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高中数学解题基本方法:配方法

高考第二轮复习 第一章 高中数学解题基本方法:配方法 一、 (课时 9) 一、知识提要 配方法主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数 式的讨论与求解,或者缺 xy 项的二次曲线的平移变换等问题.常见配方形式,如: a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 ? 2ab ; b 3 a 2 ? ab ? b 2 ? (a ? b) 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? (a ? ) 2 ? ( b) 2 ; 2 2 1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] . 2 1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? ) 2 ; x2 ? 1 1 1 ? ( x ? ) 2 ? 2 ? ( x ? ) 2 ? 2 ;…… 等等. 2 x x x 二、例题讲解 例 1.已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对 角线长为_____. A. 2 3 B. 14 C. 5 D. 6 解:设长方体长宽高分别为 x, y , z ,由已知“长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度 之和为 24”而得: ? ?2( xy ? yz ? xz ) ? 11 . ?4( x ? y ? z ) ? 24 x2 ? y2 ? z2 = ( x ? y ? z ) 2 ? 2( xy ? yz ? xz ) = 长方体所求对角线长为: 62 ? 11 =5,所以选 B. 2 例 2. 设方程 x ? kx ? 2 ? 0 的两实根为 p 、 q ,若( p 2 q 2 ) +( ) ≤7 成立,求实数 k q p 的取值范围. 2 解:方程 x ? kx ? 2 ? 0 的两实根为 p 、 q ,由韦达定理得: p ? q ? ?k , pq ? 2 , p 2 q 2 p 4 ? q 4 ( p 2 ? q 2 )2 ? 2 p 2 q 2 [( p ? q )2 ? 2 pq]2 ? 2 p 2 q 2 ( ) +( ) = = = q p ( pq )2 ( pq )2 ( pq)2 ( k 2 ? 4)2 ? 8 = ≤7, 解得 k ? ? 10 或 k ? 10 . 4 2 又 ∵ p 、 q 为方程 x ? kx ? 2 ? 0 的两实根, ∴ ? ? k2 ?8 ? 0 即 k ? 2 2 或 k ? ?2 2 , 综上可得, k 的取值范围是:- 10 ? k ? ?2 2 或 2 2 ? k ? 10 . 例 3.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,给定 m 、 n (m ? n) ,且满足 a 2 [(m ? n) 2 ? m2 n 2 ] ? 2a[b(m ? n) ? cmn] ? b 2 ? c 2 ? 0 , (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)是否存在一个实数 t ,使当 x ? (m ? t , n ? t ) 时, f ( x) ? 0 ?若不存在,说出理由; 若存在,指出 t 的取值范围. 解: (1)由已知得, a ? 0 且 [a(m ? n) ? b]2 ? (amn? c) 2 ? 0 , ∴m? n ? ? b c , mn ? 即 m 、 n 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根,且 m ? n ,所以, a a 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? n 或 x ? m} ; 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集为 {x | m ? x ? n}, (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集为 {x | m ? x ? n}, 若0 ? t ? n?m ,则 (m ? t , n ? t ) ? (m, n) ,即 x ? (m ? t , n ? t ) 时, f ( x) ? 0 ; 2 若 t ? 0 ,则 (m ? t , n ? t ) ? (m, n) ,不满足对所有的 x ? (m ? t , n ? t ) , f ( x) ? 0 .当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? n 或 x ? m} ,不存在 t 使得 x ? (m ? t , n ? t ) 时, f ( x) ? 0 成立.综上可得,当 a ? 0 时,存在 t 满足 x ? (m ? t , n ? t ) 时, f ( x) ? 0 , 此时 t 的取值范围为 0 ? t ? 成立. 三、同步练习 1.在正项等比数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 2a3 ? a5 ? a3 ? a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 =___5___. 2 2 2.方程 x ? y ? 4kx ? 2 y ? 5k ? 0 表示圆的充要条件是___ k ? 1或k ? n?m ; 当 a ? 0 时不存在 t 使得 x ? (m ? t , n ? t ) 时,f ( x) ? 0 2 1 ____. 4 3.函数 y ? log1 (?2 x ? 5x ? 3) 的单调递增区间是( D 2 2 ) D. [ ,3) 5 A. (?? , ) 4 B. [ ,?? ) 5 4 C. ( ? 1 5 , ] 2 4 5 4 4.已知方程 x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 1 ? 0 的两根 x1 、 x2 ,且点 P ( x1 , x2 )在圆 x +y =4 2 2 上,则实数 a =___ 3 ? 7 __. 5.函数 y ? ( x ? a) 2 ? ( x ? b) 2 ( a 、 b 为常数)的最小值为( B ) A.8 B. ( a ? b ) 2 2 2

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