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2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系_图文

立体几何

2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系

复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a

平行直线
b
平行直线 (无公共点)

o

a b

相交直线 (有一个公共点)

新课探究
探究一

观察下列图形,说说空间中两条 直线的位置关系

e

螺 母

a
f b

c d

立交桥

思考:存在不存在一个平面同时过 上面两条直线?

讲授新课
问题1:在平面几何中,两直线的位置 关系如何? c a d b 问题2:没有公共点的直线一定平行吗? 问题3:没有公共点的两直线一定在同 一平面内吗?

一、空间两条直线的位置关系
1.异面直线的定义:

不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做 异面直线。 1)异面直线既不平行也不相交
2)定义中“任何”是指两条直 线永远不具备确定平面的条件, 即是不可能找到一个平面同时 包含这两条直线; 不能认为分别在两个平面内的 两条直线叫异面直线。

a ? ?,b ? ?,
b
M

a

b

a

b

?

a

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

它们可能异面,可能相交,也可能平行。

也不能认为不在同一平面内的两条直线叫异面直线。

D1

C1

A1

B1
D

b
A

a

?

C
B

它们可能异面,可能相交,也可能平行。

3)异面直线的画法 b
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托. 如图:

?
a b

a
(1)

A

a

?

?

b
(2)

?

(3)

4)异面直线的判定方法:
①不同在任何一个平面内。 ②既不相交也不平行的直线。 ③连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面 内不经过此点的直线是异面直线。

已知:如图

A ?? , B ?? , a ? ? , B ? a

求证:直线AB和a是异面直线。

证明:(反证法)

A a B

又Q B ? a, ? ? a与B确定一平面?(公理2的推论1)
?B ? ?, a ? ?
所以直线AB和a是异面直线。

假设直线AB和a不是异面直线。 则直线AB和a一定共面,设为 ?

?? 与? 重合, ? A ? ?, 这与已知A?α矛盾,

2 、空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线

有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点

相交直线 平行直线 异面直线

练习1、 如图所示:正方体的棱所在的直线 中,与直线A1B异面的有哪些? D1 A1 B1

C1

D A B

C

练习1、 如图所示:正方体的棱所在的直线 中,与直线A1B异面的有哪些? D1 A1 D B1 C B C1

答案: D1C1、C1C、CD、

D1D、AD、B1C1

A

练习2:如图在正方体中,与 BD1异面的棱有
D1 A1 B1 C1

D A B

C

AA 1 , AD, A 1B 1, B 1C1 , C1C, CD

练习3
下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EC ② BD ③BH

H E D A B F

G

和BH是 和FH是 和DC是

相交 平行 异面

直线 直线 直线

C

(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 :CG、HD、GF、HE

课后思考:

这个长方体的棱中共有多少对异面直线?

巩固: 1. 画两个相交平面,在这两个平面内各画 一条直线,使它们成为: ⑴平行直线;⑵相交直线;⑶异面直线.

巩固: 1. 画两个相交平面,在这两个平面内各画 一条直线,使它们成为: ⑴平行直线;⑵相交直线;⑶异面直线.

?
b
a ⑴

?

巩固: 1. 画两个相交平面,在这两个平面内各画 一条直线,使它们成为: ⑴平行直线;⑵相交直线;⑶异面直线.

?
b
a ⑴

?
?
b
a ⑵

?

巩固: 1. 画两个相交平面,在这两个平面内各画 一条直线,使它们成为: ⑴平行直线;⑵相交直线;⑶异面直线.

?
b
a ⑴ ⑶

?
?
b

?
b
a

a ⑵

?

?

巩固: 2. 两条异面直线指:

(

)

A. 空间中不相交的两条直线; B. 不在同一平面内的两条直线; C. 不同在任一平面内的两条直线; D. 分别在两个不同平面内的两条直线; E. 空间没有公共点的两条直线; F. 既不相交,又不平行的两条直线.

填空: 平行 、 ________ 相交 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________ 、 异面 三种。 ________ 平行 直线,也有可能是 2、没有公共点的两条直线可能是________ 异面 直线。 ________ 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________ 。

练习提升
1、 “a,b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且a不平行于b; ② a ?平面? ,b ? 平面? 且a∩b=Φ ③ a ? 平面 ? , b ?? 平面 ④ 不存在平面? ,能使a ? ?且b ?? 成立 上述结论中,正确的是 ( C) (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④ 2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面 直线有 (C ) (A)2对 (B)3对 (C)6对 (D)12对

3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交,则 直线a,b的位置关系是(D) (A)一定是异面直线(B)一定是相交直线 (C)可能是平行直线 (D)可能是异面直线,也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
(A)平行(B)相交(C)异面(D)相交或异面

探究:
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB,

CD , EE , GH这四条线段所在直线是异面直线的有
答:共有三对 C G D H E F B A H G(C) E

对?

A

D F(B)

我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系?

a

b

c

d

e

a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …

公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. ———平行线的传递性

二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性

公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相
则 a ∥c。
a

平行. 若a∥b,b∥c,

c

a α

b

c

公理4的作用:它是判断空间两条直线平行的依据

推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.

二.空间直线的平行关系:
例2.已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形, E,F,G,H分别是AB,BC, CD,DA的中点,连结EF, FG,GH,HE,求证:EFGH是一个平行四边形。
证明:连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理,FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
A

H
E

D G B F C

如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形?

在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行,那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结 论是否仍然成立呢?
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,

∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何? D1 A1 D A 那么这两个角相等或互补. C1 B1 C

答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180O

B

定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行,

二.空间直线的平行关系:
2.等角定理 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补。 问:这两个角什么时候相等,什么时候互补?

三.异面直线所成的角
复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. 问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD-EFGH中, 异面直线AB

O

H E F

G

与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?

D A
B

C

解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题

异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任
一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线

所成的角(或夹角).

异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角,我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b

o

o

思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?

b b′

a′ ″

?
O

思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?

解答: 如图

答: 这个角的大小与O点的位置无关.

设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4), 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)

b

b′

a″ a

?
∠2

a′
O
∠1

1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角(直角)叫做两异面直线所成的角

b
b1 a

a1
O

θ O

α

a

α

2、定义由等角定理解释:

为了简便,在求作异面直线所成的角 时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线 段的端点,线段的中点等)

3、特例: 如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两 条异面直线互相垂直。 O α 相交垂直(有垂足)
垂直 异面垂直(无垂足) α 因此,异面直线所成角的范围是(0, 2 ]
?

O

5、求异面直线所成的角的基本法则:

作平行线,构三角形
求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找):作(或找)平行线 二证:证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求:在一恰当的三角形中求出角

D1

C1
B1

(1)如图,观察长方体 ABCD-A1B1C1D1,有没有两条棱 所在 的直线是相互垂直的异面直线? A

A1

D B

C

(2)如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直, 另一条直线是否与这条直线垂直? (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

B?C?, AD, CC?, DD?, DC, D?C?

例3 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直? 解:(1)由异面直线的判 C' D' 定方法可知,与直线 BA? A' 成异面直线的有直线 B'


D A B

C

例3

如图,已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中。 (1)哪些棱所在直线与直线 BA' 是异面直线? ' ' CC BA (2)直线 和 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线 AA' 垂直? C' D' 解:(2)由 BB? // CC ? 可 ?B?BA? 等于异面直线BA? 知, A' B' 与 CC ? 的夹角,所以异面 直线 BA?与 CC ? 的夹角为 D C 450 。
B

(3) 直线 AB, BC , CD, DA, A?B?, A B?C ?, C ?D?, D?A? 与直线 AA?都垂直.

课堂练习1
如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求 (1)BE与CG所成的角? (2)FO与BD所成的角? 解: (1)如图: ∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角,
o o 又 ? BEF中∠EBF =45 , 所以BE与CG所成的角是45

(2)连接FH, ∵HD = EA,EA = FB ∴HD = FB
∥ ∥ ∥

H
E
O

G F

∴四边形BFHD为平行四边形,∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角

连接HA、AF, 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30o

D

C

A

B

课堂练习2
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答: (1)∵GF∥BC 2 E
2 3 D 2 3

3 , AD = 2 3 , AE = 2
G

H

F
C B

∴∠EGF(或其补角)为所求.
Rt△EFG中,求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o

A

∴∠FBG(或其补角)为所求,
Rt△BFG中,求得∠FBG = 60o

课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 等角定理:

那么这两个角相等或互补.
一作(找)二证三求

异面直线的求法:

作业:

名师一号