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江苏省连云港外国语学校2012-2013学年高二数学下学期期末复习试题(7)理 苏教版 2

连云港外国语学校 2012~2013 学年度高二年级数学理科期末复习 卷(七)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置.Y 1.若复数 z1 ? 1 ? 8i, z2 ? 3 ? 4i ,其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z2 )i 的虚部为 2. 设 i 是虚数单位,若 z ? . C Y

1 ? ai 是实数,则实数 a ? . 1? i ??? ? ??? ? ???? ? ? ? ???? ? ???? ? 3. 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? i, AD ? j, AA ? k ,设点 E 满足 D1E ? 3EC1 , 1 1
则向量 AE ?

??? ?
5

(用 i, j , k 表示). .

?? ?

3 4.在 ( x ? ) 的二项展开式中, x 的系数是

2 x

5. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 节课,要求数学课排在前 3 节,体育课不排在第 1 节,则不同的排法种数为 6.某篮球运动员在三分线投篮的命中率是 率 . (用数值作答) .(以数字作答).

1 ,他投篮 10 次,恰好投进 3 个球的概 2

7.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人 不区分站的位置,则不同的站法种数是_______. 8.若 (2x ? 1)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ______. 9. 将曲线 x ? y ? 1 绕原点逆时针旋转 45? 后, 得到的曲线 C 方程为
2

.

10. 随机变量 ? 的分布列如下:

?

?1
a

0
b

1
c


P

其中 a,b,c 成等差数列,若期望 E ?? ? ?

1 ,则方差 V ?? ? 的值是 3
.

11.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球 得 3 分,设得分为随机变量 ξ ,则 P(ξ ≤7)=

1

12.古希腊毕达哥拉斯学派把 3,6,10,15,?这列数叫做三角形数,因为这列数对应的点可 以排成如图所示的三角形, 则第 n 个三角形数为 .

第 12 题 13. 已知 a, b, c ? Z ,若 a ? b ? c ,则下列说法正确的序号是
2 2 2

.

① a, b, c 可能都是偶数; ③ a, b, c 可能都是奇数; 14.数列 {an } 是正项等差数列,若 bn ?

② a, b, c 不可能都是偶数; ④ a, b, c 不可能都是奇数.

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,则数列 {bn } 也为等差数 1? 2 ? 3 ??? n
,则数

列,类比上述结论,数列 {cn } 是正项等比数列,若 dn ? 列 {dn } 也为等比数列.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知矩阵 M ? ?

?0 1? ?0 ? 1? , N ?? ? ? 。在平面直角坐标系中,设直线 ?1 0? ?1 0 ?

2 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线 F ,求曲线 F 的方程

2

16.(本题满分 14 分) 如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在

AD 上,且 PG=4, AG ?

1 GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点. 3 (1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; PF (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求 的值. FC

P

A

G

F D

B

E

C

17. (本题满分 14 分)

已知曲线 C : {

x ? 3 cos? ,直线 l : ?(2 cos? ? 3 sin ? ) ? 13 . y ? 3 sin ?

(1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 的距离的最小值.

18. (本题满分 16 分) 已知矩阵 A ? ?

?3 a ? / ?, a ? R, 若点 P(2,?3) 在矩阵 A 的变换下得到点 P (3,3). ?0 ? 1?

(1)则求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及其对应的特征向量.

3

19. (本题满分 16 分) 一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的 7 个小球,且每个小球的球面上要 么只写有数字“ 2012 ” ,要么只写有文字“奥运会” .假定每个小球每一次被取出的机 会都相同,又知从中摸出 2 个球都写着“奥运会”的概率是

1 .现甲、乙两个小朋友做游 7

戏,方法是:不放回从口袋中轮流摸取一个球,甲先取、乙后取,然后甲再取,直到两个 小朋友中有一人取得写着文字“奥运会”的球时游戏终止. (1)求该口袋内装有写着数字“ 2012 ”的球的个数; (2)求当游戏终止时总球次数 ? 的概率分布列和期望 E ? .

20. (本题满分 16 分) 在数列 {an } 、{bn } 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列,bn , an?1 , bn?1 成等比 数列 (n ? N? ) . ⑴求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 {an } 、 {bn } 的通项公式,并用数学归纳法证明; ⑵证明:

1 1 1 5 ? ??? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

高二年级数学理科期末复习卷参考答案(七)
4

命题人:刘希团

2013 年 6 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置.Y 1.若复数 z1 ? 1 ? 8i, z2 ? 3 ? 4i ,其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z2 )i 的虚部为 2. 设 i 是虚数单位,若 z ? . ?2 C Y

1 1 ? ai 是实数,则实数 a ? . 1? i 2 ??? ? ??? ? ???? ? ? ? ???? ? ???? ? 3. 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? i, AD ? j, AA ? k ,设点 E 满足 D1E ? 3EC1 , 1 1
则向量 AE ?

??? ?
5

(用 i, j , k 表示).

?? ?

3? ? ? i? j?k 4
. ?10

3 4.在 ( x ? ) 的二项展开式中, x 的系数是

2 x

5. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 节课,要求数学课排在前 3 节,体育课不排在第 1 节,则不同的排法种数为 6.某篮球运动员在三分线投篮的命中率是 率 . (用数值作答) .(以数字作答). 312

1 ,他投篮 10 次,恰好投进 3 个球的概 2

15 128

7.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人 不区分站的位置,则不同的站法种数是_______.336 8.若 (2x ? 1)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ______.1 9. 将 曲 线 x ? y 2 ? 1 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 45? 后 , 得 到 的 曲 线 C 方 程 为 .

x2 ? y 2 ? 2xy ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0
10. 随机变量 ? 的分布列如下:

?
P

?1
a

0 b

1
c


其中 a,b,c 成等差数列,若期望 E ?? ? ?

1 ,则方差 V ?? ? 的值是 3
13 35

5 9

11.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球 得 3 分,设得分为随机变量 ξ ,则 P(ξ ≤7)= .

5

12.古希腊毕达哥拉斯学派把 3,6,10,15,?这列数叫做三角形数,因为这列数对应的点可 以排成如图所示的三角形, 则第 n 个三角形数为 .

(n ? 1) ? n ? 2 ? 2

第 12 题 13. 已知 a, b, c ? Z ,若 a ? b ? c ,则下列说法正确的序号是
2 2 2

. ①④

① a, b, c 可能都是偶数; ③ a, b, c 可能都是奇数; 14.数列 {an } 是正项等差数列,若 bn ?

② a, b, c 不可能都是偶数; ④ a, b, c 不可能都是奇数.

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,则数列 {bn } 也为等差数 1? 2 ? 3 ??? n
,则数

列,类比上述结论,数列 {cn } 是正项等比数列,若 dn ? 列 {dn } 也为等比数列.

?C ? C
1

2

2

? C33 ?? ? Cn n ? n? n?1?

2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知矩阵 M ? ?

?0 1? ?0 ? 1? ? , N ? ?1 0 ? 。 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 设 直 线 ?1 0? ? ?

2 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线 F ,求曲线 F 的方程
解:由题设得 MN ? ?

?0 1? ?0 ? 1? ?1 0 ? ??? ??? ? ,设 ( x, y ) 是直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点, ?1 0? ?1 0 ? ?0 ? 1?

点 ( x, y ) 在矩阵 MN 对应的变换作用下变为 ( x ?, y ?) ,

6

则有 ?

?1 0 ? ? x ? ? x?? ? x ? ? x?? ? x ? x? ? ? y ? ? ? y ?? , 即 ?? y ? ? ? y ?? ,所以 ? y ? ? y ? ?0 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因为点 ( x, y ) 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,从而 2 x? ? (? y ?) ? 1 ? 0 ,即: 2 x? ? y ? ? 1 ? 0 所以曲线 F 的方程为 16.(本题满分 14 分) 如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在

2x ? y ? 1 ? 0

AD 上,且 PG=4, AG ?

1 GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点. 3 (1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; PF (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求 的值. P FC

解:(1)以 G 点为原点, GB 、 、 为 x 轴、y 轴、 GC GP

z 轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(0,2,0), P(0,0,4),故 E(1,1,0), GE =(1,1,0), PC =(0,
2,4)。 cos ? GE , ?? PC
GE ? PC | GE | ? | PC | ? 2 10 , ? 10 2 ? 20

A

G

F D

B

E

C

10 . 10 (2)平面 PBG 的单位法向量 n=(0,±1,0) . 3 3 3 3 ∵ GD ? AD ? BC ? (? , , ) , 0 4 4 2 2 3 ∴点 D 到平面 PBG 的距离为 | GD ? n |= . 2 3 3 3 3 (3)设 F(0,y,z),则 DF ? (0 , ,) ? (? , ,) ? ( , ? ,) 。 y z 0 y z 2 2 2 2
∴GE 与 PC 所成的余弦值为 ∵ DF ? GC ,∴ DF ? GC ? 0 ,

3 ,) ? (0, ,) ? 2 y ? 3 ? 0 , z 2 0 2 3 3 ∴y? , 又 PF ? ? PC ,即(0, ,z-4)=λ (0,2,-4), ∴z=1, 2 2
即 ( ,y ?
7

3 2

3 5 PF 3 1 3 故 F(0, ,1) , PF ? (0, , 3), ? (0, , 1) ,∴ ? 2 ? 3。 ? FC ? PC 2 2 2 5 2
17. (本题满分 14 分)

已知曲线 C : {

x ? 3 cos? ,直线 l : ?(2 cos? ? 3 sin ? ) ? 13 . y ? 3 sin ?

(1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 的距离的最小值. (1) 2 x ? 3 y ? 13 ; (2) 13 ? 3 18. (本题满分 16 分) 已知矩阵 A ? ?

?3 a ? / ?, a ? R, 若点 P(2,?3) 在矩阵 A 的变换下得到点 P (3,3). ?0 ? 1?

(1)则求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及其对应的特征向量. (1) a ? 1 ; (2)特征值 ?1 ? 3, ?2 ? ?1 对应的特征向量分别为 ?1 ? ? ?, ? 2 ? ? 19. (本题满分 16 分) 一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的 7 个小球,且每个小球的球面上要 么只写有数字“ 2012 ” ,要么只写有文字“奥运会” .假定每个小球每一次被取出 的机会都相同,又知从中摸出 2 个球都写着“奥运会”的概率是

?1? ?0?

?1? ? ?? 4?

1 .现甲、乙两个小 7

朋友做游戏,方法是:不放回从口袋中轮流摸取一个球,甲先取、乙后取,然后甲再 取,直到两个小朋友中有一人取得写着文字“奥运会”的球时游戏终止. (1)求该口袋内装有写着数字“ 2012 ”的球的个数; (2)求当游戏终止时总球次数 ? 的概率分布列和期望 E ? .

解: (1)4 个;

8

(2)

?
P

1

2

3

4

5

3 7

2 7

6 35

3 35

1 35

E? ? 2
20. (本题满分 16 分) 在数列 {an } 、{bn } 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列,bn , an?1 , bn?1 成等比数列

(n ? N ? ) .
⑴求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 {an } 、 {bn } 的通项公式,并用数学归纳法证明; ⑵证明:

1 1 1 5 ? ??? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

2 解:⑴由条件得 2bn ? an ? an?1 , an?1 ? bnbn?1 ,再由 a1 ? 2, b1 ? 4 推得 a2 ? 6, b2 ? 9,

a3 ? 12, b3 ? 16, a4 ? 20, b4 ? 25 ,猜测 an ? n(n ? 1), bn ? (n ? 1)2 ,用数学归纳法证明如
下: n ? 1 时, ① 由上知结论成立。 ②假设 n ? k 时, 结论成立, ak ? k (k ? 1), bk ? (k ? 1)2 , 即 那么 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1)2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2)

bk ?1 ?

2 ak ?1 (k ? 1)2 (k ? 2)2 ? ? (k ? 2)2 ,结论也成立, 2 bk (k ? 1)

由①②知, an ? n(n ? 1), bn ? (n ? 1) 对一切正整数都成立.
2

⑵证明当 n ? 1 时,

1 1 5 2 ? ? , n ? 2 时, 当 由①知 an ? bn ? n(n ? 1) ? (n ? 1) a1 ? b1 6 12 1 1 1 ? ??? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn

? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n ,故

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ??? )? ? ( ? )? ? ? 6 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 6 2 2 n ? 1 6 4 2(n ? 1)

?

1 1 5 ? ? . 6 4 12
9


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