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高考理科数学圆锥曲线考点练习


高考理科数学圆锥曲线考点练习
1、 设 F1,F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, 双曲线上存在一点 P a2 b2
9 ab, 则该双曲线的离心率为( 4


使得 | PF1 | ? | PF2 |? 3b, | PF1 | ? | PF2 |? A.

4 3

B.

5 3

C.

9 4

D.3

【答案】B 【解析】 由于
2 2 (| PF1 | ? | PF2 |)2 ? (| PF1 | ? | PF2 |)2 ? 4 | PF1 | ? | PF2 | , 所以 9b ? 4a ? 9ab

分解因式得 (3b ? 4a)(3b ? a) ? 0 ? 4a ? 3b ? a ? 3? , b ? 4?, c ? 5? 所以离心率 e ?

c 5 ? ,选择 B a 3
2 2

2、设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 ( ) A. 5

+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是

2

B.

+

C. 7+

D. 6

【答案】D 【解析】设椭圆上的点为(x,y) ,则 2 2 ∵圆 x +(y﹣6) =2 的圆心为(0,6) ,半径为 ∴椭圆上的点与圆心的距离为 ∴P,Q 两点间的最大距离是 5
2

, = ≤5 ,

+

=6

.故选:D

3、已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象 限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( )

A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 3

【答案】D 【解析】∵点 A(﹣2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,即准线方程为:x=﹣2, ∴p>0, =﹣2 即 p=4,∴抛物线 C:y =8x,在第一象限的方程为 y=2 ,
2 2



设切点 B(m,n) ,则 n=2

1

又导数 y′=2 m =2 m

,则在切点处的斜率为 ,解得 =2 (

,∴ 舍去) ,



∴切点 B(8,8) ,又 F(2,0) ,∴直线 BF 的斜率为

,故选 D

4、已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 ,过 F2 的 2 a b 3


直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1 B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

【答案】A 【解析】∵△AF1B 的周长为 4 ,∴4a=4 ,∴a= ,∵离心率为 ,

∴c=1,∴b=

=

,∴椭圆 C 的方程为

+

=1.故选:A

5、已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在 C 上,若 | F 1 A |? 2 | F 2 A | ,则

cos ?AF2 F1 ? (



A.

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3

【答案】A 【解析】∵双曲线 C 的离心率为 2,∴e= ,即 c=2a,

点 A 在双曲线上,则|F1A|﹣|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|, ∴解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,||F1F2|=2c,则由余弦定理得 cos∠ AF2F1= = =

,故选:A

2

6、已知 a ? 0, b ? 0 ,椭圆 C 1 的方程为

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 ,C 1 与 ,双曲线 的方程为 C 2 a2 b2 a2 b2

C 2 的离心率之积为

3 ,则 C 2 的渐近线方程为 2

(A) x ? 2 y ? 0 (B) 2 x ? y ? 0 (C) x ? 2y ? 0 (D) 2x ? y ? 0

【答案】A

c2 a 2 ? b2 ? a2 a2 c2 a 2 ? b2 e2 2 ? 2 ? a a2 a 4 ? b4 3 【解析】? ? e1e2 ?2 ? ? ? a 4 ? 4b 4 4 a 4 e12 ? ? b 2 ?? a 2

7、 已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点, 点 A ,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA ? OB ? 2
2

(其中 O 为坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是 A. 2 【答案】B 【解析】 方法 1: 设直线 AB 的方程为: x ? ty ? m ,点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,又 F ( , 0) ,直线 AB 与 x 轴的交点 M (0, m) (不妨假设 y1 ? 0 ) 由? B. 3 C.

17 2 8

D. 10

1 4

? x ? ty ? m ?y ? x
2

? y 2 ? ty ? m ? 0 ,所以 y1 y2 ? ?m
2

又 OA ? OB ? 2 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ? ( y1 y2 ) ? y1 y2 ? 2 ? 0 因为点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,所以 y1 y2 ? ?2 ,故 m ? 2 于是 S ?ABO ? S ?AFO ?

1 1 1 9 2 9 2 ? 2 ? ( y1 ? y2 ) ? ? ? y1 ? y1 ? ? 2 y1 ? ? 3 2 2 4 8 y1 8 y1
3

当且仅当

9 2 4 y1 ? ? y1 ? 时取“ ? ” 8 y1 3

所以 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是 3 方法 2:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y ? 2 x ? 10 ,双曲 a 2 b2 线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为 x2 y 2 x2 y 2 3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2 ? ?1 ? ?1 ? ? 1 D. ? ?1 A. B. C. 5 20 20 5 25 100 100 25
8、已知双曲线 【答案】A 【解析】由题意知,双曲线的渐近线为 y=± x,∴ =2.∵双曲线的左焦点(-c,0)在直 线 l 上, ∴0=-2c+10,∴c=5.又∵a +b =c ,∴a =5,b =20,∴双曲线的方程为 - 5
2 2 2 2 2

b a

b a

x2

y2
20

=1.

9、已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的
2 2

距离为

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

【答案】 :A

4

【解析】 :由 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) ,得

x2 y 2 ? ? 1 , c2 ? 3m ? 3, c ? 3m ? 3 3m 3

设F

?

3m ? 3, 0 ,一条渐近线 y ?

?

3 x ,即 x ? my ? 0 ,则点 F 到 C 的一条渐近线 3m

的距离 d ?

3m ? 3 = 3 ,选 A. . 1? m

10、已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

【答案】 :C 【解析】 :过 Q 作 QM⊥直线 L 于 M,∵ FP ? 4FQ ∴

QM PQ 3 PQ 3 ? ,又 ? ? ,∴ QM ? 3 ,由抛物线定义知 QF ? QM ? 3 4 PF 4 PF 4

11、设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( )

A.

3 3 4
D

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

【答案】 【解析】

设点A、B分别在第一和第四象限 ,AF = 2m, BF = 2n,则由抛物线的定义和 直角三角形知识可得, 3 3 3 3 2m = 2 ? + 3m,2n = 2 ? - 3n,解得m = (2 + 3 ), n = (2 - 3 ),∴ m + n = 6. 4 4 2 2 1 3 9 ∴ S ΔOAB = ? ? (m + n) = .故选D. 2 4 4

5

12、若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1的 25 9 ? k 25 ? k 9
C. 实半轴长相等 D.焦距相等

A.离心率相等

B.虚半轴长相等

【答案】D

x2 y2 x2 y2 ? ? 1与 ? ?1 【解析】∵ 0 ? k ? 9 ,∴ 9 ? k ? 0 , 25 ? k ? 0 ,∴曲线 25 9 ? k 25 ? k 9
均是双曲线,且 c ? a ? b = 25 ? (9 ? k ) = (25 ? k ) ? 9 ,即焦距相等.故选 D.
2 2 2

13、已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A. ) C.3 D.2

?
3

,则

4 3 3

B.

2 3 3

【答案】 A 【解析】 设椭圆的长半轴长为 a ,双曲线的实半轴长为 a1( a ? a1 ) ,半焦距为 c ,由椭圆、

| PF1 | ? | PF2 |? 2a1 , 所 以 | PF1 |? a ? a1 , 双 曲 线 的 定 义 得 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ,
| PF2 |? a ? a1 ,
因为

?F1 PF2 ?
2 2

?
3 ,由余弦定理得
2

4c 2 ? (a ? a1 ) 2 ? (a ? a1 ) 2 ? 2(a ? a1 )(a ? a1 ) cos

?
3,

所以 4c ? a ? 3a1 ,即 4 ?

2a12 a 2 a12 1 a a1 2 ? 2? 2 ? ( ? ) , c2 c c 2 c c

所以 ( ?

1 e

1 2 4 ) ? 8? 2 , e1 e1
4 3 . 3

利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为

6

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程 14、若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 9 5
2



.

【答案】 x ? ?2

【解析】 :椭圆右焦点为 (2, 0) ,即抛物线焦点,所以准线方程 x ? ?2

2 15、 已知曲线 C : x ? ? 4 ? y ,直线 l : x ? 6 . 若对于点 A(m , 0) ,存在 C 上的点 P 和 l

上的 Q 使得 AP ? AQ ? 0 ,则 m 的取值范围为

.

【答案】 m ? [2,3]

【解析】 : 根据题意,A 是 PQ 中点, 即m ?

xP ? xQ 2

?

xP ? 6 2 ,3 ] , ∵ ?2 ? xP ? 0 , ∴ m ?[ 2

16、设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

A 、 B ,若点 P(m , 0) 满足 | PA |?| PB | ,则该双曲线的离心率是__________.
【答案】

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 两条渐近线分别交于点 a 2 b2

【解析】双曲线

(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=± x,则 , ) ,B(﹣ , ) ,

与直线 x﹣3y+m=0 联立,可得 A(

∴ AB 中点坐标为(



) ,∵ 点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,

7



=﹣3,∴ a=2b,∴

=

b,∴ e= =

.故答案为:

17、 过点 M (1,1) 作斜率为 ?

1 x2 y 2 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 若M 2 a b

是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为 【答案】

2 2

设A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? x12 y12 ? ?1 a 2 b2 x2 2 y2 2 ? ?1 a 2 b2 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 【解析】? a2 b2 1 ? ?2 2 ? 2 ? 22 ? 0 a b 2 ? a ? 2b 2 则 ?e ? 2 2

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的方程为________; 18、设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 4
渐近线方程为________. 【答案】 y=±2x

【解析】与

﹣x =1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为

2

﹣x =m, (m≠0) ,

2

∵双曲线 C 经过点(2,2) ,∴m=



即双曲线方程为

﹣x =﹣3,即

2

,对应的渐近线方程为 y=±2x,

8

故答案为:

,y=±2x

19、设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 b2

A, B 两点,若 AF 1 ? 3F 1 B , AF 2 ? x 轴,则椭圆 E 的方程为____________.

y
【答案】 x ?
2

3y2 ?1 2

A B
F1 O

【解析】设 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,由 AF2 ? x 轴 得 A(c, b 2 ) ,又由 AF 1 ? 3F 1 B 得 B(?

F2

x

5c b 2 ,? ) 代入椭圆 3 3
2

2 3y 2 2 ?1 得 25c ? b ? 9 ,将 c ? 1 ? b 代入得 b ? ? x ? 3 2
2 2 2 2

20、如图 4,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a , b (a ? b) . 原点 O 为 AD 的 中点,抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 经过 C 、 F 两点,则
2

b ? ________. a

【答案】 2 ? 1 【解析】由题可得 C ?

?a ? ?a ? , ? a ? , F ? ? b, b ? , ?2 ? ?2 ? 2 ?a ? pa a ? 则? 2 ?a ? ? ? 2 ? 1 ,故填 2 ? 1 . b ?b ? 2 p ? 2 ? b ? ? ? ?

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 21、已知椭圆 C: 9 4
C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? .

9

【答案】12 【解析】如图:MN 的中点为 Q,易得 , ,

∵Q 在椭圆 C 上,∴|QF1|+|QF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.

22、 (本小题满分 13 分)

y 2 x2 如 图 , 曲 线 C 由 上 半 椭 圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 部 分 抛 物 线 a b
连接而成, C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为 C2 : y? ? 2 x ? 1( y?0 ) (1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点 A, B ) ,若 AP 的方程.

3 . 2

? AQ ,求直线 l

解 (I)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(- 1 ,0) ,B(1,0)是上班椭圆 C1 的左右顶点。

10

设 C1 的半焦距为 C,由

c 3 ? 及a 2 ? c 2 ? b 2 ? 1 得 a=2. a 2

? a=2,b=1.
(II)解法一 由(I)知,上半椭圆 C1 方程为

y2 ? x 2 ? 1( y ? 0). 4

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y= k ( x ? 1)(k ? 0), 代入 C1 的方程,整理得

(k 2 ? 4) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0.

(*)

设点 p 的坐标为(xp,yp) , ? 直线 l 过点 B, ? x=1 是方程(*)的一个根 . 由求根公式,得 xp=

k2 ? 4 ? 8k , 从而yp ? 2 , 2 k ?4 k ?4

? 点 P 的坐标为(

k 2 ? 4 ? 8k , ). k2 ? 4 k2 ? 4
得点 Q 的的坐标为(- k - 1,- k - 2k ).
2

同理,由 ?

? y ? k ( x ?1)(k ? 0), ? y ? ? x ? 1( y ? 0)
2
2

? AP ?

2k (k ,?4), AQ ? ?k (1, k ? 2). k ?4

? AP ? AQ , ? AP ? AQ ? 0,即

- 2k 2 [k ? 4(k ? 2)] ? 0, k2 ? 4

8 ? k ? 0,? k ? 4(k ? 2) ? 0, 解得 k ? ? . 3 8 经检验, k ? ? 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 1). 3
解法二 若设直线 l 的方程为 x ? m y ? 1(m ? 0) ,比照解法一部分。

x2 y 2 23、如下图,设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 D 在椭圆上, a b

11

DF1 ? F1F2 ,

2 | F1F2 | . ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 |

(1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点 处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..

y

F1

O

F2

x

D

b2 b2 解: (1)设 D(?c, y ) ,代入椭圆方程中求出 y ? ? ,故 DF1 ? ,而 F 1F 2 ? 2c a a
由已知: F1 F2 ? 2 2 DF1 ,

2 1 2 ,联立解出 F1 F2 ? 2, DF1 ? F1F2 ? DF1 ? 2 2 2

即 2c ? 2,

b2 2 2 ? , a ? b2 ? c 2 ,联立解出 a ? 2, b ? c ? 1 a 2
x2 ? y2 ? 1 2

所以椭圆的标准方程为

(2)由于所求圆的圆心 C 在 y 轴上, 故圆和椭圆的两个交点 A, B 关于 y 轴对称, 从而经过 点 A, B 所作的切线也关于 y 轴对称,如下图所示。

y

C

A F1
12 O F 2 P

B x

当切线互相垂直时,设两条切线交于点 P ,则 CAPB 恰好形成一个边长为 r 正方形。其中 r 表示圆的半径,由几何关系 BF2 ? BP ? PF2 ? r ? 2 ,

BF1 ?

BP ? PF1 ? r 2 ? 2 ,因为 BF1 ? BF2 ? 2a ? 2 2
2

2

2

所以 r ? 2 ? r ? 2 ? 2 2 ? r ?

4 2 4 2 , 故所求圆的半径为 3 3

24、 如图,已知两条抛物线 E1 : y ? 2P 1 x( P 1 ? 0) 和
2

y
A2 l2

E2

E2 : y 2 ? 2P2 x( P2 ? 0) ,过原点 O 的两条直线 l1 和 l 2 ,
l1 与 E1 , E 2 分别交于 A1 , A2 两点, l 2 与 E1 , E 2 分别交
于 B1 , B2 两点. (Ⅰ)证明: A1 B1 // A2 B 2 ;

E1 A1
O

l1

x
B1
B2

第(19)题图

(Ⅱ)过原点 O 作直线 l (异于 l1 ,l 2 )与 E1 , E 2 分别交于 C1 , C 2 两点.记 ?A1 B1C1 与

?A2 B2 C2 的面积分别为 S 1 与 S 2 ,求

S1 的值. S2

【解析】 (Ⅰ)由题意知直线 l1 和 l 2 的斜率都存在且非零,设 l1 : y ? k1 x ,联立 E1 , E 2 的方 程得

13

A1 (

2 p1 2 p1 , ), 2 k1 k1

A2 (

2 p2 2 p2 , ) 2 k1 k1 2 p1 2 p1 , ), 2 k2 k2 B2 ( 2 p2 2 p2 , ) 2 k2 k2

设 l 2 : y ? k 2 x ,同理可得 B1 (

∵ A1 B1 ? (

2 p1 k2
2

?

2 p1 2 p1 2 p1 1 1 1 1 , ? ) ? 2 p1 ( 2 ? 2 , ? ) 2 k2 k1 k1 k2 k1 k 2 k 1 2 p2 2 p2 2 p2 1 1 1 1 , ? ) ? 2 p2 ( 2 ? 2 , ? ) 2 k2 k1 k1 k2 k1 k 2 k1
y

A2 B2 ? (

2 p2 k2
2

?

C2

p ∴ A1 B1 ? 1 A2 B2 p2

由此证得: A1 B1 // A2 B 2
l2

A2

E2
E1

A1
O

C1

(Ⅱ)由(Ⅰ)同理可证得: A1C1 // A2 C 2

l
l1

x
B1

B1C1 // B2 C 2

B2

∴ ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 中, A ? A1 , B ? B1 , C ? C1 ,∴ ?A1 B1C1 ∽ ?A2 B2 C2

A1 B1 ? 2 p1 (

1 k1
2

?

1 k2
2

)2 ? (

1 1 ? )2 k1 k 2 1 1 ? )2 k1 k 2



A2 B2 ? 2 p 2 (

1 k1
2

?

1 k2
2

)2 ? (



A1 B1 2 p1 2 S1 ?( ) ? 2 S2 A2 B2 p2

25、已知双曲线 E:



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x.

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、第 四象限) ,且△OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲 线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不存在,说明理由.

14

解: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x,所以 =2.

所以

=2.故 c=

a,从而双曲线 E 的离心率 e= =



(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1.设直线 l 与 x 轴相交于点 C,

当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=8,

所以 |OC|?|AB|=8,

因此 a?4a=8,解得 a=2,此时双曲线 E 的方程为



=1.

以下证明: 当直线 l 不与 x 轴垂直时, 双曲线双曲线 E 的方程为 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<﹣2; 则 C(﹣ ,0) ,记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 得 y1= ,同理得 y2=



=1 也满足条件.

,由 S△OAB= |OC|?|y1﹣y2|得:

|﹣ |?|



|=8,即 m =4|4﹣k |=4(k ﹣4) .因为 4﹣k <0,

2

2

2

2

所以△=4k m +4(4﹣k ) (m +16)=﹣16(4k ﹣m ﹣16) ,又因为 m =4(k ﹣4) , 所以△=0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 ﹣ =1

2 2

2

2

2

2

2

2

15

26、 如图 7, O 为坐标原点,椭圆 C1 : 心 率 为 e1 ; 双 曲 线 C 2 :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,离 a2 b2

x2 y2 ? ? 1 的 左 、 右 焦 点 为 F3 , F4 , 离 心 率 为 e 2 . 已 知 a2 b2

3 ,且 | F2 F4 |? 3 ? 1 . 2 (1)求 C1 、 C 2 的方程; (2) 过 F1 作 C1 的不垂直 y 轴的弦 AB ,M 为 AB 的中点. 当直线 OM 与 C 2 交于 P , Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值. e1e2 ?

解: (1)因为 e1e2 ?

3 a2 ? b2 a2 ? b2 3 ,所以 ,因此得 ? ? 2 a a 2

a4 ? b4 ?

3 4 a , 即 a 2 ? 2b 2 , 从 而 F2 (b , 0) , F4 ( 3b, 0) , 于 是 4 x2 ? y2 ? 1, 3b ? b ?| F2 F4 |? 3 ? 1,所以 b ? 1 , a 2 ? 2 .故 C1 、 C 2 的方程分别是 2

x2 ? y2 ? 1. 2 (2) 由于 AB 过 F1 (?1, 0) 且不垂直 y 轴,故可设直线 AB 的方程为 x ? m y ? 1 ?x ? m y ? 1 ? 由 ? x2 得 (m 2 ? 2) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 易知此方程的判别式大于 0,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 y1 , y 2 是上述方程的两个实根, 2m ?1 所以 y1 ? y 2 ? 2 , y1 ? y 2 ? 2 . m ?2 m ?2 ?2 m ?4 , 2 ), 因此 x1 ? x 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 2 ? 2 ,于是 AB 中点 M ( 2 m ?2 m ?2 m ?2 m m 因此直线 PQ 的斜率为 ? ,其方程为 y ? ? x . 2 2

16

m ? y?? x ? 4 m2 ? 2 2 2 2 2 2 x ? y ? 2 ? m ? 0 由? 2 得 (2 ? m ) x ? 4 ,所以 , , , 2 ? m2 2 ? m2 ?x ? y2 ? 1 ? ?2
从而 | PQ |? 2 x 2 ? y 2 ? 2

m2 ? 4 . 2 ? m2
,因为点 A、B 在直线 PQ 的异侧, 所以

设点 A 到直线 PQ 的距离为 d ,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d ,所以

m2 ? 4 (mx1 ? 2 y1 )(mx2 ? 2 y2 ) ? 0 ,于是 | mx1 ? 2 y1 | ? | mx2 ? 2 y2 |?| mx1 ? 2 y1 ? mx2 ? 2 y2 |
从而 2d ?

2d ?

| mx1 ? 2 y1 | ? | mx2 ? 2 y 2 |

(m 2 ? 2) | y1 ? y 2 | m2 ? 4

,又 | y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

2 2 ? 1 ? m2 , m2 ? 2

所以 2d ?

2 2 ? 1 ? m2 m2 ? 4

,故四边形 APBQ 面积

S?

1 2 2 ? 1 ? m2 3 | PQ | ?2d ? ? 2 2 ? ?1? , 2 2 ? m2 2 ? m2

2 而 0 ? 2 ? m ? 2 ,故当 m ? 0 时, S 取最小值 2.

综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 27、圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最
2 2

x2 y 2 小时,切点为 P(如图) ,双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a b
(1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点, 若以线段 AB 为直径的圆心过点 P,求 l 的方程.

(Ⅰ)设切点坐标为 ( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) ,则切线斜率为 ?

x0 ,切线方程为 y0

y ? y0 ? ?

x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? y0 y ? 4 ,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角 y0
17

形面积为 S ?

1 4 4 8 ? ? ? .由 x02 ? y02 ? 4 ? 2 x0 y0 知当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 2 x0 y0 x0 y0

有最大值,即 S 有最小值,因此点 P 得坐标为 ( 2, 2) , 由题意知

?2 2 y2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 x ? ? 1. 解得 ,故 方程为 C a ? 1, b ? 2 a b ? 1 2 2 2 2 ?a ? b ? 3a ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C2 的焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) ,由此 C2 的方程为 其中 b1 ? 0 . 由 P( 2, 2) 在 C2 上,得

x2 y2 ? ?1, 3 ? b12 b12

2 2 ? 2 ?1, 2 3 ? b1 b1
x2 y 2 ? ?1 6 3

解得 b1 =3,因此 C2 方程为

2

显然,l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+ 3 ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? x ? my ? 3 ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? ?6 3
? 2 3m y ?y ?? 2 ? ? 1 2 m ?2 ? ? y y ? ?3 1 2 ? m2 ? 2 ?

得 (m2 ? 2) y2 ? 2 3my ? 3 ? 0 , 又 y1 , y2 是 方 程 的 根 , 因 此


, 由

x1 ?

m 13 ?y ,

2

?x

得 m ? 23

y



? 4 3 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? 2 ? ? m ?2 ? 2 ? x x ? m2 y y ? 3m( y ? y ) ? 3 ? 6 ? 6m 1 2 1 2 1 2 ? m2 ? 2 ?

③ ④

? B? P0 , 所 以 因 AP ? ( 2 ? x1, 2 ? y1 ), BP ? ( 2 ? x2 , 2 ? y2 ) 由 题 意 知 A P

x1 x2? 2 ( x1? x2 ) ? y1 y ? 2( y ? 2 1

y )2? 4 ? 0 ⑤ ,将①,②,③,④代入⑤式整

18

理得 2m2 ? 2 6m ? 4 6 ?11 ? 0 , 解得 m ?

3 6 3 6 ?1 或 m ? ? ? 1, 因此直线 l 的方程 2 2

为 x?(

3 6 3 6 ? 1) y ? 3 ? 0 ,或 x ? ( ? 1) y ? 3 ? 0 . 2 2

2 28、已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交

点为 Q,且 | QF |?

5 | PQ | . 4

(1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l 与 C 相较于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程.
'

解: (1)设 Q ( x0 , 4) ,代入 y 2 ? 2 px 得 x0 ? 所以 PQ ?

8 p

8 p p 8 , QF ? ? x p ? ? p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 ? ? ? .解得 p ? ?2 或 p ? 2 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y 2 ? 4 x
(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x ? my ? 1 ( m ? 0 ) 代入 y ? 4 x 得 y ? 4my ? 4 ? 0
2 2

设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 故 AB 的中点为 D (2m ? 1, 2m) . AB ?
2

m 2 ? 1 y2 ? y1 ? 4(m 2 ? 1)
1 y ? 2m 2 ? 3 m
19

又 l ' 的斜率为 ? m ,所以 l ' 的方程为 x ? ?

4 y ? 4(2m 2 ? 3) ? 0 m 4 设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) ,则 y3 ? y4 ? ? , y3 y4 ? ?4(2m 2 ? 3) m
将上式代入 y 2 ? 4 x ,并整理得 y 2 ?

1 4(m 2 ? 1) 2m 2 ? 1 ? 1 y4 ? y3 ? m2 m2 1 由于 MN 垂直平分 AB ,故 A 、M 、 B 、 N 四点在同一圆上等价于 AE ? BE ? MN 2 1 1 2 2 2 从而 AB ? DE ? MN ,即 4 4 2 2 4(m 2 ? 1) 2 (2m 2 ? 1) 2 4(m 2 ? 1) 2 ? (2m ? ) 2 ? ( 2 ? 2) 2 ? m m m2 化简得 m 2 ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?1 所求直线 l 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .
2 2 故 MN 的中点为 E ( 2 ? 2m 2 ? 3, ? ) . MN ? m m
29、 已知抛物线 C : y ? 2 px( p>0) 的焦点为 F ,A 为 C 上异于原点的任意一点, 过点 A
2

的直线 l 交于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有| FA ? FD ,当点 A 的横坐标为 3 时, ADF 为正三角形。 (I)求 C 的方程; (II)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (i)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ii) ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理 由.

20

解:( 1 )由抛物线第二定义得 : 23p p ? 3? 2 2

? p ? 2或p ? 18(舍) 当p ? 18时,经检验直线 l与C只有一个交点,不合题 意。 ? C的方程为:y 2 ? 4 x (2) (i )设A(x0 , y 0 ), F (1,0), D( x0 ? 1,0)
2 y0 4 设直线l的方程为y ? ? y 0 x ? b

直线l的斜率k ? ? y 0 , x0 ? ? l与C只有一个交点 ?y ? ? y0 x ? b ?? 2 ? y ? 4x ??0 ?b ? ? 1 y0

2 y0 1 2 E ( 2 ,? ), A( , y 0 ) y0 4 y0

k AE ?

4 y0 2 y0 ?2

30、已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个 a 2 b2

端点构成正三角形。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q。 (i)证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; (ii)当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标。 | PQ |

?c ? 2 2 ? ? ?a ? 6 ?? 2 解: (1)依条件 ? a ? 3b ?b ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 ? ?
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 6 2
21

(2)设 T (?3, m) , P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,又设 PQ 中点为 N ( x0 , y0 ) (i)因为 F (?2, 0) ,所以直线 PQ 的方程为: x ? my ? 2

? x ? my ? 2 ? 2 ? (m 2 ? 3) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 2 ?6

? ?? ? 16m 2 ? 8(m 2 ? 3) ? 24(m 2 ? 1) ? 0 ? 4m ? 所以 ? y1 ? y2 ? 2 m ?3 ? ?2 ? y1 y2 ? 2 ? m ?3 ?
于是 y0 ? 所以 N (

2m 2 ?6 y1 ? y2 2m , x0 ? my0 ? 2 ? 2 ?2? 2 ? 2 m ?3 m ?3 2 m ?3

?6 2m m , 2 ) 。因为 kOT ? ? ? kON 2 m ?3 m ?3 3

所以 O , N , T 三点共线 即 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) (ii) | TF |?

m 2 ? 1 , | PQ |?| y1 ? y2 | m 2 ? 1 ?
m2 ? 1 24(m ? 1) m2 ? 1 2 m ?3
2

24(m 2 ? 1) m2 ? 1 2 m ?3
2

所以

| TF | ? | PQ |

?

m2 ? 3 24(m ? 1)
2

,令 m ? 1 ? x ( x ? 1 )



| TF | x 2 ? 2 1 2 3 (当且仅当 x 2 ? 2 时取“ ? ” ) ? ? (x ? ) ? | PQ | 2 6 x 2 6 x 3

所以当

| TF | 最小时, x 2 ? 2 即 m ? 1 或 ?1 ,此时点 T 的坐标为 (?3,1) 或 (?3, ?1) | PQ |

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,右顶点为 A ,上顶点为 B . a 2 b2 3 | F1F2 | . 已知 | AB |? 2
31、 设椭圆 ⑴求椭圆的离心率; ⑵设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 F1 , 经过原点 O 的直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率.
22

解:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0). 由|AB|=
2 2

3 2 2 2 |F1F2|,可得 a +b =3c . 2
2

c2 1 又 b =a -c ,则 2= , a 2
2 . 2 2 2 2 2 (2)由(1)知 a =2c ,b =c . 所以椭圆的离心率 e= 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c), 有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有?=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因为点 P 在椭圆上, 所以 2+ 2=1.② 2c c 4 c 2 由①和②可得 3x0+4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c.代入①得 y0= ,即 3 3

x2

y2

x2 0

y2 0

? 4c c? 点 P 的坐标为?- , ?. ? 3 3?
4 c - c+0 +c 3 3 2 2 设圆的圆心为 T(x1,y1),则 x1= =- c,y1= = c,进而圆的半径 r= 2 3 2 3 (x1-0) +(y1-c) =
2 2

5 c. 3

|kx1-y1| 设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切,可得 = k2+1 ?k?-2c?-2c? ? ? ? ? 5 ? ? 3? 3? 2 r,即 = c,整理得 k -8k+1=0,解得 k=4± 15, 2 3 k +1 所以直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15. 32、 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆的 2 a b 2

焦点,直线 AF 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

23

【解析】 :(Ⅰ) 设 F ? c,0?

2 2 3 ,得 c ? 3 ? c 3
x2 ? y 2 ? 1. 4



c 3 , ? a 2

所以 a=2

b2 ? a 2 ? c2 ? 1 ,故 E 的方程

???.6 分

(Ⅱ)依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

x2 ? y 2 ? 1,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 将 y ? kx ? 2 代入 4
2 当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k ?

2

3 8k ? 2 4k 2 ? 3 时, x1,2 ? 4 1 ? 4k 2

从而 PQ ?

k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

4 k 2 ? 1 4k 2 ? 3 1 ? 4k 2
2 k 2 ?1
,所以 ? OPQ 的面积

又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?

S?OPQ

1 4 4k 2 ? 3 , ? d PQ ? 2 1 ? 4k 2

设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S?OPQ ?

4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
2

当且仅当 t ? 2 , k ? ?

7 等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大时, l 的方 2
??????????12 分

程为: y ?

7 7 x?2 或 y ? ? x ? 2. 2 2

2 y2 33、设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴

a

b

垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F 1 N ,求 a,b. (Ⅰ)根据 c=错误!未找到引用源。以及题设知 M(c,错误!未找到引用源。 ) ,2 错误!

24

未找到引用源。=3ac 将错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。代入 2 错误!未 找到引用源。=3ac,解得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引 用源。=-2(舍去) 故 C 的离心率为错误!未找到引用源。 (Ⅱ)由题意,原点 O 的错误!未找到引用源。的中点,M 错误!未找到引用源。∥y 轴, 所以直线 M 错误!未找到引用源。与 y 轴的交点 D 是线段 M 错误!未找到引用源。的中点, 故错误!未找到引用源。=4,即 错误!未找到引用源。 ① 由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。 设 N(x,y) ,由题意可知 y<0,则错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。 代入方程 C,得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 ② 将①以及 c=错误!未找到引用源。代入②得到错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =1 解得 a=7, 错误!未找到引用源。 a=7,错误!未找到引用源。
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 34、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1、F2 分别是椭圆 2 的左、右焦 a b2

点,顶点 B 的坐标为(0,b) ,连结 BF2 交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于 另一点 C,连结 F1C. (1) 若点 C 的坐标为(错误!未找到引用 源。 ,错误!未找到引用源。 ) ,且 BF2 = 错误! 未找到引用源。 , 求椭圆的方程; (2) 若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值。 (1)∵BF2 = 错误!未找到引用源。 , 将点 C(错误!未找到引用源。 ,错误! 未 找 到 引 用 源 。) 代 入 椭 圆
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 ,

y B C

F1

O

F2 A

x



16 ? 1 ? 1(a ? b ? 0) ,且 c?+b?=a? 9a 2 9b2

25

∴a=错误!未找到引用源。 ,b=1, ∴椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 2

2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 b2 (2)直线 BA 方程为 y=错误!未找到引用源。x+b,与椭圆 a 联

立得

错误! 未找到引用源。 x?错误! 未找到引用源。 x=0. ∴点 A (错误! 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ) ,∴点 C(错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ) F1(错误!未找到引用源。 )

直线 CF1 斜率 k=错误! 未找到引用源。 , 又∵F1C⊥AB , ∴错误! 未找到引用源。 ? 错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。

∴错误!未找到引用源。=1,∴e=错误!未找到引用源。 35、已知椭圆 C : x
2

? 2 y2 ? 4 ,
? 2 上,且 OA ? OB ,求直线 AB

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y 与圆 x
2

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.
x2 y 2 ? ?1。 4 2
2

解: (I)由题意,椭圆 C 的标准方程为
2 2

2 2 所以 a ? 4, b ? 2 ,从而 c ? a ? b ? 2 。因此 a ? 2, c ?

2。

故椭圆 C 的离心率 e ?

c 2 ? 。 a 2

(Ⅱ) 直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。证明如下:
2 2

设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (t , 2) ,其中 x0 ? 0 。

26

因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?

2 y0 。 x0

当 x0 ? t 时, y0 ?

t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2

故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 。圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 此时直线 AB 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切。 当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ?

2。

y0 ? 2 (x ? t) , x0 ? t

即 ( y0 ? 2) x ? ( x0 ? t ) y ? 2x0 ? ty0 ? 0 , 圆心 0 到直线 AB 的距离

d?

2 x0 ? ty0 ( y0 ? 2) 2 ? ( x0 ? t ) 2

又 x02 ? 2 y02 ? 4 , t ? ?

2 y0 故 x0

2 x0 ? d?
2 2

2 y0 2 x0

4y 2 x0 ? y0 ? 0 ?4 x0 2
2 2

?

4 ? x0 x0 x0 4 ? 8 x0 2 ? 16 2 x0 2

? 2

此时直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。

36、已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5,0) ,离心率为 , 2 3 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹 方程。 【解析】 (1)可知 c ? 5 ,又 c ?

a

5 ,? a ? 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 3

x y ? ?1; 9 4 (2)设两切线为 l1 , l2 ,
椭圆 C 的标准方程为 ①当 l1 ? x 轴或 l1 / / x 轴时,对应 l2 / / x 轴或 l2 ? x 轴,可知 P(?3, ?2) ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时, x0 ? ?3 ,设 l1 的斜率为 k ,则 k ? 0 , l2 的斜率为 ? 1 ,

2

2

k

27

x2 y 2 ? ?1, 9 4 得 (9k 2 ? 4) x2 ? 18( y0 ? kx0 )kx ? 9( y0 ? kx0 )2 ? 36 ? 0 ,

l1 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立

因为直线与椭圆相切,所以 ? ? 0 ,得 9( y0 ? kx0 )2 k 2 ? (9k 2 ? 4)[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 ,

??36k 2 ? 4[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 , ?( x02 ? 9)k 2 ? 2x0 y0k ? y02 ? 4 ? 0
所以 k 是方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的一个根, 同理 ? 1 是方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的另一个根,

k y0 2 ? 4 1 ,得 x02 ? y02 ? 13 ,其中 x0 ? ?3 , ? k ? (? ) ? 2 k x0 ? 9
所以点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 13 ( x ? ?3 ) ,
2 2 2

因为 P(?3, ?2) 满足上式,综上知:点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 13 .
2

28


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