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四川省南充高中2013届高三上学期第六次月考数学文试题

数学月考试题(文科)
命、审题人:郭登攀 李思建 ) 1.设全集 U ? ?1,2,3,4,5,6?, 设集合P ? ?1,2,3,4?,集合Q ? ?3,4, ,P ? (CU Q) ? ( 5? A. ?1,2,3,4,6? B. ?1,2,3,4,5? C. ?1, 2,5? D. ?1, 2?

2.命题“设 a, b, c ? R , 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

4? ?? ? ? i 是纯虚数,则 tan ? ? ? ? 的值为( ) 5? 4? ? 1 1 A.-7 B. ? C.7 D. ?7 或 ? 7 7 x y 4 . 函数 y ? a x?3 ? 2(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A, 若点 A 在直线 ? ? ?1 上, m, n ? 0 , 且 m n 则 3m ? n 的最小值为 ( )
3.若复数 z ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ?

? ?

3? ? 5? ?

A. 13

B. 16

C. 11? 6 2 .

D. 28.

5.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 4, S2 ? 6 ,则

Sn ? 64 的最小值是 an
D

A7

B

15 2

C8

17 2
)

6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( A.

?4 ? ? ?
3

3

B. ?4 ? ? ? 3

C.

?8 ? ? ?
2

3

D.

?8 ? ? ?
6

3

7 . 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) 对 任 意 (A). f (2 ) ? f (2) ? f (log2 a)
a

? ) x 都 有 f ( x) ? f ( 4 x , 且 其 导 函 数 f '( x) 满 足
) (B). f (2) ? f (log2 a) ? f (2a ) (D). f (log2 a) ? f (2a ) ? f (2)

( x ? 2 )f ' ( ? ,则当 2 ? a ? 4 时,有 ( x ) 0
(C). f (2) ? f (2a ) ? f (log2 a)

8.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则 ( )

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大的项为 a1 a2 a15

A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

9.已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

10、直线 l 与函数 y ? sin x x ? ? 0, ? ? 的图象相切于点 A ,且 l // OP ,其中 O 为坐标原点, P 为 图象的极大值点,则点 A 的纵坐标是( A、 ) C、

?

?

2

?

B、

1 2

?2 ?4
2

D、

?2 ?4 ?

11.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 整数的正整数 n 的个数是( A.2 B.3 ) C.4

An 7n ? 45 a ,则使得 n 为 ? Bn n?3 bn

D.5

12. 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c(a, b, c ? R) 在区间 ? 0,1? 内取得极大值, 在区间 ?1, 2 ? 3 2

2 2 内取得极小值,则 ( a ? 3) ? b 的取值范围为

A. ?

? 2 ? ? 2 ,2? ? ? ?

B. ?

?1 ? ,4? ?2 ?

C. (1,2)

D. (1,4)

13.设 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和,若 S1,2S2,3S3 成等差数列,则公比 q 等于 14.已知函数 f ( x) ? e ? 2x ? a 有零点,则实数 a 的取值范围是___________.
x



15.已知三个平面向量 AB, AC BC 满足 | AB |? 1 , | AC |? 2,| BC |? 3 ,点 E 是 BC 的中点,

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

若点 D 满足 BD ? 2 AE ,则 AC ? AD ? 定义 ?x? ? x ? ? x? .给出如下命题:

??? ?

??? ?

??? ???? ?

.

16.已知 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数 ? x ? R? ,如: ??1.3? ? ?2, ① 使 [ ?] 3 x 1? 成立的 x 的取值范围是 4 ? x ? 5 ; ② 函数 y ? ?x? 的定义域为 R ,值域为 ?0,1? ; ③ ?
2 3 ? 20122012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ??? ??? ? ??? ? ? ? 1006; ? 2013 ? ? 2013 ? ? 2013 ? ? 2013 ?

?0.8? ? 0, ?3.4? ? 3 .

④ 设函数 f ? x ? ? ?

?? x? x ? 0 1 1 ? ,则函数 y ? f ? x ? ? x ? 的不同零点有 3 个. 4 4 ? f ? x ? 1? x ? 0 ?


其中正确的命题的序号是

17(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , C ? 面积为 10 3 . (1) 求 a, c 的值; (2)求 sin( A ?

?
3

, b ? 5 , ?ABC 的

?
6

) 的值.
*

18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? n ? 4 ( n ? N ) (1)求证:数列 {an ? 1} 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? an log 2 (an ?1) ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn 。 19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,
A1 A

AB ? BC , D 为 AC 的中点, A1 A ? AB ? 2 , BC ? 3 .
D

(1)求证: AB1 / / 平面 BC1D ;
B1

(2) 求四棱锥 B ? AAC1D 的体积. 1
C1 C

B

20. (本小题满分 12 分)今年的中秋国庆假期是实施免收小型客车高速通行费政策后的第一个重 大节假日,10 月 3 日南充有一个群名为“天狼星”的自驾游车队,组织车友前往重庆游玩。该车 队是由 31 辆车身长都约为 5m(以 5m 计算)的同一车型组成的,行程中经过一个长为 2725m 的隧 道(通过该隧道的车速不能超过 25m/s), 匀速通过该隧道,设车队的速度为 x m/s ,根据安全 和车流的需要,当 0 ? x ? 12 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;当 12 ? x ? 25 时,相邻两车之

( x ? 间保持
2

1 6

1 x ) m 的距离.自第 1 辆车车头进入隧道至第 31 辆车车尾离开隧道所用的时间为 3

y(s) .
(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程
3 2

?

?

为 y?2?0 (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2) 若过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)设 Sn 是正项数列 (1)求数列

?an ? 的前 n 项和,且 Sn ?

?an ? 的通项公式; (2)是否存在等比数列 ?bn ? ,使 a1b ? a b 1 2 2
都成立?并证明你的结论. (3)设

1 2 1 3 an ? an ? . 4 2 4
对一切正整数

? ? ? anbn ? ? 2n ?1 ? ?2 n?1 ?2

cn ?

1 ? n ? N * ? ,且数列?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,试比较 Tn 与 1 的大小. 1 ? an 6

南充高中 2010 高三(上)第六次月考 数学试题(文科)答案
DBABDD BCCDDA 13.

17. 解: (1)? S ?ABC ?
2

1 1 ? ab sin C ? ? a ? 5 ? sin ? 10 3 2 2 3
2 2 2 2

1 3

14. (-∞,2ln2-2〕

15.6

16. ①③④

?a ? 8,

3分

又由余弦定理知 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 8 ? 5 ? 2 ? 8 ? 5 ? cos

?
3

? 49 ,5 分
6分

?c ? 7

b2 ? c 2 ? a 2 1 4 3 ? ,? sin A ? 1 ? cos 2 A ? (2)由余弦定理得 cos A ? 2bc 7 7

10 分

? ? ? 4 3 3 1 1 13 ?sin( A ? ) ? sin A cos ? cos A sin ? ? ? ? ? . 6 6 6 7 2 7 2 14
18.

12 分

an =2 +1

n

-------------------6 分

(2) Cn ? (2n ? 1)n ? n ? 2n ? n

An ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n

2 An ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ?? An ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1
? 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? ?2 ? (1 ? n) ? 2n ?1 1? 2

? An ? (n ?1)2n?1 ? 2 ? 10 分
2

Tn ? (n ? 1)2

n ?1

n(n ? 1) n ?n?4 ?2? ? (n ? 1)2n?1 ? ? 12 分 2 2
A1 A

19.(1)证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△ AB1C 的中位线,
B1 B

E
D

∴ OD / / AB1 .

????????? 3 分
O C1 C

∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , ∴ AB1 / / 平面 BC1D .

?????????????? 6 分

(2) ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AAC1C , 1

∴ 平面 ABC ? 平面 AAC1C ,且平面 ABC ? 平面 AAC1C ? AC . 1 1 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AAC1C , 1 ∵ AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 , 在 Rt△ ABC 中, AC ? ????? 8 分

AB2 ? BC 2 ? 4 ? 9 ? 13 , BE ?

AB?BC 6 , 10 分 ? AC 13

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 V ? 1

1 1 ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE 3 2
∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 . 1 ? 12 分

1 3 6 ? 3. ? ? 13 ? 2 ? 6 2 13
20.(1)解:当 0 ? x ? 12 时, y ? 当 12 ? x ? 25 时,

2725 ? 5 ? 31 ? 20 ? (31 ? 1) 3480 ? ----2 分 x x

1 1 2725 ? 5 ? 31 ? ( x 2 ? x) ? (31 ? 1) 5 x 2 ? 10 x ? 2880 2880 6 3 ? ? 5x ? ? 10 ---4 分 y? x x x 3480 ? (0 ? x ? 12) ? x 所以, y ? ? -----------------------------6 分 2880 ?5 x ? ? 10 (12 ? x ? 25) x ? 3480 ? 290 ( s ) -------8 分 (2)当 0 ? x ? 12 时,在 x ? 12 (m/s)时, ymin ? 12
当 12 ? x ? 25 时, y ? 5 x ? 当且仅当 5 x ?

2880 2880 ? 10 ? 2 5x ? ? 10 ? 250( s) x x

2880 ,即: x ? 24 (m/s)时取等号。----------------------10 分 x 因为 x ? 24 ? (12,25] ,所以 当 x ? 24 (m/s)时, ymin ? 250(s)
因为 290 ? 250 ,所以当 x ? 24 (m/s)时, ymin ? 250(s) -------------------11 分 答:该车队通过隧道时间 y 的最小值为 250s 及此时该车队的速度为 24m/s.--12 分 21.解:⑴f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 3 .
2

………………1 分

根据题意,得 ?
3

? f ?1? ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, ?a ? 1 ? 即? 解得 ? ……………………3 分 ?b ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0, ? f ? ?1? ? 0, ?

所以 f ? x ? ? x ? 3x .………………………………………………………………4 分 (2)因为点 M ? 2, m?? m ? 2? 不在曲线 y ? f ? x ? 上,所以可设切点为 ? x0 , y0 ? .

3 则 y0 ? x0 ? 3x0 .
2 因为 f ? ? x0 ? ? 3x0 ? 3 ,所以切线的斜率为 3x0 ? 3 .

2

3 x0 ? 3x0 ? m 则 3x ? 3 = ,……………………………6 分 x0 ? 2
2 0

3 2 即 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 .

因为过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,
3 2 所以方程 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解.

所以函数 g ? x ? ? 2x ? 6x ? 6 ? m 有三个不同的零点.……………8 分
3 2

则 g? ? x ? ? 6x ?12x .令 g? ? x ? ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? 2 .…………9 分
2

0 + 增 0 极大值 减

2 0 极小值 + 增

则?

? g ? 0? ? 0 ?6 ? m ? 0 ? ,即 ? ,……………………11 分 ??2 ? m ? 0 ? g ? 2? ? 0 ?

解得 ?6 ? m ? 2 .…………………………………12 分

1 1 3 ? an 2 ? an ? 得 4 2 4 1 2 1 3 Sn?1 ? a n?1 ? an?1 ? ,相减并整理为 ? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? 2? ? 0 4 2 4 又由于 an?1 ? an ? 0 ,则 an?1 ? an ? 2 ,故 ?an ? 是等差数列. 1 1 3 ? a1 ? S1 ? a12 ? a1 ? ? 0 ,? a1 ? 3 ,故 an ? 2n ? 1 …………4 分 4 2 4 2 3 (2)当 n ? 1 2 时, a1b1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1? ? 2 ? 6,1b1 ? a2b2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1? ? 2 ? 26 , a
22. 解: (1) Sn 可解得, b1
n ,猜想 bn ? 2 使 ? 2,2 ? 4, b a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 2n?1 ? 2n ? 1? ? 2 成立
2

下面证明 3 ? 2 ? 5 ? 2 令S

? 7 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? 2 n ? 2 n?1 ? 2n ? 1? ? 2 恒成立
② ②-①可得

? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? 2n ①

2 S ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ? ? ? 2n ? 1? 2 n?1

……………8 分 ? S ? ? 2n ? 1? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 ? ? 2n ? 1? 2n?1 ? 2 1 1 1? 1 1 ? (3) Cn ? ? ? ? ? ? 2 ? 2n ? 2? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 1?1 1 1 1 1 1 ? ? 则 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ? 1?1 1 ? 1 1 ? ? ? ……………14 分 ? ? ,故 Tn ? 2 ? 3 2n ? 3 ? 6 6

()


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