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北京市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何


北京市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 8 部分:立体几何 一、选择题: 7. (北京市西城区 2011 年 1 月高三理科试题)如图, 四边形 ABCD 中,AB ? AD ? CD ? 1 ,

BD ? 2 , BD ? CD .将四边形 ABCD 沿
对角线 BD 折成四面体 A? ? BCD ,使平面

A?BD ? 平面 BCD ,则下列结论正确的是
( ) B (A) A?C ? BD

A D C B

A?
D C

(B) ?BA?C ? 90

?

(C) CA? 与平面 A?BD 所成的角为 30

?

1 (D)四面体 A? ? BCD 的体积为 3
' ' 7.B【解析】?AB=AD=1,BD= 2 ,?AB ? AD, ? A B ? A D .

?平面 A?BD ? 平面 BCD ,平面 A BD ? 平面BCD ? BD ,
'

又? CD ? BD, ? CD ? 平面A' BD.

? A' B ? 平面 A' BD ,? CD ? A B. ? A B ? 平面ACD.
'
' '

? AC ? 平面ACD.
' '

? A B ? AC.??BAC ? 90 .
' ' ' 0

5. (北京市海淀区 2011 年 4 月高三年级第二学期期中练习理科)已知平面 ? ? ? ? l ,m 是 ? 内不同于 l 的直线,那么下列命题中错误的是( D ) A.若 m // ? ,则 m // l C.若 m ? ? ,则 m ? l B.若 m // l ,则 m // ? D.若 m ? l ,则 m ? ?

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5.(北京市西城区 2011 年高三一模试题文科)一个棱锥的三 视图如图所示,则这个棱锥的体积是 (A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 36

3 4 正(主)视图 3

3 3 侧(左)视 图

6. (北京市西城区 2011 年高三一模试题文科)对于平面 ? 题是 (A)存在平面 ? ,使 m ? ? , n ? ? (B)存在平面 ? ,使 m ? ? , n ? ? (C)存在平面 ? ,满足 m ? ? , n // ? (D)存在平面 ? ,满足 m // ? , n // ?

4 俯 视 图 和异面直线 m, n , 下列命题中真命

8.(北京市西城区 2011 年高三一模试题理科)如图,四面体 OABC 的三条棱 OA, OB, OC 两 两垂直, OA ? OB ? 2 , OC ? 3 , D 为四面体 OABC 外一点. 给出下列命题. ①不存在点 D ,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点 D ,使四面体 ABCD 是正三棱锥 ③存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等 ④存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是 (A)①② (B)②③ (C)③ (D)③④ O A B C D

6.(北京市朝阳区 2011 年 4 月高三年级第一次综合练习理科) 已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三 角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形, 则此三棱锥的体积等于 ( B )

6 (A) 12 6 (C) 4
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3 (B) 3 2 3 (D) 3
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正 视 图

1 侧 视 图

俯 视 图

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5.(北京市朝阳区 2011 年 4 月高三年级第一次综合练习文科)已知 a,b 是两条不重合的直 线, ? , ? 是两个不重合的平面,下列命题中正确的是( C ) (A) (B) (C)

a // b , b // ? ,则 a // ?
a, b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ?

a ? ? , b // ? ,则 a ? b

(D) 当 a ? ? ,且 b ? ? 时,若 b ∥ ? ,则 a ∥ b 6. (北京市朝阳区 2011 年 4 月高三年级第一次综合练习文科)已知三棱锥的三视图如图所示, 其中侧视图为直角三角形, 俯视图为等腰直 角三角形,则此三棱锥的体积等于( B )

2 (A) 3 2 2 (C) 3

3 (B) 3 2 3 (D) 3
正 视 图

3

1 侧 视 图

俯 视 4. (北京市石景山区 2011 年高三统一测试理科) 图,则这个几何体的体积是 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示(单位: cm) ( D )
3

A. 3cm

5 3 cm B. 2 3 3 cm D. 2

C.2 cm

3

(4)(北京市东城区 2011 年第二学期综合练习一文科)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行; ②若两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行; ③若两个平面互相垂直,则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面; ④若两个平面互相平行,则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面. 其中为真命题的是 (A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)②和④ (8)(北京市东城区 2011 年第二学期综合练习一文科)空间点到平面的距离如下定义:过空
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间一点作平面的垂线,该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离.平面 ? , ? , ? 两 两互相垂直,点 A?? ,点 A 到 ? , ? 的距离都是 3 ,点 P 是 ? 上的动点,满足 P 到 ? 的 距离是到 P 到点 A 距离的 2 倍,则点 P 的轨迹上的点到 ? 的距离的最小值为 (A) 3 (C) 6 ? 3 (B) 3 ? 2 3 (D) 3 ? 3

4.(北京市怀柔区 2011 年 3 月高三第二学期适应性练习理科)如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的主视图为( B )

A.

B.

C.

D.

8.(北京市怀柔区 2011 年 3 月高三第二学期适应性练习理科)已知三棱锥 A ? BCO ,

OA、OB、OC 两两垂直且长度均为 6, 长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动,
另一个端点 N 在 ?BCO 内运 动(含边界) ,则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为( D )

? A. 6
36 ?
C.

? ? 36 ? 6 B. 6 或
?
6

? ? 36 ? 6 D. 6 或

5. (北京市丰台区 2011 年 3 月高三年级第二学期统一练习一理科)设 m,n 是两条不同的直 线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ;
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③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是( D ) (A) ①③ (B) ①② (C)③④ (D) ②③ 二、填空题: 11. ( 北 京 市 海 淀 区 2011 年 4 月 高 三 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习 文 科 ) 如 图 , 在 正 方 体

ABCD ? A1B1C1D1

中,点 P 是上底面

A1B1C1D1

内一动点,则三棱锥
D1 C1

P ? ABC 的主视图与左视图的面积的比值为_____1____.
A1

P
B1

左视

D

C

12. (北京市西城区 2011 年高三一模试题理科)一个棱锥的三视图如图所 示,则这个棱锥的体积为__12___. 三、解答题: 16. (北京市海淀区 2011 年 4 月高三年级第二学期期中练习 理科) (本小题共 14 分) 在 如 图 的 多 面 体 中 , EF ⊥ 平 面 AEB , 3

A

主视

B

3 4 正(主)视图

3 3 侧(左)视 图

AE ? EB , AD // EF , EF // BC ,
BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 ,
A

4 俯 视 图

D

G 是 BC 的中点.
(Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.

E

F

B

G

C

16. (共 14 分) 解:(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC ,
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∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴

AD / /BG


A

D

∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ……………2 分
E

∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ) 解法 1 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG . ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG , 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . ∵ BD ? 平面 BHD , ………………………8 分 …………………4 分

H

F

B

G

C

………………………5 分

………………………6 分

………………………7 分

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∴ BD ? EG . 解法 2

………………………9 分

∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB ,∴

z
A

D

EF ? AE , EF ? BE ,
又 AE ? EB ,
E

F y

∴ EB, EF , EA 两两垂直.

……………………5 分

x B

G

C

以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如图的空 间直角坐标系. 由已知得, A (0,0,2) B (2,0,0) , ,

C (2,4,0) F (0,3,0) D (0,2,2) , , , G (2,2,0).
??? ?
??? ?
…………………………6 分

∴ EG ? (2,2,0) , BD ? (?2, 2, 2) ,………7 分 ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 , ∴ BD ? EG .

??? ??? ? ?

………8 分

…………………………9 分 …………………………10 分

??? ? EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量. (Ⅲ)由已知得

??? ? ??? ? DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,∵ FD ? (0, ?1, 2), FC ? (2,1,0) , 设平面 ??? ? ? ? FD ? n ? 0 ? ?? y ? 2 z ? 0 ? ? ??? ? ? ? FC ? n ? 0 ,即 ?2 x ? y ? 0 ,令 z ? 1,得 n ? (?1, 2,1) . ……………12 分 ∴?
设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? ,

??? ? ?2 6 cos ? ? cos ? n, EB ?? ?? 6 , …………………………13 分 2 6 则
∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为

?

6 . 6

…………………………14 分

17. (北京市海淀区 2011 年 4 月高三年级第二学期期中练习文科) (本小题共 13 分)

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如图:梯形 ABCD 和正 △ PAB 所在平面互相垂直,其中 AB // DC , 且 O 为 AB 中点. ( I ) 求证: BC // 平面 POD ; ( II ) 求证: AC ? PD . 17. (共 13 分) 证明: (I) 因为 O 为 AB 中点,

AD ? CD ?

1 AB 2 ,

P

A

O

B
C

BO ?
所以

1 AB, 2 CD ? 1 AB 2 ,

…………………1 分

D

又 AB / /CD,

所以有 CD ? BO, CD / / BO, 所以 ODCB 为平行四边形,所以 BC / /OD, 又 DO ? 平面 POD, BC ? 平面 POD, 所以 BC / / 平面 POD . (II)连接 OC .

…………………2 分 …………………3 分

P

…………………5 分

A P

O

B
C

因为 CD ? BO ? AO, CD / / AO, 所以 ADCO 为 平行四边形, 又 AD ? CD ,所以 ADCO 为菱形, 所以 AC ? DO , 因为正三角形 PAB , O 为 AB 中点, 所以 PO ? AB , …………………8 分 …………………7 分 …………………6 分

D

A

O

B
C

D

又因为平面 ABCD ? 平面 PAB ,平面 ABCD ? 平面 PAB ? AB , 所以 PO ? 平面 ABCD ,
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…………………10 分

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而 AC ? 平面 ABCD ,所以 PO ? AC , 又 PO ? DO ? O ,所以 AC ? 平面 POD . 又 PD ? 平面 POD ,所以 AC ? PD . …………………12 分 …………………13 分

16. (北京市西城区 2011 年高三一模试题文科)(本小题满分 13 分) 如图所示, 正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直, E

?ADE ? 90? , AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅲ)求四面体 BDEF 的体积. A B F D

C

16.(北京市朝阳区 2011 年 4 月高三年级第一次综合练习理科)(本小题满分 13 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D , 底 面 A B C D 直 角 梯 形 , 且 AD // BC , 中 为
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?ABC ? ?PAD ? 90? ,侧面 PAD ? 底面 ABCD . 若
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ;

PA ? AB ? BC ?

1 AD 2 .

(Ⅱ)侧棱 PA 上是否存在点 E ,使得 BE // 平面 PCD ?若存在,指出点 E 明,若不存在,请说明理由; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值. A B 16. (本小题满分 13 分) 解法一: (Ⅰ)因为 ?PAD ? 90? ,所以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 底面 ABCD . 而 CD ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . C P

的位置并证

D

在底面 ABCD 中,因为 ?ABC ? ?BAD ? 90? ,

AB ? BC ?

1 AD 2 ,

AC ? CD ?
所以

2 AD 2 , 所以 AC ? CD .

又因为 PA ? AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC . ……………………………4 分 (Ⅱ)在 PA 上存在中点 E ,使得 BE / / 平面 PCD , 证明如下:设 PD 的中点是 F , 连结 BE , EF , FC , P

E A

F D

则 EF // AD ,且

EF ?

1 AD 2 .
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B

C 高考我做主@高考试题库

由已知 ?ABC ? ?BAD ? 90? ,

所以 BC // AD . 又

BC ?

1 AD 2 ,

所以 BC // EF ,且 BC ? EF , 所以四边形 BEFC 为平行四边形,所以 BE // CF . 因为 BE ? 平面 PCD , CF ? 平面 PCD , 所以 BE // 平面 PCD . ……………8 分 P

(Ⅲ)设 G 为 AD 中点,连结 CG , 则 CG ? AD . 又因为平面 ABCD ? 平面 PAD , 所以 CG ? 平面 PAD . 过 G 作 GH ? PD 于 H , 连结 CH ,由三垂线定理可知 CH ? PD . 所以 ?GHC 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. 设 AD ? 2 ,则 PA ? AB ? CG ? DG ? 1, DP ? 5 . B A G

H D

C

1 GH DG GH ? ? 5. DP ,所以 在 ?PAD 中, PA

tan ?GHC ?
所以

6 CG ? 5 cos ?GHC ? 6 . GH ,

6 即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 6 .

………………………………13 分

解法二: z
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P
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A

D

y

因为 ?PAD ? 90? , 所 以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD , 且侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 底面 ABCD . 又因为 ?BAD ? 90? , 所以 AB , AD , AP 两两垂直. 分别以 AB , AD , AP 为 x 轴,

y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,如图.
设 AD ? 2 ,则 A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D(0, 2, 0) , P(0, 0, 1) . (Ⅰ) AP ? (0, 0, 1) , AC ? (1, 1, 0) , CD ? (?1, 1, 0) , 所以 AP ? CD ? 0 , AC ? CD ? 0 ,所以 AP ? CD , AC ? CD . 又因为 AP ? AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC . ………………………………4 分

??? ?

????

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ? 1 1 ) BE ? (?1, 0, ) 2 , 2 . (Ⅱ)设侧棱 PA 的中点是 E , 则 ??? ? ?n ? CD ? 0, ? ? ? ??? n ? ( x, y, z) ,则 ? n ? PD ? 0. ? 设平面 PCD 的一个法向量是 ??? ? ??? ? 因为 CD ? (?1, 1, 0) , PD ? (0, 2, ? 1) , E (0, 0,
?? x ? y ? 0, ? ? 2 y ? z ? 0.
取 x ? 1 ,则 n ? (1, 1, 2) .

所以

??? ? 1 ??? ? n ? BE ? (1, 1, 2) ? (?1, 0, ) ? 0 2 所以 , 所以 n ? BE .
因为 BE ? 平面 PCD ,所以 BE ? 平面 PCD . ………………………………8 分

??? ? AB ? (1, 0, 0) 为平面 PAD 的一个法向量. (Ⅲ)由已知, AB ? 平面 PAD ,所以
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由(Ⅱ)知, n ? (1, 1, 2) 为平面 PCD 的一个法向量. 设二面角 A ? PD ? C 的大小为 ? ,由图可知, ? 为锐角,

所以

??? ? n ? AB (1, 1, 2) ? (1, 0, 0) 6 cos ? ? ??? ? ? ? 6 6 ?1 n AB

.

6 即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 6 .

………………………………13 分

17.(北京市朝阳区 2011 年 4 月高三年级第一次综合练习文科)(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,且 AD // BC , ?ABC ? 90? ,

侧面 PAD ? 底面 ABCD , ?PAD ? 90? . 若 (Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ;

AB ? BC ?

1 AD 2 .

(Ⅱ)设侧棱 PA 的中点是 E ,求证: BE ? 平面 PCD . P

E 17. (满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 ?PAD ? 90? , 所以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD , 且侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 底面 ABCD . 而 CD ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 在底面 ABCD 中, P B C A D

E A D C

因为 ?ABC ? ?BAD ? 90? ,
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AB ? BC ?

1 AD 2 ,

B

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AC ? CD ?
所以

2 AD 2 , 所以 AC ? CD .
所以 CD ? 平面 PAC . ……………………………6 分

又因为 PA ? AC ? A ,

(Ⅱ)设侧棱 PD 的中点为 F , 连结 BE , EF , FC ,

P E A B F D C

1 EF ? AD 2 则 EF ? AD ,且 .
由已知 ?ABC ? ?BAD ? 90? ,

所以 BC ? AD . 又

BC ?

1 AD 2 ,

所以 BC ? EF . 且 BC ? EF . 所以四边形 BEFC 为平行四边形,所以 BE ? CF . 因为 BE ? 平面 PCD , CF ? 平面 PCD , 所以 BE ? 平面 PCD . ………………………………………………………13 分

17. (北京市石景山区 2011 年高三统一测试理科) (本小题满分 14 分) 在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (Ⅰ)求证:EF//平面 ACD1; (Ⅱ)求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)在棱 BB1 上是否存在一点 P,使得二面角 P—AC—B 的大小为 30°?若存在,求 出 BP 的长;若不存在,请说明理由.

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(16)(北京市东城区 2011 年第二学期综合练习一文科)(本小题共 13 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .
E P

D

C

A

B

(16) (共 13 分) (Ⅰ)证明:因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC . 因为 EO ? 平面 BDE
P

PC ? 平面 BDE
所以 PC ∥平面 BDE . ……………………6 分 (Ⅱ)证明:连结 OP 因为 PB ? PD , 所以 OP ? BD . 在菱形 ABCD 中, BD ? AC 因为 OP ? AC ? O
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E

D O A B

C

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所以 BD ? 平面 PAC 因为 BD ? 平面 BDE 所以平面 PAC ? 平面 BDE . ……………………13 分

16.(北京市怀柔区 2011 年 3 月高三第二学期适应性练习理科)(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? 2 ,

E, F , H
分别是线段 PA, PD, AB 的中点. (Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

解:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

? A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(0, 2,0) , P(0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) , H (1,0,0) .----------------------------1 分
??? ? ???? PB ? (2, 0, ?2) , EH ? (1, 0, ?1) , (Ⅰ)证明:∵
∴ PB ? 2 EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH .-------------------------------------------------5 分

??? ?

????

??? ? ???? ??? ? PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1, 0, 0) , AF ? (0,1,1) , (Ⅱ)解:
??? ??? ? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0.
? PD ? AF , PD ? AH ,
又? AF ? AH ? A ,
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? PD ? 平面 AHF . -----------------------------------------------------9 分
(Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ???? EF ? (0,1, 0) , EH ? (1, 0, ?1) , 因为

? ??? ? ?n ? EF ? y ? 0, ? ? ? ???? ?n ? EH ? x ? z ? 0, 取 n ? (1,0,1). 则?
又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0),

?? ? ?? ? ? m?n 1? 0 ? 0 1 2 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ? , 2 -------------------------12 分 | m || n | 2 ?1 2 所以 ?? ? ? ?? m, n ?? 45? ,
所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 .-------------------------------------------------14 分
?

16.(北京市怀柔区 2011 年 3 月高三第二学期适应性练习文科)(本小题共 14 分) 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAC 和 ?PBC 都是边长为 2 的等边三角形, AB ? 2 , O, D 分 别是

AB, PB 的中点.
(Ⅰ)求证: OD ∥平面 PAC ; (Ⅱ)求证: PO ⊥平面 ABC ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? ABC 的体积. 解: (Ⅰ)? O, D 分别为 AB, PB 的中点,

? OD ∥ PA
又 PA ? 平面 PAC , OD ? 平面 PAC

? OD ∥平面 PAC .---------------------------------------5 分
(Ⅱ)如图,连结 OC

? AC ? CB ? 2 , O 为 AB 中点, AB ? 2 ,
? OC ⊥ AB , OC ? 1 .
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同理, PO ⊥ AB , PO ? 1 . 又 PC ?

2,

? PC 2 ? OC 2 ? PO 2 ? 2 , ??POC ? 90? .

? PO ⊥ OC .

? PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB ? OC ? O ,
? PO ⊥平面 ABC .-------------------------------------------10 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 OP 垂直平面 ABC

? OP 为三棱锥 P ? ABC 的高,且 OP ? 1

1 1 1 1 ? VP ? ABC ? S? ABC ? OP ? ? ? 2 ?1?1 ? 3 3 2 3 .---------------------14 分
16. (北京市丰台区 2011 年 3 月高三年级第二学期统一练习一理科)(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面

1 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点 ,PA=PD=2,BC= 2 AD=1,CD= 3 .
(Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (Ⅱ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅲ)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值 . 证明: (Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ……………………1 分 P

1 // ∵BC∥AD 且 BC= 2 AD,即 BC AQ.
∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 在是棱 PC 的中点, ∴ MN // PA ……………………2 分 ∵ MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB,…………………3 分 ∴ PA // 平面 MBQ. ……………………4 分 A Q

M D

C B

1 (Ⅱ)∵AD // BC,BC= 2 AD,Q 为 AD 的中点,
∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD // BQ . 6分
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……………………

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∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD.

……7 分 ……………………8 分 ……………………9 分

1 另证:AD // BC,BC= 2 AD,Q 为 AD 的中点
∴ BC // DQ 且 BC= DQ, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. ……………………6 分 ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ……………………7 分 ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ……………………8 分 ∵ AD ? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ……………………9 分 (Ⅲ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD.……………10 z 分 (不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) P 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.

? n ? (0, 0,1) ; 则平面 BQC 的法向量为

M D Q A x N B y C

Q(0,0,0) , P (0, 0, 3) , B (0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) .…11 分
设 M ( x, y, z ) ,

???? ? ???? ? PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) , 则 ???? ???? ? ? ∵ PM ? tMC ,

? x ? t (?1 ? x) ? ? y ? t ( 3 ? y) ? z ? 3 ? t (? z) ∴ ? ,

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ∴ ?

……………………12 分

???? ? t 3t 3 ??? ? QM ? (? , , ) QB ? (0, 3, 0) , 1? t 1? t 1? t , 在平面 MBQ 中,
?? m ? ( 3, 0, t ) . ∴ 平面 MBQ 法向量为
……………………13 分

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∵二面角 M-BQ-C 为 30°, ∴ t ? 3.

? ?? n?m t 3 c o s 3 0 ? ?? ? ? ? 2 n m 3 ? 0 ? t2
?



……………………14 分

16. (北京市西城区 2011 年 1 月高三理科试题)(本小题满分 13 分) 如图,在三棱柱 点 D 是棱

ABC ? A B1 C1 1

中,侧面

ABB1 A1



ACC1 A1

均为正方形,∠ BAC = 90 , B1 D

?

B1C1

的中点. ⊥平面 平面

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证:

A1 D

BB1C1C




C1 1

A1

AB1 //

A1 DC

(Ⅲ)求二面角

D ? A1C ? A

B 的余弦值.

C A 16.(本小题满分 13 分) 【解析】本小题主要考查空间线面关系、用空间向量解决立体几何问题等知识, 考查数形 结合、 化归与转化的数学思想方法, 以及空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力. Ⅰ) ( 证明:因为侧面 所以 所以 因为

ABB1 A1



ACC1 A1
,

均为正方形,

AA1 ? AC , AA1 ? AB AA1 ?

平面 ABC ,三棱柱 平面

ABC ? A1 B1C1


是直三棱柱.

……1 分 ……2 分

A1 D ?

A1B1C1

,所以

CC1 ? A1 D
中点,

又因为 所以 因为 所以

A1 B1 ? A1C1
.

,D为

B1C1

A1 D ? B1C1

………3 分 , .……4 分 C1 1 O y z D A1 x B A B1

CC1 ? B1C1 ? C1

A1 D ?

平面

BB1C1C AC1

(Ⅱ)证明:连结 因为

,交

AC 1

于点 O ,连结 OD ,

ACC1 A1

AC1 为正方形,所以 O 为 中点,

又D为 所以

B1C1

中点,所以 OD 为 ,

?AB1C1

中位线,

C

AB1 // OD

………6 分
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因为 OD ? 平面 所以

A1 DC A1 DC

, .

AB1 ?

平面

A1 DC



AB1 //

平面

……8 分 ,

(Ⅲ)解: 因为侧面 所以

ABB1 A1

ACC1 A1

均为正方形, ?BAC ? 90 ,
?

AB, AC , AA1

两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系 A ? xyz .

1 1 C (0,1 0), B(1, 0, 0), A1 (0, 0,1), D( , ,1) , 2 2 . 设 AB ? 1,则 ???? ? 1 1 ???? A1D ? ( , , 0), A1C ? (0,1 ? 1) , 2 2 ,
设平面

…………9 分

A1 DC

的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有

? n ? A1 D ? 0 ? x ? y ? 0 ? ? ? n ? A1C ? 0 , ? y ? z ? 0 , x ? ? y ? ? z ,
取 x ? 1 ,得 n ? (1, ?1, ?1) . 又因为 AB ? 平面 ………11 分 ……10 分

ACC1 A1

,所以平面

ACC1 A1

??? ? AB ? (1, 0, , 0) 的法向量为

??? ? ??? ? n ? AB 1 3 cos? n, AB? ? ? ??? ? ? 3 3 n AB
D ? A1C ? A



…………12 分

因为二面角

是钝角,

所以,二面角

D ? A1C ? A

?
的余弦值为

3 3 .

………13 分

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