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(北师大版)高一数学必修1全套教案_图文

§3.4.1 对数及其运算(第一课时)
一.教学目标: 1.知识技能: ①理解对数的概念,了解对数与指数的关系; ②理解和掌握对数的性质; ③掌握对数式与指数式的关系 . 2. 过程与方法: 通过与指数式的比较,引出对数定义与性质 . 3.情感、态度、价值观 (1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力. (2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 . (3)在学习过程中培养学生探究的意识. (4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力. 二.重点与难点: (1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质 (2)难点:推导对数性质的 三.学法与教具: (1)学法:讲授法、讨论法、类比分析与发现 (2)教具:投影仪 四.教学过程: 1.对数的概念 一般地,若

a x ? N( a ? 0,且 a ? 1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作

x ? loga N

a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
举例:如: 42 ? 16, 则2 ? log4 16 ,读作 2 是以 4 为底,16 的对数.

4 2 ? 2 ,则

1

1 1 ? log 4 2 ,读作 是以 4 为底 2 的对数. 2 2

提问:你们还能找到那些对数的例子 2.对数式与指数式的互化 在对数的概念中,要注意: (1)底数的限制 a >0,且 a ≠1 (2) a ? N ? loga N ? x
x

指数式 ? 对数式 幂底数← a →对数底数 指 数← x →对数 幂 ←N→真数 说明:对数式 log a N 可看作一记号,表示底为 a ( a >0,且 a ≠1) ,幂为 N 的指数工表示
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方程 a ? N ( a >0,且 a ≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为 a( a >0,且 a ≠
x

1)幂为 N,求幂指数的运算. 因此,对数式 log a N 又可看幂运算的逆运算。 3.思考交流 p79 归纳小结:对数的定义

ab ? N ? b ? loga N (a >0 且 a ≠1)
1 的对数是零,负数和零没有对数 对数的性质

l o ag ? a
a loga N ? N

1 a >0 且 a ≠1

通常将以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 常记为 lg N . 以无理数 e=2.71828?为底的对数称为自然对数, loge N 常记为 ln N . 例题分析 例 1 将下列指数式写成对数式: (1) 54 =625; (2) 3-3=1/27; (3)84/3=16; (4) 5a =15. 例 2 将下列对数式写成指数式: (1) ㏒ 1/216=-4;(2) ㏒ 3243=5; (3) ㏒ 1/31/27=3;(4) lg0.1=-1. 例 3 求下列各式的值: (1)㏒ 525(2) ㏒ 1/232(3)3 ㏒ 310; (4)㏑ 1,(5) ㏒ 2.52.5. 练习 p80 1,2,3 作业习题 3-4 1,2 课后反思:

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§3.4.1 对数及其运算(第二课时)
一.教学目标: 1.知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算, 求值、化简,并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 二.教学重点、难点 重点:对数运算的性质与对数知识的应用 难点:正确使用对数的运算性质 三.学法和教学用具 学法:学生自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具:投影仪 四.教学过程: 1.设置情境 复习:对数的定义及对数恒等式

loga N ? b ? ab ? N
指数的运算性质.

( a >0,且 a ≠1,N>0) ,

a m ? a n ? a m? n ;
(a ) ? a ;
m n mn
m

a m ? a n ? a m? n
a ?a
n n m

2.讲授新课 探究:在上课中,我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关 系以及指数运算性质, 得出相应的对数运算性质吗?如我们知道 a ? a ? a
m n m? n

, m ? n如 那

何表示,能用对数式运算吗? 如: a ? a ? a
m n m? n

于是 , 设M ? am , N ? an。 MN ? am?n , 由对数的定义得到

M ? am ? m ? loga M , N ? an ? n ? loga N MN ? am?n ? m ? n ? loga MN
?loga M ? loga N ? loga MN (放出投影)
即:同底对数相加,底数不变,真数相乘

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提问:你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗? (让学生探究,讨论) 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N (2) log a

M ? log a M ? log a N N

(3) loga M n ? n loga M 证明: (1)令 M ? a m , N ? a n

(n ? R)

M ? a m ? a n ? a m?n N M ?m ? n ? l o g a N
则: 又由 M ? a m ,

N ? an

?m ? loga M , n ? loga N
即: log a M ? log a N ? m ? n ? log a

M N
N

(3) n ? 0时, 令N ? log a M n , 则M ? a n

b ? nl o g M 则 M , ? a
?a n ? an
N b

b n

a

?N ? b M ? log a M ? log a N 即 log a N
当 n =0 时,显然成立.

?l o g M n ? n l o g a a M
提问:1. 在上面的式子中,为什么要规定 a >0,且 a ≠1,M>0,N>0? 2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗? 例题分析 例4 计算: 2 5 (1)㏒ 3(9 ×3 ) (2)lg1001/5 ; 例 5 用㏒ ax, ㏒ ay ㏒ az 表示下列各式: (1)㏒ a(x2yz) (2)㏒ a

x2 yz

(3)㏒

x . y z
2

例 6 科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程度,则

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里氏震级 r 可定义为 r=0.6lgI,试比较 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度。 思考交流 判断下列式子是否正确, a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ,则有 (1) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (3) log a (2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (4) loga xy ? loga x ? loga y (6) log a x ? ? log a

x ? log a x ? log a y y

(5) (loga x)n ? n loga x (7) n log a x ? 练习 P83 1,2,3 作业 习题 3-4A 组 5 课后反思:

1 x

1 log a x n

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§3.4.2 换底公式
一.教学目标: 1.知识与技能 ①通过实例推导换底公式,准确地运用对数运算性质进行运算, 求值、化简,并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的换底公式. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 二.教学重点、难点 重点:对数运算的性质与换底公式的应用 难点:灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。 三.学法和教学用具 学法:学生自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具:投影仪 四.教学过程 问题提出 我们使用的计算器中, log ”通常是常用对数,如何使用科学计算器计算㏒ 215? “ 分析理解 设㏒ 215=x, 写成指数式得 2x=15 两边取常用对数得 Xlg2=lg15 所以 x=

lg 15 lg 2 lg 15 ≈3.9068906. lg 2
ln 15 ≈3.9068906. ln 2

这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒ 215=

同理也可以使用科学计算器计算 ln 键算出㏒ 215= 由此我们有理由猜想 ㏒ b N=

loga N loga b

( a,b>0,a,b≠1,N>0).

先让学生自己探究讨论,教师巡视,最后投影出证明过程.

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证明设㏒ b N=x,根据对数定义,有 x N=b 两边取以 a 为底的对数,得 x ㏒ aN=㏒ ab 故 x ㏒ ab =㏒ aN, 由于 b≠1 则㏒ ab≠0,解得 x=

loga N loga b loga N loga b
1 logb a

故㏒ b N=

由换底公式易知㏒ ab= 例题分析 例 7 计算: (1)㏒ 927;

(2)㏒ 89 ㏒ 2732

注:由例 7 可以猜想并证明

log a nb m ?

m log a b n

例 8 用科学计算器计算下列对数(精确到 0.001) : ㏒ 248 ㏒ 310 ㏒ 8∏ ㏒ 550 ㏒ 1.0822 例9 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量是原来的 84℅,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留 1 个有效数字) 。 练习 p86 1,2,3,4。 作业习题 3-4A 组 6 B 组 4 课后反思:

-7-

§3.5.2

y=㏒ 2x 的图象和性质

教学目标: (1)y=㏒ 2x 的图象和性质 (2)图象的变换 (3)培养学生抽象概括能力,提高学生对数形结合思想认识 教学重点:y=㏒ 2x 的图象和性质 教学难点:图象的变换 教学方法:引导归纳法(利用几何画板演示 y=㏒ 2x 的图象,引导学生归纳出图象的特点, 从而从感性认识上升到理性认识,为下一节对数函数的图象和性质的归纳整理打下坚实基 础) 教学过程: (一) 复习 (1)对数函数(概念及定义式) ; (2)常用对数函数(概念及定义式) ; (3)自然对数函数(概念及定义式) ; (4)反函数(概念) ; (5)指数函数与对数函数互为反函数。 (二)新课分析 下面研究对数函数 y=㏒ 2x 的图象和性质 。 可以用两种不同方法画出 y=㏒ 2x 的图象。 方法一 描点法。 先列出 x, y 的对应值表(见表 3-9) 。 表 3-9 x y=㏒ 2x … … 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 … …

再用描点法画出图象(图 3-11) 方法二 画出函数画出函数 x=㏒ 2y(即 y=2x ) (图 3-12) 。 通常,用 x 表示自变量,把 x 轴 y 轴的字母互换,就得到 y=㏒ 2x 图象(图 3-13) 。 习惯上,x 轴在水平位置,y 轴在竖直位置,把图翻转,使 x 轴在水平位置,得到通 常的 y=㏒ 2x 的图象(图 3-14) 。 观察对数函数 y=㏒ 2x 的图象,过(1,0) ,即 x=1 时 y=0;函数图象都在 y 轴右边,表示 了零和负数没有对数; x>1 时, 当 y=㏒ 2x 图象位于 x 轴上方, x>1 时,y>0; 0<x<1 时,y= 即 当 ㏒ 2x 的图象位于 x 轴下方,即 0<x<1 时,y<0; 函数 y=㏒ 2x 在(0,+∞)上是增函数。 练习 P93 1,2,3,4 作业 P97 习题 3-5 A 组 2 课后反思:

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§3.5.3 对数函数的图像与性质
【教学目标】 : 知识与技能:理解对数函数的概念,掌握它们的基本性质,进一步领会研究函数的基本方法 过程与方法: 复习与实例引入、利用互为反函数的关系研究图像与性质 情感态度与价值观:体会对数函数的应用价值,体验数学建模、求解和解释的过程 【教学重点与难点】 重点: 对数函数的概念;对数函数的性质;研究函数的方法 难点:对数函数的性质 【教学过程】 : 一. 复习:反函数的概念;通过实例和反函数的概念导出对数函数的概念 通过关于细胞分裂的具体实例,直接了解对数函数模型所刻画的数量关系,使学生科学 的发展源于实际生活,感受到指数函数与对数函数的密切关系:它们是从不同角度、不 同需求看待同一个客观事实,前者根据细胞分裂次数,获得分裂后的细胞数;后者根据 分裂后的细胞数,获得分裂的次数.前者用指数函数 y ? 2x 表示,后者用对数函数

y ? log2 x .
(1)引入:在我们学习研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂 时,得到的细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数,这个函数可用指数函数 y ? 2x 表 示. 现在来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,可以得到 1 万个、10 万个、??细胞,那么分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数.根据对数的定 义,这个函数可以写成对数的形式,就是 x ? log 2 y . 如果用 x 表示自变量, y 表示函数,这个函数就是 y ? log 2 x 由反函数的概念,可知函数 y ? log 2 x 与指数函数 y ? 2 互为反函数.
x x (1) 定义:一般地,函数 y ? log a x ( a ? 0, 且 a ? 1 )就是指数函数 y ? a

( a ? 0, 且 a ? 1 )的反函数.因为 y ? a x 的值域是 ? 0,??? ,所以,函数

y ? loga x 的定义域是 ? 0,??? .

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二. 通过对数函数和指数函数的关系利用互为反函数的两函数的关系探求对数函数的 图像和性质 提问绘制图像的方法: (1)利用反函数的关系; (2)描点绘图 图像 Y





性质 对数函数 y ? log a x ? a ? 1? 性质 1.对数函数 y ? log a x 的图像都在Y轴的右方. 性质 2.对数函数 y ? log a x 的图像都经过点(1,0) 性质 3.当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 . 性质 4.对数函数在 ? 0,??? 上是增函数. 当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 . 对数函数在 ? 0,??? 上是减函数.

? 0 ? a ? 1?

三. 掌握对数函数的图像和性质———巩固与应用对数函数的性质解决简单问题

例1. 求下列函数的定义域: (2) (3) ?1? y ? loga x2 ; y ? loga (4 ? x2 ) ; y ? log a 4 ? x . 解(1)因为 x ? 0 ,即 x ? 0 ,所以函数 y ? loga x2 的定义域是 ? ??,0? ? ? 0, ??? .
2

x

(2) 因为 4 ? x ? 0 , x ? 4 ? 0 , 即 所以函数 y ? loga (4 ? x2 ) 的定义域是 ? ?2, 2 ? .
2 2

(3)因为

x x ? 0 ,即 x ? x ? 4? ? 0 ,所以函数 y ? log a 的定义域是 ? 0, 4 ? . 4? x 4? x

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例 2.利用对数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小: ( 1) log3 5 和 log3 7 ; (2) log 0.5 3 和 log0.5 ? ; ( 3) log a

1 1 和 log a , 其中 2 3

a ? 0, a ? 1
解(1)因为对数函数 y ? log3 x 在 ? 0,??? 上是增函数,又 5 ? 7 ,所以 log3 5 < log3 7 . (2)因为对数函数 y ? log0.5 x 在 ? 0,??? 上是减函数,又 3< ? ,所以 log 0.5 3 > log0.5 ? . (3)①当 a ? 1 时, 因为对 数函 数 y ? log a x 在 ? 0,??? 上 是增函 数,又

1 1 ? , 所以 2 3

log a

1 1 > log a . 2 3 1 1 ? ,所以 2 3

② 当 0 ? a ? 1 时 , 因 为 对 数 函 数 y ? log a x 在 ? 0,??? 上 是 减 函 数 , 又

lo ga

1 1 < log a . 2 3

例 3.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数 t ? ?144lg ?1 ?

? ?

N? ? 中, t 90 ?

表示达到某一英文打字水平 (字/ 分) 所需的学习时间 (时) N 表示每分钟打出的字数 , (字 / 分). (1) 计算要达到 20 字/ 分、40 字/ 分所需的学习时间; (精确到“时” ) (2) 利用(1)的结果,结合对数性质的分析,作出函数的大致图像 解(1)用计算器计算,得 N =20 时, t =16; N =40 时, t =37. 所以,要达到这两个水平分别需要时间 16 小时和 37 小时. (2)由 1 ?

N N >0,得 N <90.当 N 增大时, 1 ? 随 N 得增大而减小. 90 90

又 y ? lg x 为递增函数, lg ?1 ?

? ?

N? ? 随 N 得增大而减小. 90 ?

从而有 ?144 lg ?1 ?

? ?

N? N? ? ? 随 N 得增大而增大,所以 t ? ?144 lg ?1 ? ? 为递增函数. 90 ? ? 90 ?

由(1)知函数图像过点(20,16)(40,37). 、 另外,当 N =0 时 t =0,所以函数图像过点(0,0). O 根据上述这些点得坐标描点作图 N 四.练习:教科书 P20 页 1.2.3.4.5.6 作业:练习册 P5 页 1————4; 《一课一练》 五.小结:对数函数的概念、图像、性质 教学反思:

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对数与对数函数同步练习
一、选择题: 1、已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是(
a

) D、 3a ? a ) D、4 或 1
2

A、 a ? 2

B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)2

2、 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则 A、

M 的值为( N

1 4

B、4

C、1

x ,log 3、已知 x2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0 ,且 log a(1 ? ) ? m
A、 m ? n B、 m ? n C、

a

1 ? m ? n? 2

1 ?, n log a y 等于( 则 1? x 1 D、 ? m ? n ? 2



4、如果方程 lg2 x ? (lg5 ? lg 7)lg x ? lg5? 7 ? 0 的两根是 ? , ? ,则 ? ?? 的值是( lg



lg A、 lg 5? 7

B、 lg 35
? 1 2

C、35 等于( )

D、

1 35

5、已知 log7 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x A、

1 3

B、

1 2 3

C、

1 2 2


D、

1 3 3

6、函数 y ? lg ? A、 x 轴对称

? 2 ? ? 1? 的图像关于( ? 1? x ?
B、 y 轴对称

C、原点对称 )

D、直线 y ? x 对称

7、函数 y ? log(2 x ?1) 3x ? 2 的定义域是( A、 ?

?2 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?3 ?

B、 ?

?1 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?2 ?

C、 ?

?2 ? , ?? ? ?3 ?
2 2

D、 ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?
) D、 ?3, ?? ? ) D、 0 ? m ? n ? 1

8、函数 y ? log 1 ( x ? 6 x ? 17) 的值域是( A、 R B、 ?8, ?? ?

C、 ? ??, ?3?

9、若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( A、 m ? n ? 1 B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1

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10、 log a A、 ? 0,

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3
B、 ?



? ?

2? ? ? ?1, ?? ? 3?

?2 ? , ?? ? ?3 ?

C、 ?

?2 ? ,1? ?3 ?


D、 ? 0, ? ? ?

? ?

2? ?2 ? , ?? ? 3? ?3 ?

11、下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是( A、 y ? log 1 ( x ? 1)
2

B、 y ? log 2 D、 y ? log

x2 ?1

C、 y ? log 2

1 x

1 2

( x2 ? 4x ? 5)
x ?1

12 、 已 知 g ( x) ? log x+1 a( 且 a ? ? 0 a ( ) A、在 ? ??,0? 上是增加的 C、在 ? ??, ?1? 上是增加的

在 ? ?1 0? 上 有 g ( x ) ? 0 , 则 f ( x) ? a 1) ,



B、在 ? ??,0? 上是减少的 D、在 ? ??,0? 上是减少的 。

二、填空题: 13、若 log a 2 ? m,log a 3 ? n, a2m?n ? 14、函数 y ? log( x-1) (3- x) 的定义域是 15、 lg 25 ? lg 2? lg50 ? (lg 2) ?
2

。 。 (奇、偶)函数。

16、函数 f ( x) ? lg 三、解答题:

?

x2 ? 1 ? x 是

?

10 x ? 10? x 17、已知函数 f ( x) ? x ,判断 f ( x ) 的奇偶性和单调性。 10 ? 10? x
18、已知函数 f ( x ? 3) ? lg
2

x2 , x2 ? 6

(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性。

19、已知函数 f ( x) ? log 3

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R ,值域为 ? 0, 2? ,求 m, n 的值。 x2 ? 1

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§6 三种函数增长比较
一、教学目标: 1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型 意义, 理解它们的增长差异性. 2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型 的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的 函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用. 3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指 数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 二、 教学重点、难点: 1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对 数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长 的含义. 2.教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题. 三、 学法与教学用具: 1. 学法:学生通过阅读教材,动手画图,自主学习、思考,并相互讨论,进行探索. 2.教学用具:多媒体. 四、教学设想: (一)引入实例,创设情景. 教师引导学生阅读例 1,分析其中的数量关系,思考应当选择怎样的函数模型来描述; 由学生自己根据数量关系,归纳概括出相应的函数模型,写出每个方案的函数解析式,教师 在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. (二)互动交流,探求新知. 1. 观察数据,体会模型. 教师引导学生观察例 1 表格中三种方案的数量变化情况, 体会三种函数的增长差异, 说 出自己的发现,并进行交流. 2. 作出图象,描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象, 分析三种方案的不同变化趋势, 并 进行描述,为方案选择提供依据. (三)实例运用,巩固提高. 1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素,使学生认识到要做出正确选择除了考虑每 天的收益,还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动,分析整理数据,并根据其中 的信息做出推理判断,获得累计收益并给出本例的完整解答,然后全班进行交流. 2. 教师引导学生分析例 2 中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响,使学生明 确问题的实质就是比较三个函数的增长情况, 进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应 用,体会它们的增长差异. 3.教师引导学生分析得出:要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出 5 万元,以及奖 励比例是否超过 25%进行分析,才能做出正确选择,学会对数据的特点与作用进行分析、 判断。 4.教师引导学生利用解析式,结合图象,对例 2 的三个模型的增长情况进行分析比较, 写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异,并掌握解答的规范要求. 5.教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析,探究幂函数 y ? x ( n >0) 、指数
n

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函数 y ? a n ( a >1) 、对数函数 y ? log a x ( a >1)在区间(0,+∞)上的增长差异,并 从函数的性质上进行研究、论证,同学之间进行交流总结,形成结论性报告. 教师对学生的 结论进行评析,借助信息技术手段进行验证演示. 6. 课堂练习 教材 P116 练习 1、2,并由学生演示,进行讲评。 (四)归纳总结,提升认识. 教师通过计算机作图进行总结,使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数 模型的含义及其差异,认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系,从而体会数学的实用 价值和内在变化规律. (五)布置作业 收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例,对它们 的增长速度进行比较,了解函数模型的广泛应用,并思考。有时同一个实际问题可以建立多 个函数模型,在具体应用函数模型时,应该怎样选用合理的函数模型.

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高中数学第三章测试题
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 A、 a ? a ? a n
m n m


m n

) D、 1 ? a ? a
n 0? n

a B、 a ? ? a
m n

m ?n

C、 a )

? ?

? a m?n

2、已知 f (10x ) ? x ,则 f (5) ? A、 10
5



B、 5

10

C、 lg10 ( )

D、 lg 5

3、对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是

① 若 M ? N 则 loga M ? loga N ; ② 若 loga M ? loga N 则 M ? N ; ③ 若

loga M 2 ? loga N 2 则 M ? N ;④若 M ? N 则 loga M 2 ? loga N 2 。
A、①②③④ B、①③ C、②④ D、② ( ) 4、设集合 S ? { y | y ? 3x , x ? R}, T ? { y | y ? x2 ?1, x ? R} ,则 S ? T 是 A、 ? B、 T C、 S ( ) D、 ?3, ?? ?

D、有限集

5、函数 y ? 2 ? log2 x( x ≥1) 的值域为 A、 ? 2,??? 6、设 y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9

B、 ? ??,2?
0.48

C、 ?2,???
?1.5

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

,则



) D、 y1 ? y2 ? y3

A、 y3 ? y1 ? y2

B、 y2 ? y1 ? y3

C、 y1 ? y3 ? y2 ( ) C、 2 ? a ? 5 ) D、3 )
2

7、在 b ? log( a?2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是 A、 a ? 5或a ? 2
2

B、 2 ? a ? 3或3 ? a ? 5
2

D、 3 ? a ? 4

lg 8、计算 ? lg 2 ? ? ? lg 5 ? ? 2 lg 2? 5 等于 (
A、0 B、1 C、2

9、已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是( A、 5a ? 2 B、 a ? 2 C、 3a ? (1 ? a)

D、 3a ? a ? 1
2

10、若 10

2x

? 25 ,则 10? x 等于





- 16 -

A、

1 5

B、 ?

1 5

C、

1 50

D、

1 625

11、某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后的价格与原来价格 比较,变化的情况是( ) A、减少 7.84% B、增加 7.84% C、减少 9.5% D、不增不减 12、若函数 f (x) ?l g o
a

(0 x

?a 1 ? )
2 2

在区间 ? a, 2a? 上的最大值 是最小值的3 倍,则 a 的值为 (



A、

2 4

B、

C、

1 4

D、

1 2

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填写在答题纸上) 13、化简 log2 (1 ? 2 ? 3) ? log2 (1 ? 2 ? 3) ? 14、 log6 ?log4 (log3 81)? 的值为 。 。 。

15、某企业生产总值的月平均增长率为 p ,则年平均增长率为 16、若 log x

?

2 ? 1 ? ?1 ,则 x ?

?



三、解答题: (本题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、化简或求值: (14 分)

8 1 2 3 ? 3 ?1 ? a ? ; (2) lg 500 ? lg ? lg 64 ? 50 ? lg 2 ? lg 5 ? 5 2 1 18、由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔 5 年计算机的价格降低 , 3
(1)

?

a ?1 ?

?

2

?1 ? a ?

2

问现在价格为 8100 元的计算机经过 15 年后,价格应降为多少?(12 分) 19、已知 2 ? 2
x ?x

x ?x ? 5 ,求(1) 4 x ? 4? x ; (2) 8 ? 8 (14 分)

20、已知 f ( x) ? log 2

1? x (14 分) 1? x
(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围。 (16 分) x2 ? 1 ? x 的奇偶性、单调性。

(1)求 f ( x ) 的定义域; 21、判断函数 f ( x) ? lg

?

?

- 17 -

第四章

函数的应用

§4.1.1 方程的根与函数的零点
一、教学目标 1. 知识与技能 ①理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌 握零点存在的判定条件. ②培养学生的观察能力. ③培养学生的抽象概括能力. 2. 过程与方法 ①通过观察二次函数图象, 并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点, 找到连 续函数在某个区间上存在零点的判断方法. ②让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 二、教学重点、难点 重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定. 三、学法与教学用具 1. 学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括, 从而完成本节课的教学目标。 2. 教学用具:投影仪。 四、教学设想 (一)创设情景,揭示课题 1、提出问题:一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象: (用投影仪给出)
2 ①方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2x ? 3
2
2 2

2 ②方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1
2

2 ③方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系,
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引出零点的概念. 生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样? (二) 互动交流 研讨新知 函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的 零点. 函数零点的意义: 函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点 的横坐标. 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零 点. 函数零点的求法: 求函数 y ? f (x) 的零点: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系 起来,并利用函数的性质找出零点. 1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法. 生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法: ①代数法; ②几何法. 2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结 论. 二次函数的零点: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交
2

点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴
2

有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函
2

- 19 -

数无零点. 3.零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象: ① 在区间 [?2,1] 上有零点______;

f (?2) ? _______, f (1) ? _______,
f (?2) · f (1) _____0(<或>=) .
② 在区间 [2,4] 上有零点______;

f (2) · f (4) ____0(<或>=) .
(Ⅱ)观察下面函数 y ? f (x) 的图象

① 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点;

f (a ) · f (b) _____0(<或>=) .
② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点;

f (b) · f (c) _____0(<或>=) .
③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点;

f (c) · f (d ) _____0(<或>=) .
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点? 4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考. 师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点 是否存在之间的关系. 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评 析. 师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用. (三) 、巩固深化,发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题

- 20 -

例1. 求函数 f(x)=㏑ x+2x -6 的零点个数。 问题: (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? (2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性? 例 2.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图象. 师: 引导学生探索判断函数零点的方法, 指出可以借助计算机或计算器来画函数 的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后 利用函数单调性判断零点的个数. 2.P97 页练习第二题的(1)(2)小题 、 (四) 、归纳整理,整体认识 1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想又有哪些; 2. 在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。 (五) 、布置作业 P102 页练习第二题的(3)(4)小题。 、

- 21 -

§4.1.2 用二分法求方程的近似解
一、 教学目标 1. 知识与技能 (1) 解二分法求解方程的近似解的思想方法, 会用二分法求解具体方程的近似解; (2)体会程序化解决问题的思想,为算法的学习作准备。 2. 过程与方法 (1)让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想; (2)让学生归纳整理本节所学的知识。 3. 情感、态度与价值观 ①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在,使学生更加热爱 数学; ②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。 二、 教学重点、难点 重点:用二分法求解函数 f(x)的零点近似值的步骤。 难点:为何由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 三、 学法与教学用具 1. 想-想。 2. 教学用具:计算器。 四、教学设想 (一) 、创设情景,揭示课题 提出问题: (1)一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可以用来求解放程 ㏑ x+2x-6=0 的根;联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求她的根呢? (2)通过前面一节课的学习,函数 f(x)=㏑ x+2x-6 在区间内有零点;进一步的问题 是,如何找到这个零点呢? (二) 、研讨新知 一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量的缩小,那么在一定的精确度的 要求下,我们可以得到零点的近似值;为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点 所在的范围。 取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f(2.5)≈-0.084,因为 f(2.5)*f(3)<0,所 以零点在区间(2.5,3)内; 再取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f(2.75)≈0.512,因为 f(2.75)*f(2.5) <0,所以零点在(2.5,2.75)内; 由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)越来越小,所以零点所在范围确实越来越小了; , , 重复上述步骤,那么零点所在范围会越来越小,这样在有限次重复相同的步骤后,在一定的 精确度下, 将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值, 特别地可以将区间的 端点作为零点的近似值。例如,当精确度为 0.01 时,由于∣2.5390625-2.53125∣ =0.0078125<0.01,所以我们可以将 x=2.54 作为函数 f(x)=㏑ x+2x-6 零点的近似值,也 就是方程㏑ x+2x-6=0 近似值。 这种求零点近似值的方法叫做二分法。 1.师:引导学生仔细体会上边的这段文字,结合课本上的相关部分,感悟其中的思想 方法. 生:认真理解二分法的函数思想,并根据课本上二分法的一般步骤,探索其求法。

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2.为什么由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 先由学生思考几分钟,然后作如下说明: 设函数零点为 x0,则 a<x0<b,则: 0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0; 由于︱a - b ︳< ? ,所以 ︱x0 - a ︳<b-a< ? ,︱x0 - b ︳<∣ a-b∣< ? , 即 a 或 b 作为零点 x0 的近似值都达到了给定的精确度 ? 。 ㈢、巩固深化,发展思维 1. 学生在老师引导启发下完成下面的例题 x 例 2.借助计算器用二分法求方程 2 +3x=7 的近似解(精确到 0.01) 问题:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的? 师:引导学生在方程右边的常数移到左边,把左边的式子令为 f(x),则原方程的解就是 f(x)的零点。 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用二 分法求解. (四) 、归纳整理,整体认识 在师生的互动中,让学生了解或体会下列问题: (1) 本节我们学过哪些知识内容? (2) 你认为学习“二分法”有什么意义? (3) 在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方? (五) 、布置作业 A 组第四题,第五题。 4.2.1 实际问题的函数刻画 在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系, 许多联系可以用函数刻画。用函数的观点看实际 问题,是学习函数的重要内容。 问题 1 当人的生活环境温度改变时,人体代 谢率也有相应的变化,表 4-2 给出了实验的一组数 据,这些数据说明了什么? 环境温度/(oC) 4 10 44 20 40 30 40.5 38 54

代谢率/[4185J/(hm2)] 60

解 在这个实际问题中出现了两个变量:一个是环境温度;一个是人体的代谢率。不难看 出,对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应,这就决定了一个函数关系。实验 数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率, 为了使函数关系更直观, 我们将表中的 每一对实验值在直角坐标系中表示出来。在医学研究中,为了方便,常用折线把它们连接起 来。 (如图 4-5) 根据图象,可以看出下列性质: (1)代谢率曲线在小于 20oC 的范围是下降的, 在大约 30oC 的范围内是上升的; (2)环境温度在 20oC ~30oC 时,代谢率较底, 并且较稳定,即温度变化时,代谢率变化不大;

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(3)环境温度太底或太高时,它对代谢率有较大影] 响。 所以,临床上做“基础代谢率”测定时,室温要保持在 20oC ~30oC 之间,这样可以使环境温度影响最小。 在这个问题中,通过对实验数据的分析,可以确由 {4,10,20,30,38}到{60,44,40.5,54}的一个函数, 通过描点,并且用折线将它们连接起来,使人们得到了一 个新函数,定义域扩大到区间[4,38]。对于实际的环境温度与人体代谢关系来说,就是一 个近似函数关系,它的函 数图象,可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢关 系。 问题 2 某厂生产一种畅销的新型工艺品,为此更新 专用设备和制作模具花去 200000 元,生产每件工艺品的 直接成本为 300 元,每件工艺品售价为 500 元,产量 x 对 总成本 C,单位成本 P,销售收入 R 及利润 L 之间存在什么 样的函数关系?表示了什么实际含义? 解 总成本 C 与产量 x 的关系 C=200000+300x; 单位成本 P 与产量 x 的关系 P=300+200000 /x; 销售收入 R 与产量 x 的关系 R=500x ; 利润 L 与产的量 x 关系 L=R-C=200x-200000。 以上各式建立的是函数关系。 (1)从利润关系式可见,希望有 较大利润应增加产量。若 x<1000,则要 亏损;若 x=1000 ,则利润为零; 若 x>1000 ,则可赢利. (2)单位成本 P 与产量 x 的关系 P=300+200000 /x 可见,为了降低成本, 应增加产量,以形成规模效应

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§2.1 函数模型的应用实例(Ⅰ)
一、 教学目标: 1. 知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用一次函数、二 次函数模型解决实际问题. 2.过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会一次函数、二次函数 模型在数学和其他学科中的重要性. 3.情感、态度、价值观 体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题 的实用价值. 二、 教学重点与难点: 1.教学重点:运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 2. 教学难点:将实际问题转变为数学模型. 三、 学法与教学用具 1. 学法:学生自主阅读教材,采用尝试、讨论方式进行探究. 2. 教学用具:多媒体 四、 教学设想 (一)创设情景,揭示课题 引例:大约在一千五百年前, 大数学家孙子在 《孙子算经》中记载了这样的一道题: “今 有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”这四句的意思就是:有若干 只有几只鸡和兔?你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?你有什么更好的方 法?老师介绍孙子的大胆解法: 他假设砍去每只鸡和兔一半的脚, 则每只鸡和兔就变成了 “独 脚鸡”和“双脚兔”. 这样, “独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是 兔子数,即:47-35=12;鸡数就是:35-12=23. 比例激发学生学习兴趣,增强其求知欲望. 可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题. (二)结合实例,探求新知 例 1. 某列火车众北京西站开往石家庄,全程 277km,火车出发 10min 开出 13km 后, 以 120km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式,并求 火车离开北京 2h 内行驶的路程. 探索: 1)本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范围怎样; 2)所涉及的变量的关系如何? 3)写出本例的解答过程. 老师提示:路程 S 和自变量 t 的取值范围(即函数的定义域) ,注意 t 的实际意义. 学生独立思考,完成解答,并相互讨论、交流、评析. 例 2.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价 20 元,茶杯每只定价 5 元,该商店制定 了两种优惠办法: 1)本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述? 2)本例涉及到几个函数模型? 3)如何理解“更省钱?” ; 4)写出具体的解答过程. 在学生自主思考,相互讨论完成本例题解答之后,老师小结:通过以上两例,数学模型 是用数学语言模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来, 并用数学语言来表达,这一过程称为建模,是解应用题的关键。数学模型可采用各种形式,

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如方程(组) ,函数解析式,图形与网络等 . 课堂练习 1 某农家旅游公司有客房 300 间, 每间日房租为 20 元, 每天都客满. 公司欲 提高档次,并提高租金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑 其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高? 引导学生探索过程如下: 1)本例涉及到哪些数量关系? 2)应如何选取变量,其取值范围又如何? 3)应当选取何种函数模型来描述变量的关系? 4) “总收入最高”的数学含义如何理解? 根据老师的引导启发,学生自主,建立恰当的函数模型,进行解答,然后交流、进行评 析. [略解:] 设客房日租金每间提高 2 x 元, 则每天客房出租数为 300-10 x , x >0, 300-10 x 由 且 >0 得:0< x <30 设客房租金总上收入 y 元,则有: y =(20+2 x )(300-10 x ) =-20( x -10)2 + 8000(0< x <30) 由二次函数性质可知当 x =10 时, ymax =8000. 所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时,客户租金总收入最高,为每天 8000 元. 课堂练习 2 要建一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造 价每平方米分别为 120 元和 80 元,试求应当怎样设计,才能使水池总造价最低?并求此最 低造价. (三)归纳整理,发展思维. 引导学生共同小结,归纳一般的应用题的求解方法步骤: 1) 合理迭取变量,建立实际问题中的变量之间的函数关系,从而将实际问题转化为 函数模型问题: 2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答; 3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解; 4)在将实际问题向数学问题的转化过程中,能画图的要画图,可借助于图形的直观 性,研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时,注意实际问题对变量范围的限制. (四)布置作业 作业:教材 P120 习题 3.2(A 组)第 3 、4 题:

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§2 .2 函数模型的应用实例(Ⅱ)
一、 教学目标 1. 知识与技能 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题. 2. 过程与方法 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法,对给定的函数 模型进行简单的分析评价. 二、 教学重点 重点 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点 将实际问题转化为数学模型,并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、 学法与教学用具 1. 学法:自主学习和尝试,互动式讨论. 2. 教学用具:多媒体 四、 教学设想 (一)创设情景,揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的,但需我们利用问题中的数据及 其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题,我们要对所确定的数学模型进行分析评 价,验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. (二)实例尝试,探求新知 例 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1)写出速度 v 关于时间 t 的函数解析式; 2)写出汽车行驶路程 y 关于时间 t 的函数关系式,并作图象; 3)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; 4) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km, 试建立汽车行驶这 段路程时汽车里程表读数 s 与时间 t 的函数解析式,并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的,需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模 型,此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题,把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力,让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例 2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有 效控制人口增长提供依据. 早在 1798, 英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长 模型:

y ? y0ert
其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数, r 表示人口的年均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 年份 人数 年份 人数 1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) , 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型, 并检验所得模型与实际 人口数据是否相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿?
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1950 55196 1955

1951 56300 1956

1952 57482 1957

1953 58796 1958

1954 60266 1959

探索以下问题: 1)本例中所涉及的数量有哪些? 2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种模型需要几个因素? 3)根据表中数据如何确定函数模型? 4) 对于所确定的函数模型怎样进行检验, 根据检验结果对函数模型又应做出如何评价? 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数,用的是何种计算方法? 本例的题型是利用给定的指数函数模型 y ? y0ert 解决实际问题的一类问题,引导学生 认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数 y0 与 t . 完成数学模型的确定之后,因为计算较繁,可以借助计算器. 在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时, 可引导学生利用计算器或计算机 作出所确定函数的图象, 并由表中数据作出散点图, 通过比较来确定函数模型与人口数据的 吻合程度,并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式. 引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测, 实质上是通过求一个对数值来 确定 t 的近似值. 课堂练习:某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件,1.2 万件, 1.3 万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产 品的月产量 t 与月份的 x 关系,模拟函数可以选用二次函数或函数

y ? abx ? c(其中a, b, c为常数) .已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函
数作为模拟函数较好,并说明理由. 探索以下问题: 1)本例给出两种函数模型,如何根据已知数据确定它们? 2)如何对所确定的函数模型进行评价? 本例是不同函数的比较问题,要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型. 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是 4 月份产量的吻合程度, 这也是对函数模评 价的依据. 本例渗透了数学思想方法,要培养学生有意识地运用. 三. 归纳小结,发展思维. 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法; 1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系; 2)利用待定系数法,确定具体函数模型; 3)对所确定的函数模型进行适当的评价; 4)根据实际问题对模型进行适当的修正. 从以上各例体会到:根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观察图象,判断问题适 用的函数模型, 借助计算器或计算机数据处理功能, 利用待定系数法得出具体的函数解析式, 再利用得到的函数模型解决相应的问题,这是函数应用的一个基本过程. 图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时,经常需要将函 数对应关系的一种形式向另一种转化. (四)布置作业:教材 P120 习题 32(A 组)第 6~9 题.

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§3.2.3 函数模型的应用实例(Ⅲ)
一、教学目标 1、知识与技能 能够收集图表数据信息,建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法,体会函数拟合的思 想方法。 3、情感、态度、价值观 深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应 用及其重要价值。 二、教学重点、难点: 重点:收集图表数据信息、拟合数据,建立函数模解决实际问题。 难点:对数据信息进行拟合,建立起函数模型,并进行模型修正。 三、学法与教学用具 1、学法:学生自查阅读教材,尝试实践,合作交流,共同探索。 2、教学用具:多媒体 四、教学设想 (一)创设情景,揭示课题 2003 年 5 月 8 日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略 数学模型”研究项目,马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于 5 月 19 日初步完成了第一批 成果,并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数, 并对全国和北京、 山西等地的疫情进行了计算仿 真,结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说,就全国而论,菲非典 病人延迟隔离 1 天,就医人数将增加 1000 人左右,推迟两天约增加工能力 100 人左右;若 外界输入 1000 人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数 100 人左右;若 4 月 21 日以后,政府示采取隔离措施,则高峰期病人人数将达 60 万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据, 建立了非典流行趋势预测动 力学模型和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程, 实际上就是对收集来的数据信息进行拟合, 从而找到近似度 比较高的拟合函数。 (二)尝试实践 探求新知 例 1.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 (身高:cm;体重:kg) 身高 体重 身高 体重 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05

1) 根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成 年男性体重与身高 ykg 与身高 xcm 的函数模型的解析式。 2)若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地区 一名身高为 175cm ,体重为 78kg 的在校男生的体重是事正常?

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探索以下问题: 1)借助计算器或计算机,根据统计数据,画出它们相应的散点图; 2)观察所作散点图,你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近? 3) 你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重 ykg 与身高 xcm 的函数关系比 较合适? 4)确定函数模型,并对所确定模型进行适当的检验和评价. 5)怎样修正所确定的函数模型,使其拟合程度更好? 本例给出了通过测量得到的统计数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的, 要引导学生借助计算器或计算机画图,帮助判断. 根据散点图,利用待定系数法确定几种可能的函数模型,然后进行优劣比较,选定拟合 度较好的函数模型.在此基础上,引导学生对模型进行适当修正,并做出一定的预测. 此外, 注意引导学生体会本例所用的数学思想方法. 例 2. 将沸腾的水倒入一个杯中,然后测得不同时刻温度的数据如下表: 时间(S) 温度(℃) 时间(S) 温度(℃) 60 86.86 360 53.03 120 81.37 420 52.20 180 76.44 480 49.97 240 66.11 540 45.96 300 61.32 600 42.36

1)描点画出水温随时间变化的图象; 2)建立一个能基本反映该变化过程的水温 y (℃)关于时间 x( s) 的函数模型,并作出 其图象,观察它与描点画出的图象的吻合程度如何. 3)水杯所在的室内温度为 18℃,根据所得的模型分析,至少经过几分钟水温才会降到 室温?再经过几分钟会降到 10℃?对此结果,你如何评价? 本例意图是引导学生进一步体会,利用拟合函数解决实际问题的思想方法,可依照例 1 的过程,自主完成或合作交流讨论. 课堂练习:某地新建一个服装厂,从今年 7 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别为 1 万件、1 .2 万件、1.3 万件、1.37 万件. 由于产品质量好,服装款式新颖,因此前几个月的 产品销售情况良好. 为了在推销产品时,接收定单不至于过多或过少,需要估测以后几个月 的产量,你能解决这一问题吗? 探索过程如下: 1)首先建立直角坐标系,画出散点图; 2) 根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: 一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0); 二次函数模型: g ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0); 幂函数模型: h( x) ? ax 2 ? b(a ? 0); 指数函数模型: l ( x) ? ab ? c ( a ? 0, b >0, b ? 1 )
x
1

利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型;由于 尝试的过程计算量较多,可同桌两个同学分工合作,最后再一起讨论确定.

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(三)归纳小结,巩固提高. 通过以上三题的练习, 师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法, 指出 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数 思想解决实际问题的基本过程如下:
选 择 函 数 模 型 用 函 数 模 型 解 决 实 际 问 题 在 于

收 集 数 据

画 散 点 图

求 函 数 模 型

检 验

符合 实际

不符合实际

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