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wwwm87588com:高三数学 最新模拟试题分类汇编3 三角函数 理

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北京 高三理科数学最新模拟试题分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 . (2013 北京东城高三二模数学理科)已知 sin( A.

3 25

B. B.

7 25

3 ? x) ? ,那么 sin 2 x 的值为 4 5 9 18 C. D. 25 25

?





【答案】

2 . ( 北京大兴区一模理科)函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x cos x





π π , ) 上递增 2 2 π π C.在 (? , ) 上递减 2 2
A.在 (? 【答案】D

π π , 0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 π π D.在 (? , 0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2
B.在 (?

3 . (北京市顺义区 高三第一次统练数学理科试卷 (解析) ) 已知函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? ,其中 ? 为实数, 若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) .则下列结论正确的是

?

?

6

2





A. f ?

? 11 ? ? ? ? ?1 ? 12 ?

B. f ?

? 7? ? ?? ? ?? f? ? ? 10 ? ?5? ? ?

C. f ? x ? 是奇函数

D. f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ?

【答案】答案 D 因为 f ( x) ? f ( ) 恒成立,所以

?

6

? ? ? 是函数的对称轴,即 2 ? ? ? ? ? k? , k ? Z , 6 2 6

所以 ? ?

?

? k? , k ? Z , 又 f ( ) ? f (? ) , 所以 sin(? ? ? ) ? sin(2 ? ?? ) , 即 ? sin ? ? sin ? , 所以 6 2

?

sin? ? 0 , 所 以 ? ?
?

?

6

, 即 f ( x) ? sin(2 x ?

?

6

) . 由 ?

?

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

6

?

?

2

? 2k? , 得

?
3

? k? ? x ?

?

? ?? ? ? k? ,即函数的单调递增区间是 ?k? ? , k? ? ? ?k ? Z ? ,所以 D 正确,选 D. 6 3 6? ?
?
12 )

4 . (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案) 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? 对称的是 (

x ? A. y ? sin( ? ) 2 3

x ? B. y ? sin( ? ) 2 3

1

C. y ? sin(2 x ? ) 3 【答案】 二、填空题

?

D. y ? sin(2 x ? ) 3 C.

?

5 . ( 北 京 市 延 庆 县 一 模 数 学 理 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 依 次 是 角 A, B, C 的 对 边 , 且 b ? c . 若

a ? 2, c ? 2 3 , A ?
【答案】 120 ?

?
6

,则角 C ?

.

6 . ( 2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且

cos A ?

1 ? , ?B ? , b ? 5 ,则 sin C ? __________, ?ABC 的面积 S ? __________. 3 4

【答案】

4 ? 2 100 ? 25 2 , 6 9

7 . (北京市朝阳区 高三第一次综合练习理科数学)在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B ,C 所对的 边.已知角 A 为锐角,且 b ? 3a sin B , 则 tan A ? _________. 【答案】

2 4
高 三 第 一 次 统 练 数 学 理 科 试 卷 ( 解 析 )) 在 ?ABC 中 , 若

8 .( 北 京 市 顺 义 区

b ? 4, cos B ? ?

1 , sin A ? 4

15 ,则 a ? _______, c ? ________. 8
1 a b 15 2 ? 得, sin B ? 1 ? cos B ? .由正弦定理 得a ? 2. 4 sin A sin B 4
2

【答案】 答案 2,3 由 cos B ? ?
2 2 2

又 b ? a ? c ? 2ac cos B ,即 c ? c ? 12 ? 0 ,解得 c ? 3 . 9. (北京市石景山区 高三一模数学理试题) 在△ABC 中,若∠B=

? ,b= 2a ,则∠C=__________________. 4

【答案】

7? 12 ? ,则 3

10 . ( 2013 北 京 西 城 高 三 二 模 数 学 理 科 ) 在 △ ABC 中 , BC ? 2 , AC ? 7 , B ?

AB ? ______;△ ABC 的面积 是______.
【答案】3,

3 3 ; 2

11 . ( 2013 北 京 海 淀 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 在 ?ABC 中 , ?A ? 30 , ?B ? 45 , a ? 2 , 则
b ? _____; S?ABC ? _____ .
2

【答案】

2,

3 ?1 2


12. ( 门头沟区一模理科)在 ? ABC 中,若 a ? 2 , c ? 3 , tan B ? ? 15 ,则 b ? 【答案】 4

π 13. ( 北京海滨一模理科)已知函数 f ( x) ? sin x ,任取 t ? R ,定义集合: 2
At ? { y | y ? f ( x ) ,点 P (t , f (t )) , Q ( x, f ( x )) 满足 | PQ |? 2} .
设 M t , mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值,记 h(t ) ? M t ? mt . 则 (1)函数 h (t ) 的最大值是_____; (2)函数 h (t ) 的单调递增区间为________. 【答案】 2, (2k ? 1,2k ), k ? Z 三、解答题 14. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期 为 ? ,且图象过点 ( , ) . (Ⅰ)求 ?,? 的值;

? 1 6 2

? (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4
【答案】(Ⅰ)由最小正周期为 ? 可知 由 f( )?

??

?

6

1 得 2

又0 ?? ?? , (Ⅱ)由(Ⅰ)知

?
3

?

?

? 1 sin( ? ? ) ? , 3 2
3 ?? ? ? ?

2? ? 2, T

?

3

所以

?
3

?? ?

? 1 ) ? ] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x 4 2 2 ? ? k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) 解 2 k? ? ? 4 x ? 2 k? ? 得 2 2 2 8 2 8 k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) 所以函数 g ( x) 的单调增区间为 [ 2 8 2 8
所以 g ( x) ? cos 2 x ? sin[2( x ? 15 . ( 2013 北 京 丰 台 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 分 别 为 A,B,C, 且

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 2

?

5? ? ,? ? , 6 2

?

2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A.
(Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S. 【答案】解: (Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. ? 2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 ,
3

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °
(Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,
2 2 2 ?

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),
? S?ABC ? 1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 2 2 2

16. (2013 北京西城高三二模数学理科)如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半 轴重合,终边交单位圆于点 A ,且 ? ? ? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . (Ⅰ)若 x1 ?

? ? 6 2

? ,交单位圆于点 B . 3

1 ,求 x2 ; 3

(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 .若

S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值.

【答案】 (Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? 因为 ? ? ? , ) , cos ? ? 所以 sin ? ? 1 ? cos

? ) 3

? ? 6 2

1 , 3

2

??

2 2 3

所以 x2 ? cos(? ? ) ?

? 3

1 3 1? 2 6 cos ? ? sin ? ? 2 2 6
? ). 3

(Ⅱ)解:依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? 所以 S1 ?

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , 2 2 4 1 1 ? ? 1 2? S2 ? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) 2 2 3 3 4 3
4

依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? 整理得 cos 2? ? 0 因为

2? ), 3

? ? ? ? ? ? ? ? , 所以 ? 2? ? ? ,所以 2? ? , 即 ? ? 6 2 3 2 4

17. (北京市石景山区 高三一模数学理试题)已知函数 f(x)=sin(2x+ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间. (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A)= 【答案】

? )+cos 2x. 6 ? 3 ,a=2,B= ,求△ABC 的面积. 3 2

18. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)已知函数 f ( x) ? sin(? ? 2x) ? 2 3 cos2 x, x ? R .
5

(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

6

(Ⅱ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. 【 答
2





解:(Ⅰ)? f ( x) ? sin(? ? 2 x) ? 2 3 cos x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ?

?
3

)? 3

? ? ? 3 ? 3?2 3 ? f ( ) ? 2sin( ? ) ? 3 ? 2 ? 6 3 3 2
(Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? 又由 2k? ?

?
3

) ? 3 的最小正周期 T ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k? ?

5? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 可得 12 12

2? ?? 2

函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z) 12 12 ? ? 19. ( 北京丰台区一模理科)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x.
2 2

?

5?

??

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

? 3? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ , ] 上的值域. 4 4
2 【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos x ?

2 sin(2 x ? ) ,…………………3 分 4

?

? 最小正周期 T= ? , …………………………………………………4 分
3? ](k ? Z ) , …………………………………7 分 8 8 ? 3? ? 3? ?x? ,? ? 2 x ? (Ⅱ) , 4 4 2 2 ? ? 5? ? ? 2x ? ? , ……………………………………………10 分 4 4 4 ? 3? …………………………………13 分 ? f ( x) 在 [ , ] 上的值域是 [?1, 2] . 4 4
单调增区间 [k? ?

?

, k? ?

20. ( 北京市延庆县一模数学理)已知 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 sin 2 x .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若 x ? [0,

?
6

] ,求 f ( x) 的最小值及取得最小值时对应的 x 的取值.

【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1

? 2 sin( 2 x ?
?T ?

?
6

) ?1

…………4 分 …………5 分
6

2? ? ? ,? f ( x) 最小正周期为 ? . 2

由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,得

…………6 分 …………7 分 …………8 分

? ?

?

2? ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? 3 3 3 ? k? ? x ?

?

6

? k?

? f ( x) 单调递增区间为 [?
(Ⅱ)当 x ? [0,

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z ) .

…………9 分 …………10 分 …………11 分 …………13 分

?
6

] 时, 2 x ?

?

? f ( x) 在区间 [0, ] 单调递增, 6

?

?[ , ] , 6 6 2

? ?

?[ f ( x)]min ? f (0) ? 0 ,对应的 x 的取值为 0 .

21. (北京市朝阳区 高三第一次综合练习理科数学)已知函数 f ( x) ? 的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的取值范围. 【答案】本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? (? ? 0 ) 2 2 2

? 2

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2

?

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

? ? sin(? x ? ) 6
因为 f ( x ) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 所以 f ( x) ? sin(2 x ? 由 2k ? ?

? ). 6

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 2 6 2 3 6 ? ? 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ? Z 3 6 ? ? ? 7? ], (Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , 2 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 ? 1 所以函数 f ( x ) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ] 2 2
22. (2013 北京朝阳二模数学理科试题)在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且
7

f ( A) ? 2 cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2
(Ⅱ)若 f ( A) ? 0, C ?

?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12 A A A ? 2 A ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) . 【答案】解:(Ⅰ)因为 f ( A) ? 2 cos sin ? sin 2 2 2 2 4 ? ? ?? 因为 A 为三角形的内角,所以 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? . 4 4 4 ? ? 3? 所以当 A ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 4 2 4 ? ? (Ⅱ)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又因为 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,所以 A ? . 4 4 4 4 4 ?? ? 又因为 C ? ,所以 B ? . 12 3 ? 6 ? sin a b a sin B 3 ?3 ? 由正弦定理 得, b ? ? ? sin A sin B sin A sin 4
(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; 23. (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)已知函数 f ( x ) ? 1 ?

cos2 x π 2 sin( x ? ) 4

.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

【 答 案 】 解 :(I) 因 为

sin x? (

π π ?) 0 x ? ? kπ, k ?Z 4 4 所以

所以函数的定义域为

π {x | x ? kπ+ , k ? Z} 4
f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x sin x ? cos x

(II)因为

π = 1 ? 2 sin( x ? ) = 1+(cos x ? sin x ) 4

又 y ? sin x 的单调递增区间为

π π (2kπ ? ,2kπ ? ) 2 2 ,k ?Z 2kπ ? 3π π ? x ? 2kπ ? 4 4 π x ? kπ+ , 4 又 注意到



2kπ ?

π π π ? x ? ? 2kπ ? 2 4 2 解得 (2kπ ?

所以 f ( x ) 的单调递 增区间为 24 .( 北 京 市 顺 义 区

3π π ,2kπ ? ) 4 4 ,

k ?Z
知 函 数

高 三 第 一 次 统 练 数 学 理 科 试 卷 ( 解 析 )) 已

?? ?? ? ? f ? x ? ? cos? 2?x ? ? ? cos? 2?x ? ? ? 1 ? 2 sin 2 ?x, ? x ? R, ? ? 0 ? 的最小正周期为 ? . 6? 6? ? ?
8

(I)求 ? 的值; (II)求函数 f ? x ? 在区间 ?? 【答案】解:(I)

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 4 3? ?

f ? x ? ? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x

? sin 2?x ? cos 2?x

?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? 4? ?
因为 f ? x ? 是最小正周期为 ? ,

2? ?? , 2? 因此 ? ? 1
所以 (II)由(I)可知, f ? x ? ? 因为 ? 所以 ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?

?

?

4 4

?x?

?
3

,

? 2x ?

?
?
2 4

?

于是当 2 x ? 当 2x ?

?
4

11? 12

?

,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值 2 ; 时, f ? x ? 取得最小值 ? 1

?
4

??

?
4

,即 x ? ?

?

4

25. ( 北京西城区一模理科)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ)求实数 a 的值;

π . 4

(Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间. 【答案】 (Ⅰ)解:依题意,得 f ( ) ? 0 ,

π 4

………………1 分

即 sin

π π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2

………………3 分

解得 a ? 1 .

………………5 分 ………………6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3sin 2x
………………7 分

9

? (cos2 x ? sin2 x) ? 3sin 2x
? cos 2x ? 3sin 2x

………………8 分 ………………9 分

π ? 2sin(2 x ? ) . ………………10 分 6 π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 6 2 π π 得 kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z . ……………12 分 3 6 π π 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? , kπ ? ] , k ? Z . 3 6

……13 分

B, C 的对边分别为 a , b, 26. ( 东城区一模理科) 在△ ABC 中, 三个内角 A , 且 bn i s A ? 3c o s a c,
(Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,求 ac 的最大值. 【答案】解: (Ⅰ)因为 b sin A ? 3a cos B , 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为在△ ABC 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ? 3 . 又0 ? B ? ? , 所以 B ?

B



? . 3
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 因为 B ?

? ,b ? 2 3 , 3
2 2

所以 12 ? a ? c ? ac . 因为 a ? c ? 2ac ,
2 2

所以 ac ? 12 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, ac 取得最大值 12 . 27. (2013 北京东城高三二模数学理科)已知函数 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? (0, ) 时,求 f ( x ) 的取值范围. 【答案】(共 13 分)解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) ? 3 sin x cos x ? sin x
2

2? 3

10

=

1 (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) 2

1 1 ? 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 6 2

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ) 因为 0 ? x ?

2? ? ?. ?

2? ? ? 3? ,所以 ? 2 x ? ? . 3 6 6 2
3 1 , ] 2 2
π 3 , B = ,b = 4 5
2.

所以 f ( x ) 的取值范围是 ( ?

28. ( 北京大兴区一模理科)在 ? 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c, cos A = A B C (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin C 及 ? 的面积. A B C 【答案】解:(Ⅰ)因为 cos A ? , A是?ABC内角 ,所以 sin A ?

3 5

4 , 5

由正弦定理:

a b ? sin A sin B



a 2 ? 4 ? sin 5 4

得: a ?

8 5

(Ⅱ)在 ?ABC 中, sin C ? sin[ π ? ( A ? B)] ? sin( A ? B)

4 2 3 2 7 2 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
?ABC 的面 积为: s ?

1 1 8 7 2 28 absin C ? ? ? 2 ? ? 2 2 5 10 25

29. (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)已知函数 f ?x ? ? (I) (II) 求 f?

?

?? ? ? 的值; ?3? (II)求函数 f ?x ? 的最小正周期及单调递减区间.

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? . 2 cos x 2

?

? ?? 2? ? ? 3 cos ? sin ? sin 1 3 3? 3 ?? ? ? ? ? 【答案】解:(I) f ? ? ? ? 2 ?3? 2 cos 3
? 0? 1 1 ? 2 2

? 1 3? 3 ? 3? ? ?? ? ? 2 2 ? 2 1 ? ? 1 2 2? 2

(II) cos x ? 0 ,得 x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?
11

故 f ?x ? 的定义域为 ? x ? R x ? k? ?

? ?

?

? , k ? Z? . 2 ?

因为 f ?x ? ?

?

1 3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? ? sin x 3 cos x ? sin x ? 2 2 cos x 2

?

?

?

?

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2 2 3 1 ?? ? sin 2 x ? cos2 x ? sin? 2 x ? ? , 2 2 6? ?
2? ??. 2

?

所以 f ?x ? 的最小正周期为 T ?

因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ?2k? ? 由 2k? ? 得 k? ?

? ?

?
2

,2k? ?

3? ? ?k ? Z? , 2 ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 3 2

3? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 2 2

所以 f ?x ? 的单调递减区间为 ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

???

? 2? ? ?k ? Z? ?, ? k? ? , k? ? 2?? 2 3 ? ?
2

30. ( 门头沟区一模理科)已知:函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x cos( (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的对称轴方程; (Ⅱ)当 x ? [0,

π ? x) . 2

7π ] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 12

【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos x sin x

?

1 ? cos 2 x 3 sin 2 x ? 2 2 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

…… 5 分

?

π 1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2
函数关于直线

…………………………… 7 分

π π ? ? kπ (k ? Z ) 对称 6 2 π kπ x? ? (k ? Z ) 所以 对称轴方程为 3 2 7π π π ] 时, 2 x ? ? [? , π] (Ⅱ)当 x ? [0, 12 6 6 2x ?

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12

由函数图象可知, sin(2 x ? ) 的最大值为 1,最小 值为 ? 所以函数 f ( x ) 的最大值为

π 6

1 ……………………………12 分 2
……………………………13 分

3 2

,最小值为 0

13


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