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2014-2015学年山东省济南一中高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年山东省济南一中高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题,每题 4 分,共 80 分 1.复数 z1=﹣3+i,z2=1﹣i,则复数 z=z1?z2 在复平面内所对应的点在( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 2.曲线 y=e 在点(0,1)处的切线方程为( A. y= x+1 B. y=﹣2x+1
2x

) D. 第四象限

) C. y=2x﹣1 D. y=2x+1

3.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电,”此推理类型属于( A. 演绎推理 B. 类比推理 C. 合情推理

) D. 归纳推理 )

4.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时, 假设正确的是 ( A. 假设三内角都不大于 60 度 B. 假设三内角都大于 60 度 C. 假设三内角至多有一个大于 60 度 D. 假设三内角至多有两个大于 60 度 5. 在 200 件产品中有 3 件次品, 现从中任意抽取 5 件, 其中至少有 2 件次品的抽法有 ( A. B. ( C. D. ( 种 ﹣ 种 )种 ) 种



6.下面给出了关于复数的三种类比推理:其中类比错误的是( ①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则; ②由向量 的性质| | =
2 2



可以类比复数的性质|z| =z ;

2

2

③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. A. ② B. ①② C. ①③

D. ③

7.先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体的玩具,在正方体各面上分别有点数 1,2, 3,4,5,6) ,骰子落地后朝上的点数分别为 x,y,则 log2xy=1 的概率为( ) A. B.
10 2

C.
10

D.

8.在二项展开式(1+x) =a0+a1x+a2x +…+a10x 中,a1+a3+a5+a7+a9=(



A. 1024

B. 512
2

C. 256

D. 128

9.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) .若 ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ξ 在 (0,2)内取值的概率为( ) A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 10.已知 f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x) ,f3(x)=f2′(x) ,f4(x)=f3′(x) ,…,fn(x)=fn ,则 f2015(x)等于( ) ﹣1′(x) A. sinx B. ﹣sinx C. cosx D. ﹣cosx 11.函数 y=x ﹣3x ﹣9x(﹣2<x<2)有( A. 极大值 5,无极小值 C. 极大值 5,极小值﹣27
3 2

) B. 极小值﹣27,无极大值 D. 极大值 5,极小值﹣11
n *

12.数学归纳法证明(n+1)?(n+2)?…?(n+n)=2 ×1×3×…×(2n﹣1) (n∈N )成立时, 从 n=k 到 n=k+1 左边需增加的乘积因式是( ) A. 2(2k+1) B. C. 2k+1 D.

13.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概 率为( )

A.

B.

C.

D.

14.设离散型随机变量 X 的概率分布如表:则随机变量 X 的数学期望为( X 0 1 2 3 Pi p



A.

B.

C.

D.

15.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 ( ) A. ?x∈R,f(x)≤f(x0) B. ﹣x0 是 f(﹣x)的极小值点 C. ﹣x0 是﹣f(x)的极小值点 D. ﹣x0 是﹣f(﹣x)的极小值点 16.已知 f(x)=3sinx﹣πx,对任意的 x∈(0, ) ,给出以下四个结论:

①f′(x)>0; ②f′(x)<0; ③f(x)>0; ④f(x)<0. 其中正确的是( A. ①③

) B. ①④ C. ②③ D. ②④

17.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A,B 可以不相邻) , 那么不同的排法共有( ) A. 24 种 B. 60 种 C. 90 种 D. 120 种 18.已知函数 f(x)=﹣x +ax ﹣x﹣1 在(﹣∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围 是( ) A. [﹣ , ] B. (﹣ , ) C. (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) D. (﹣∞,﹣ )∩( ,+∞) 19.现有 5 种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两块 区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是( )
3 2

A. 120
x

B. 140

C. 240

D. 260

20.设函数 f(x)=e (2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<l,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0, 则 a 的取值范围是( ) A. [ ) B. [ ) C. [ ) D. [ )

二、填空(每题 4 分) 21.函数 f(x)= 的单调递增区间是 .

22.设

=a,则二项式

的展开式中的常数项为



23.某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言. (用数字作答) 24.四个不同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 种(用数字作答) .

25.已知函数 f(x)=x +2x ﹣ax+1 在区间(﹣1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值 范围是 .

3

2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 26.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p,且乙投球 2 次均未命中的概率为 .

(Ⅰ)求乙投球的命中率 p; (Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率. 27.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=0 处的切线为 l:4x+y﹣5=0,若 x=﹣2 时,y=f(x)有极值. (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值. 28.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械工程 学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示: 学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 4 6 4 6 (Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学 院的概率; (Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 ξ,求随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望. 29.已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)+ (Ⅲ)若 g(x)=﹣ 立,求 a 的取值范围. ,求函数 h(x)的单调区间;
3 2

,在[1,e](e=2.71828…)上存在一点 x0,使得 f(x0)≤g(x0)成

2014-2015 学年山东省济南一中高二(下)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题,每题 4 分,共 80 分 1.复数 z1=﹣3+i,z2=1﹣i,则复数 z=z1?z2 在复平面内所对应的点在( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

) D. 第四象限

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数的几何意义进行求解即可. 解答: 解:∵z1=﹣3+i,z2=1﹣i, ∴z1z2=(﹣3+i) (1﹣i)=﹣2+4i, 对应点的坐标为(﹣2,4) ,位于第二象限, 故选:B 点评:本题主要考查复数的几何意义,根据复数的基本运算进行求解是解决本题的关键. 2.曲线 y=e 在点(0,1)处的切线方程为( A. y= x+1 B. y=﹣2x+1
2x

) C. y=2x﹣1 D. y=2x+1

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:求出导函数,求出切线斜率,利用点斜式可得切线方程. 解答: 解:由于 y=e ,可得 y′=2e , 令 x=0,可得 y′=2, 2x ∴曲线 y=e 在点(0,1)处的切线方程为 y﹣1=2x,即 y=2x+1. 故选:D. 点评:本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题. 3.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电,”此推理类型属于( A. 演绎推理 B. 类比推理 C. 合情推理 ) D. 归纳推理
2x 2x

考点:演绎推理的基本方法. 分析:本题考查的是演绎推理的定义, 判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符 合演绎推理的定义,能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分. 解答: 解:在推理过程“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”中 所有金属都能导电,是大前提 铁是金属,是小前提 所以铁能导电,是结论 故此推理为演绎推理

故选 A 点评:演绎推理的主要形式就是由大前提、 小前提推出结论的三段论推理. 三段论推理的依 据用集合论的观点来讲就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供 了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来, 揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论. 4.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时, 假设正确的是 ( A. 假设三内角都不大于 60 度 B. 假设三内角都大于 60 度 C. 假设三内角至多有一个大于 60 度 D. 假设三内角至多有两个大于 60 度 )

考点:反证法与放缩法. 专题:常规题型. 分析: 一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定: “不都是”; “至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是至多有 n 个” 的否定:“至少有 n+1 个”; “任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某两个”;“所有的”的否定:“某些”. 解答: 解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,“至少有一个”的否定:“一 个也没有”;即“三内角都大于 60 度”. 故选 B 点评:本题考查反证法的概念,逻辑用语,否命题与命题的否定的概念,逻辑词语的否定. 5. 在 200 件产品中有 3 件次品, 现从中任意抽取 5 件, 其中至少有 2 件次品的抽法有 ( A. B. ( C. D. ( 种 ﹣ 种 )种 ) 种 )

考点:排列、组合的实际应用. 专题:应用题;排列组合. 分析:根据题意,“至少有 2 件次品”可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两种情况,由组合 数公式分别求得两种情况下的抽法数,进而相加可得答案. 解答: 解:根据题意,“至少有 2 件次品”可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两种情况, 2 3 “有 2 件次品”的抽取方法有 C3 C197 种, 3 2 “有 3 件次品”的抽取方法有 C3 C197 种, 2 3 3 2 则共有 C3 C197 +C3 C197 种不同的抽取方法, 故选 D.

点评:本题考查组合数公式的运用,解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类 讨论. 6.下面给出了关于复数的三种类比推理:其中类比错误的是( ①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则; ②由向量 的性质| | =
2 2



可以类比复数的性质|z| =z ;

2

2

③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. A. ② B. ①② C. ①③

D. ③

考点:类比推理. 专题:计算题;推理和证明. 分析:利用复数的加减法运算法则判断出①对;利用复数加法的几何意义判断出③对;通 过举反例判断出命题②错. 解答: 解:对于复数的加减法运算法则判断出①对; 对于②向量 a 的性质| | =
2 2

,但|z| 是实数,但 z 不一定是实数,如 z=i,就不成立,故错;

2

2

对于③复数加法的几何意义判断出③对, 故选:A. 点评:本题考查向量的数量积公式、向量的运算律、复数的运算律.解答关键是结合复数的 运算性质对类比得到的结论要一一进行验证. 7.先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体的玩具,在正方体各面上分别有点数 1,2, 3,4,5,6) ,骰子落地后朝上的点数分别为 x,y,则 log2xy=1 的概率为( ) A. B. C. D.

考点:等可能事件的概率;对数函数的值域与最值. 专题:计算题. 分析:根据题意,先后抛掷两枚均匀的骰子,事件发生包含的事件是 6×6 种结果,由对数运 算的性质,可得 y=2x,可得其情况数目,根据等可能事件的概率公式得到结果. 解答: 解:根据题意,每颗骰子朝上的点数都有 6 种情况,则 x、y 的情况有 6×6=36 种, 若 log2xy=1,则 y=2x,其情况有 x=1、y=2,x=2、y=4,x=3、y=6,共 3 种情况; 则 log2xy=1 的概率为 = ;

故选 D. 点评:本题考查等可能事件的概率,涉及对数的运算性质,关键是利用对数的运算性质,将 log2xy=1 转化为 y=2x. 8.在二项展开式(1+x) =a0+a1x+a2x +…+a10x 中,a1+a3+a5+a7+a9=( ) A. 1024 B. 512 C. 256 D. 128 考点:二项式系数的性质. 专题:计算题.
10 2 10

分析:通过对 x 赋值 1 得各项系数和,通过对 x 赋值﹣1 得正负号交替的各项系数和,把所 得的两个式子相加,得到下标是奇数的项的系数和的 2 倍,得到结果. 解答: 解:令展开式的 x=1 得 2 =a +a +a +…+a 令 x=﹣1 得 0=a ﹣a +a ﹣a …+a11 10 9 两式相加 2 =2(a1+a3+a5…+a ) 9 ∴a1+a3+a5+a7+a9=2 =512 故选 B. 点评:本题考查求展开式的有关系数和问题的重要方法是赋值法, 本题解题的关键是看出给 变量赋值以后,两个式子相加,得到要求的结果的 2 倍. 9.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) .若 ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ξ 在 (0,2)内取值的概率为( ) A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 2 分析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,δ ) ,得到曲线关于 x=1 对称,根据曲线的对称性得 到(0,1)和(1,2)的概率是相等的,从而做出(0,2)内取值的概率,得到结果. 解答: 解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,δ ) , ∴曲线关于 x=1 对称, ∴P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=0.4, ∴P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=0.8, 故选:A. 点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义, 考查概率的性质, 是一个基础题. 10.已知 f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x) ,f3(x)=f2′(x) ,f4(x)=f3′(x) ,…,fn(x)=fn ,则 f2015(x)等于( ) ﹣1′(x) A. sinx B. ﹣sinx C. cosx D. ﹣cosx 考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:对函数连续求导研究其变化规律, 可以看到函数解析式呈周期性出现, 以此规律判断 求出 f2015(x) 解答: 解:由题意 f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=﹣sinx,f3(x)=f2′(x)=﹣cosx,f4 (x)=f3′(x)=sinx,f5(x)=f4′(x)=cosx,… 由此可知,在逐次求导的过程中,所得的函数呈周期性变化,从 0 开始计,周期是 4, ∵2015=4×503+3, 故 f2015(x)=f3(x)=﹣cosx 故选:D 点评:本题考查导数的运算,求解本题的关键是掌握正、余弦函数的求导公式,以及在求导 过程中找出解析式变化的规律, 归纳总结是解题过程中发现规律的好方式. 本题考查了归纳 推理. 11.函数 y=x ﹣3x ﹣9x(﹣2<x<2)有( A. 极大值 5,无极小值
3 2 2 2 10 1 2 3 9 1 2 3 4

) B. 极小值﹣27,无极大值

C. 极大值 5,极小值﹣27

D. 极大值 5,极小值﹣11

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:求出 y 的导函数得到 x=﹣1,x=3(因为﹣2<x<2,舍去) ,讨论当﹣2<x<﹣1 时, y′>0;当﹣1<x<2 时,y′<0,得到函数极值即可. 解答: 解:y′=3x ﹣6x﹣9=0,得 x=﹣1,x=3, 由于﹣2<x<2, 则当﹣2<x<﹣1 时,y′>0;当﹣1<x<2 时,y′<0, 当 x=﹣1 时,y 极大值=5;x 取不到 3,无极小值. 故选:A 点评:本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,属于基础题 12.数学归纳法证明(n+1)?(n+2)?…?(n+n)=2 ×1×3×…×(2n﹣1) (n∈N )成立时, 从 n=k 到 n=k+1 左边需增加的乘积因式是( ) A. 2(2k+1) B. C. 2k+1 D.
n * 2

考点:数学归纳法. 专题:计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析:分别求出 n=k 时左边的式子,n=k+1 时左边的式子,用 n=k+1 时左边的式子,比较 两个表达式,即得所求. 解答: 解:当 n=k 时,左边=(k+1) (k+2)…(k+k) , 当 n=k+1 时,左边=(k+2) (k+3)…(k+k) (2k+1) (2k+2) , 故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是 =2(2k+1) ,

故选 A. 点评:本题考查用数学归纳法证明等式,用 n=k+1 时,左边的式子除以 n=k 时,左边的式 子,即得所求. 13.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概 率为( )

A.

B.

C.

D.

考点:定积分在求面积中的应用;几何概型. 专题:计算题. 分析:根据题意,易得正方形 OABC 的面积,观察图形可得,阴影部分由函数 y=x 与 y= 围成,由定积分公式,计算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答案.

解答: 解:根据题意,正方形 OABC 的面积为 1×1=1, 而阴影部分由函数 y=x 与 y= 围成,其面积为∫0 (
1

﹣x)dx=(



)|0 = ,

1

则正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为 = ; 故选 C. 点评:本题考查几何概型的计算, 涉及定积分在求面积中的应用, 关键是正确计算出阴影部 分的面积. 14.设离散型随机变量 X 的概率分布如表:则随机变量 X 的数学期望为( X 0 1 2 3 Pi p )

A.

B.

C.

D.

考点:离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析:先求出 p 的值,再根据数学期望公式代入计算即可. 解答: 解:∵P=1﹣( + + )= , ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = , 故选:C. 点评:本题考查了数学期望的求法,关键是掌握公式,属于基础题. 15.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 ( ) A. ?x∈R,f(x)≤f(x0) B. ﹣x0 是 f(﹣x)的极小值点 C. ﹣x0 是﹣f(x)的极小值点 D. ﹣x0 是﹣f(﹣x)的极小值点 考点:函数在某点取得极值的条件;函数的图象与图象变化. 专题:压轴题;函数的性质及应用. 分析: A 项,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,不一定是最大值点,故不正确; B 项,f(﹣x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称,因此,﹣x0 是 f(﹣x)的极大值点; C 项,﹣f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称,因此,x0 是﹣f(x)的极小值点; D 项,﹣f(﹣x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称,因此﹣x0 是﹣f(﹣x)的 极小值点. 解答: 解:对于 A 项,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,不一定是最大值点,因此不能 满足在整个定义域上值最大,故 A 错误;

对于 B 项,f(﹣x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称,因此,﹣x0 是 f(﹣x)的极大值点, 故 B 错误; 对于 C 项,﹣f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称,因此,x0 是﹣f(x)的极小值点,故 C 错误; 对于 D 项,﹣f(﹣x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称,因此﹣x0 是﹣f(﹣x) 的极小值点,故 D 正确. 故选:D. 点评:本题考查函数的极值,考查函数图象的对称性,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题. 16.已知 f(x)=3sinx﹣πx,对任意的 x∈(0, ①f′(x)>0; ②f′(x)<0; ③f(x)>0; ④f(x)<0. 其中正确的是( A. ①③

) ,给出以下四个结论:

) B. ①④ C. ②③ D. ②④

考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据导数的意义分别分析四个选项解答. 解答: 解:由已知 f'(x)=(3sinx﹣πx)'=3cosx﹣π,因为 x∈(0, 1) ,所以 f'(x)<0,所以 f(x)在 x∈(0, ) ,所以 cosx∈(0,

) ,是减函数,所以 f(x)<f(0)=0;

故②④正确; 故选 D. 点评:本题考查了利用导数判断函数的单调性;首先正确求导,然后判断导数的符号. 17.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A,B 可以不相邻) , 那么不同的排法共有( ) A. 24 种 B. 60 种 C. 90 种 D. 120 种 考点:排列、组合的实际应用. 专题:转化思想. 分析:根据题意,首先计算五人并排站成一排的情况数目,进而分析可得,B 站在 A 的左 边与 B 站在 A 的右边是等可能的,使用倍分法,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,使用倍分法, 5 五人并排站成一排,有 A5 种情况, 而其中 B 站在 A 的左边与 B 站在 A 的右边是等可能的, 则其情况数目是相等的, 则 B 站在 A 的右边的情况数目为 ×A5 =60,
5

故选 B. 点评:本题考查排列、组合的应用,注意使用倍分法时,注意必须保证其各种情况是等可能 的. 18.已知函数 f(x)=﹣x +ax ﹣x﹣1 在(﹣∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围 是( ) A. [﹣ , ] B. (﹣ , ) C. (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) D. (﹣∞,﹣ )∩( ,+∞) 考点:利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 专题:导数的综合应用. 分析:求函数的导数,因为函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调函数,所以在(﹣∞,+∞) 上 f′(x)≤0 恒成立,再利用一元二次不等式的解得到 a 的取值范围即可. 3 2 2 解答: 解:函数 f(x)=﹣x +ax ﹣x﹣1 的导数为 f′(x)=﹣3x +2ax﹣1, ∵函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调函数, ∴在(﹣∞,+∞)上 f′(x)≤0 恒成立, 即﹣3x +2ax﹣1≤0 恒成立, 2 ∴△=4a ﹣12≤0, 解得﹣ ≤a≤ ∴实数 a 的取值范围是 故选:A 点评:本题主要考查函数的导数与单调区间的关系, 以及恒成立问题的解法, 利用导数是解 决本题的关键. 19.现有 5 种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两块 区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是( )
2 3 2

A. 120

B. 140

C. 240

D. 260

考点:计数原理的应用;排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题. 分析:可分步研究涂色的种数,从 A 处开始,再涂 B 处,C 处时进行分类,分 A,C 相同, 与不同两类,由计数原理计算出不同的着色结果数选出正确选项 解答: 解:由题意,先涂 A 处,有 5 种涂法,再涂 B 处 4 种涂法,第三步涂 C,若 C 与 A 同,则 D 有四种涂法,若 C 与 A 不同,则 D 有三种涂法,由此得不同的着色方案有 5×4× (1×4+3×3)=260 种 故选 D 点评:本题考查计数原理的应用,解题的关键是理解“公共边的两块区域不能使用同一种颜 色,”根据情况对 C 处涂色进行分类,这是正确计数,不重不漏的保证.

20.设函数 f(x)=e (2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<l,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0, 则 a 的取值范围是( ) A. [ ) B. [ ) C. [ ) D. [ )

x

考点:利用导数研究函数的极值;函数的零点. 专题:创新题型;导数的综合应用. 分析:设 g(x)=e (2x﹣1) ,y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直 线 y=ax﹣a 的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g(0)=﹣1 且 g(﹣1)= ﹣3e ≥﹣a﹣a,解关于 a 的不等式组可得. x 解答: 解:设 g(x)=e (2x﹣1) ,y=ax﹣a, 由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直线 y=ax﹣a 的下方, x x x ∵g′(x)=e (2x﹣1)+2e =e (2x+1) , ∴当 x<﹣ 时,g′(x)<0,当 x,>﹣ 时,g′(x)>0,
﹣1

x

∴当 x=﹣ 时,g(x)取最小值﹣2



当 x=0 时,g(0)=﹣1,当 x=1 时,g(1)=e>0, 直线 y=ax﹣a 恒过定点(1,0)且斜率为 a, 故﹣a>g(0)=﹣1 且 g(﹣1)=﹣3e ≥﹣a﹣a,解得 故选:D
﹣1

≤a<1

点评:本题考查导数和极值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题. 二、填空(每题 4 分) 21.函数 f(x)= 的单调递增区间是 (0,e) .

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用.

分析:求出函数

的导数为 y′的解析式, 令 y′>0 求得 x 的范围, 即可得到函数

的单调递增区间.

解答: 解:由于函数

的导数为 y′=



令 y′>0 可得 lnx<1,解得 0<x<e, 故函数 的单调递增区间是 (0,e) ,

故答案为: (0,e) . 点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于基础题.

22.设

=a,则二项式

的展开式中的常数项为 24 .

考点:二项式系数的性质;定积分. 专题:计算题. 分析:求定积分求得 a 的值,求得二项式的展开式的通项公式,再在展开式的通项公式中, 令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得展开式中的常数项. 解答: 解:∵a= 故它的展开式的通项公式为 Tr+1= =(x ﹣x) ?x
4﹣r 2

=2,则二项式 ?x =24,
4﹣2r

=



?2 ?x =

r

﹣r



令 4﹣2r=0,可得 r=2,故展开式的常数项为

故答案为 24. 点评:本题主要考查求定积分,二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中 某项的系数,属于中档题. 23.某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 1560 条毕业留言. (用数字作答) 考点:排列、组合的实际应用. 专题:排列组合. 分析:通过题意,列出排列关系式,求解即可. 解答: 解:某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全 班共写了 =40×39=1560 条.

故答案为:1560. 点评:本题考查排列数个数的应用,注意正确理解题意是解题的关键. 24.四个不同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 42 种(用数字作答) .

考点:排列、组合的实际应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据题意,分 2 步进行分析,①、先在编号为 1,2,3 的三个盒子中,取出 2 个盒 子,②、将 4 个小球放进取出的 2 个盒子中,且不能有空盒,用排除法分析即可;由分步 计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,分 2 步进行分析, ①、先在编号为 1,2,3 的三个盒子中,取出 2 个盒子,有 C3 =3 种取法, 4 ②、 将 4 个小球放进取出的 2 个盒子中, 每个小球有 2 种放法, 则 4 个小球一共有 2×2×2×2=2 种, 其中有 1 个空盒,即 4 个小球都放进其中 1 个盒子的情况有 2 种; 则将 4 个小球放进取出的 2 个盒子中,且不能有空盒,其放法数目为(2 ﹣2)=14 种, 故四个不同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法为 3×14=42 种; 故答案为:42. 点评:本题考查排列组合的应用,解题时注意盒子与小球都是不同的,其次注意第②步时 利用排除法分析较为简便. 25.已知函数 f(x)=x +2x ﹣ax+1 在区间(﹣1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值 范围是 ﹣1≤a<7 . 考点:函数在某点取得极值的条件. 专题:计算题. 3 2 分析:首先利用函数的导数与极值的关系求出 a 的值,由于函数 f(x)=x +2x ﹣ax+1 在区 间(﹣1,1)上恰有一个极值点,所以 f′(﹣1)f′(1)<0,进而验证 a=﹣1 与 a=7 时是否 符合题意,即可求答案. 2 解答: 解:由题意,f′(x)=3x +4x﹣a, 3 2 当 f′(﹣1)f′(1)<0 时,函数 f(x)=x +2x ﹣ax+1 在区间(﹣1,1)上恰有一个极值点, 解得﹣1<a<7, 当 a=﹣1 时,f′(x)=3x +4x+1=0,在(﹣1,1)上恰有一根 x=﹣ , 当 a=7 时,f′(x)=3x +4x﹣7=0 在(﹣1,1)上无实根, 则 a 的取值范围是﹣1≤a<7, 故答案为﹣1≤a<7. 点评:考查利用导数研究函数的极值问题,体现了数形结合和转化的思想方法. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 26.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p,且乙投球 2 次均未命中的概率为 .
2 2 3 2 4 2

(Ⅰ)求乙投球的命中率 p; (Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率.

考点:相互独立事件的概率乘法公式. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)由于乙投球 2 次均未命中的概率为(1﹣p) =
2

,求得 p 的值,即为所求.

(Ⅱ) 先利用相互独立事件的概率乘法公式求出甲投球 2 次都没有命中的概率, 再用 1 减去 此概率,即为所求. 解答: 解: (Ⅰ)由于乙投球 2 次均未命中的概率为(1﹣p) = 的命中率 p 为 . (Ⅱ)甲投球 2 次,这 2 次都没有命中的概率为 1 次的概率为 1﹣ = . 点评:本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式, 所求的事件的概率与它的对立事件的概 率之间的关系,属于基础题. 27.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=0 处的切线为 l:4x+y﹣5=0,若 x=﹣2 时,y=f(x)有极值. (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:(1)先求出函数的导数,得到关于 a,b,c 的不等式组,解出即可; (2)先求出函 数的表达式,求出函数 f(x)的导数,从而求出函数的单调区间,函数的最值. 3 2 解答: 解: (1)由 f(x)=x +ax +bx+c, 2 得:f′(x)=3x +2ax+b, 当 x=0 时,切线 l 的斜率为﹣4,可得 b=﹣4①, 当 x=﹣2 时,y=f(x)有极值,得 f′(﹣2)=0, ∴12﹣4a+b=0②, 由①②得:a=2,b=﹣4, 由于切点的横坐标为 x=0, ∴f(0)=5,∴c=5, ∴a=2,b=﹣4,c=5. (2)由(1)得 f(x)=x +2x ﹣4x+5, 2 ∴f′(x)=3x +4x﹣4, 令 f′(x)=0,解得:x=﹣2 或 x= , 当 x 变化时,y′,y 的值及变化如下表: x ﹣3 1 y′ + 0 ﹣ 0 + (﹣3,﹣2) ﹣2 (﹣2, ) ( ,1)
3 2 3 2 2

,求得 p= ,即乙投球

= ,故甲投球 2 次,至少命中

y

8

递增

13

递减 .

递增

4

∴y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值为 13,最小值为

点评:本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,是一道中档题. 28.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械工程 学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示: 学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 4 6 4 6 (Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学 院的概率; (Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 ξ,求随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量及其分布列; 列举法计算基本事件数及事件发生的概率; 离散型随机 变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 同一学院的方法数为 ,由此利用等可能事件概率计算公式 能求出这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率. (Ⅱ)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 ξ 的概率分 布列和数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 选出 3 人中任意两个均不属于同一学院的方法数为: , ,选出 3 人中任意两个均不属于

所以 (Ⅱ)ξ 可能的取值为 0,1,2,3, ,

所以 ξ 的分布列为 0

1

2

3

P 所以 点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要注意排列组合知识的合理运用. 29.已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)+ (Ⅲ)若 g(x)=﹣ 立,求 a 的取值范围. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出切点(1,1) ,求出 ,然后求解斜率 k,即可求解曲线 ,求函数 h(x)的单调区间;

,在[1,e](e=2.71828…)上存在一点 x0,使得 f(x0)≤g(x0)成

f(x)在点(1,1)处的切线方程. (Ⅱ)求出函数的定义域,函数的导函数,①a>﹣1 时,②a≤﹣1 时,分别求解函数的单 调区间即可. (Ⅲ)转化已知条件为函数 在[1,e]上的最小值[h(x)]min≤0,利

用第(Ⅱ)问的结果,通过①a≥e﹣1 时,②a≤0 时,③0<a<e﹣1 时,分别求解函数的最 小值,推出所求 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx,f(1)=1,切点(1,1) , ∴ ,∴k=f′(1)=1﹣2=﹣1,

∴曲线 f(x)在点(1,1)处的切线方程为:y﹣1=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣2=0. (Ⅱ) ,定义域为(0,+∞) ,

, ①当 a+1>0,即 a>﹣1 时,令 h′(x)>0, ∵x>0,∴x>1+a 令 h′(x)<0,∵x>0,∴0<x<1+a. ②当 a+1≤0,即 a≤﹣1 时,h′(x)>0 恒成立, 综上:当 a>﹣1 时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增. 当 a≤﹣1 时,h(x)在(0,+∞)上单调递增.

(Ⅲ)由题意可知,在[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)≤g(x0)成立, 即在[1,e]上存在一点 x0,使得 h(x0)≤0, 即函数 在[1,e]上的最小值[h(x)]min≤0.

由第(Ⅱ)问,①当 a+1≥e,即 a≥e﹣1 时,h(x)在[1,e]上单调递减, ∴ ,∴ ,



,∴



②当 a+1≤1,即 a≤0 时,h(x)在[1,e]上单调递增, ∴[h(x)]min=h(1)=1+1+a≤0, ∴a≤﹣2, ③当 1<a+1<e,即 0<a<e﹣1 时,∴[h(x)]min=h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)≤0, ∵0<ln(1+a)<1,∴0<aln(1+a)<a,∴h(1+a)>2 此时不存在 x0 使 h(x0)≤0 成立. 综上可得所求 a 的范围是: 或 a≤﹣2.

点评:本题考查函数的导数的综合应用, 曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应 用,考查分析问题解决问题得到能力.


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