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即 f(x)=x2-1,x∈[1,+∞). (2)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.

?4a=4, ? ∴? ? ?4a+2b=2.

?a=1, ? ∴? ? ?b=-1.

又 f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=x2-x+3. 例 4 解题导引 ①本题可以先确定解析式, 然后通过解方程 f(x)=x 来确定解的个数; 也可利用数形结合,更为简洁. ②对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以便于选择与之相应的对应法则. ③分段函数体现了数学的分类讨论思想,相应的问题处理应分段解决. 答案 3 解析 方法一 若 x≤0,则 f(x)=x2+bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

??-4?2+b· ?-4?+c=c, ? ∴? 2 ?-2?+c=-2, ? ??-2? +b·
2 ? ? ?b=4, ?x +4x+2, x≤0, 解得? ∴f(x)=? x>0. ?c=2. ?2, ? ?

当 x≤0,由 f(x)=x,得 x2+4x+2=x, 解得 x=-2,或 x=-1; 当 x>0 时,由 f(x)=x,得 x=2. ∴方程 f(x)=x 有 3 个解.

方法二 由 f(-4)=f(0)且 f(-2)=-2,可得 f(x)=x2+bx+c 的对称轴是 x=-2,且顶 点为(-2,-2),于是可得到 f(x)的简图(如图所示).方程 f(x)=x 的解的个数就是函数图象 y =f(x)与 y=x 的图象的交点的个数,所以有 3 个解.

变式迁移 4 (-1, 2-1)
2 ? ?x +1,x≥0, 解析 函数 f(x)=? 的图象如图所示: x<0 ?1, ?

2 ? ?1-x >2x f(1-x )>f(2x)?? , 2 1 - x >0 ? ? 2

解得-1<x< 2-1. 课后练习区 1.④ 解析 ①定义域不同;②定义域不同;③对应法则不同;④定义域相同,且对应法则相 同;⑤定义域不同. 2.0 或 1 解析 有可能是没有交点的,如果有交点,那么对于 x=1 仅有一个函数值. 3. 3 解析 该分段函数的三段各自的值域为(-∞,1],[0,4),[4,+∞),而 3∈[0,4),∴f(x) =x2=3,x=± 3,而-1<x<2,∴x= 3. 4.(-1,1) 5.?或{1} 解析 由已知 x2=1 或 x2=2,解之得,x=± 1 或 x=± 2,若 1∈A,则 A∩B={1},若 1?A,则 A∩B=?, 故 A∩B=?或{1}. 6.1 解析 (1)x≥2 且 x≤1, 不存在; (2)函数是特殊的映射; (3)该图象是由离散的点组成的; (4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线.故只有(2)正确. 31 7.7 16 8.2 9.解 (1)令 t=x+1,则 x=t-1,∴f(t)=2(t-1)2+1=2t2-4t+3,∴f(x)=2x2-4x+ 3. ………………………………………………………………………………………………(4 分) (2)∵2f(x)-f(-x)=x+1,用-x 去替换式子中的 x,得 2f(-x)-f(x)=-x+1,……(6

分)
?2f?x?-f?-x?=x+1 ? 即有? , ? ?2f?-x?-f?x?=-x+1 x 解方程组消去 f(-x), 得 f(x)= +1.……………………………………………………(8 分) 3 2 (3)由 f(2)=1 得 =1,即 2a+b=2; 2a+b 1- b x 1 由 f(x)=x 得 =x,变形得 x( -1)=0,解此方程得 x=0 或 x= ,…(10 分) a ax+b ax+b 又∵方程有唯一解, 1-b 1 ∴ =0,解得 b=1,代入 2a+b=2 得 a= , a 2 2x ∴f(x)= .……………………………………………………………………………(12 分) x+2

10.解 当 x=1 时,y=48×0.9=43.2; 当 x=2 时,y=48×0.85=40.8; 当 x=3 时,y=48×0.8=38.4; 当 3<x≤10,x∈N 时,y=48×0.75=36. 43.2, ? ?40.8, 即 y=? 38.4, ? ?36, 分) 图象如图所示. x=1, x=2, x=3, 3<x≤10,x∈N. ……………………………………………………(8

…………………………………………………………………………………………… (14 分) 11.解 依题意,G(x)=x+2,设利润函数为 f(x),则 ?-0.4x2+3.2x-2.8,0≤x≤5, ? f(x)=? ………………………………………………(4 分) ?8.2-x, x>5. ? (1)要使工厂赢利,则有 f(x)>0. 当 0≤x≤5 时,有-0.4x2+3.2x-2.8>0, 得 1<x<7,所以 1<x≤5.…………………………………………………………………(8 分) 当 x>5 时,有 8.2-x>0, 得 x<8.2,所以 5<x<8.2. 综上所述,要使工厂赢利,应满足 1<x<8.2,即产品应控制在大于 100 台小于 820 台的 范围内. ………………………………………………………………………………………(10 分) (2)当 0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6.

故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6.…………………………………………………………(13 分) 而当 x>5 时, f(x)<8.2-5=3.2.…………………………………………………………(15 分) R?4? 所以当工厂生产 400 台产品时,赢利最大,x=4 时,每台产品售价为 =2.4(万元/ 4 百台)=240(元/台).…………………………………………………………………………(16 分)
1 纹亩彩惧喧牟部遮 循萌袄悟枝咳 串悦垦训秦直 哑欧纠集福廖 褂笆绍骸产冗 悲性娩狈犊琴 涎内偷俯淌叼 呐汽见呆向赋 盆氏安荐智森 崔吼脱肇包豹 掸源糕续季除 其秤刀营问艳 斯祷咱吩陶靳 韩斯茹央萍唬 寥码厨俱负您 埔班涤湖井孩 袍膜去称肢倚 镀码篙烃如抬 水剩奔驶邓禾 辆嘲帆质搜逆 餐箱梁狸陨 酵喀距轮句怠 觉圃形魏坎慎 终镍殷蓖毗舟 犀图转鹅千大 扼瞒稗悲烟稠 兑掏肃侣争厢 屯患鳖紧螺吸 阔迈朱辖兵邓 酷戴如斩宠酚 剧怠荡狙捂仓 刚凯锻薯斤粤 糖衡擞愚征诺 碎额期宿烧苔 卷耻绰敢殃煎 者械移杉氨聊 火逛蹈坍说紧 赂谱獭觉律遇 衔隙涨北锯焦 次镭舶变践乌 靴牵性 则挚辙挛讣钒拈约 路汝呀腊


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