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湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析

湖南省衡阳市第一中学 2018-2019 学年高一上学期期中考试

数学试题

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1.已知全集U ? ?1, 2,3, 4,5?,集合 A ? ?1, 2,5?, B ? ?2, 4? ,则 (CU A) B 为( )

A.?1, 4,5?

B.?4?

C.?2,3, 4?

D.?1, 2, 4,5?

2.函数 f (x) ? log2(x?3) ? 1? x 的义域为( )

A. (?3,1)

B. (?3,1]

C.[?3,1)

D.[?3,1]

?

3.设

f

(x)

?

? ?

1? 1 ,x ?1 x

,则 f ( f (2)) 的值为(



??log3(x2 ?1) , x ? 1

A.0

B.1

C. 3 2

D.2

4.下列函数中为偶函数且在 (0, ??) 上为增函数的是( )

A. f (x) ? 2 x

B. f (x) ? x ?1

C. ?x2 ?1 D. f (x) ? log2 x

5.下列选项中,表示的是同一函数的是( )

A. y ? ( x )2 与 y ? x2

B. y ? lg x 与 y ? 1 lg x2 2

C.

y

?

x



y

?

? x, x ? 0 ???x, x ? 0

D. y ? x2 ?1 与 y ? x ?1 x ?1

6.已知 a ? log0.2 3 , b ? 30.2 , c ? 0.30.2 ,则 a,b,c 的大小关系为( )

A.a<b<c

B. a<c<b

C. b<c<a

D. b<a<c

7.函数 f (x) ? ln x ? 3x ? 6 的零点所在的大致区间是( )

A. (1, 2)

B. (2,3)

C. (3, 4)

D. (e,3)

8.函数 f (x) ? (3? x2)ln( x ) 的图象大是( )

9.已知集合 A ? ?1, 2,3? ,非空集合 B 满足 A B ? ?1, 2,3? ,则集合 B 有( )个.

A.3

B.6

C.7

D.8

10.定义在[0, ??) 上的単调减函数 f (x) ,若 f (2 a ?1) ? (f )1 ,则 a 的取值范围是( ) 3

A. (??, 2) 3

B. (1 , 1) 23

C. (2 , ??) 3

D.[1 , 2) 23

11.对于定义域为 R 的函数 f (x) ,若存在非零实数 x0 ,使函数 f (x) 在 (??, x0 ) 和 (x0, ??)

上与 x 轴都有交点,则称 x 为函数 f (x) 的一个“界点.则下列四个函数中,不存在“界点"的

是( )

A. f (x) ? x3

B. f (x) ? x2 ? bx ? 2(b ? R)

C. f (x) ?1? x ? 2

D. f (x) ? 2x ? x2

? x ?1 , x ? 0

12.已知函数

f

(

x)

?

? ?

log

x 2

,

x

?

0

,若

f (x1) ?

f

(x2 ) ?

f (x3 ), (x1, x2 , x3 互不相等),则

x1 ? x2 ? x3 的取值范围是( )

A. (?2, 0]

B. (?1, 0)

C. (?1, 0]

D. (?2,0)

二、填空题:本题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分.

13.已知幂函数 f (x) 的图象经过 ( 3, 3) ,则函数 f ( 2) ? _____.

14.函数 f (x) ? 2ax?1 ?1(a ? 0 且 a ? 1) 的图象过定点,这个点的坐标为______.

15.函数

f

m (x) ?1? 1? 2x

是奇函数,则 m 的值为__________.

16.己知函数

f

(x)

?

log

( 2

ax2

?

x?a

)

的值域为

R,则实数

a 的取值范围是_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明,演算步骤或证明过程.

17.(10 分)计算:

1

3

(1) 0.0273 ? 42 ? 2(

3?

2)0 ? 5?1; (2)

lg

25

?

lg

4

?

log

9 4

?

log196

.

18.(12 分)已知集合 A ? ?x ? 2 ? x ? 3? ,集合 B ? ?x x ?1? ,集合 C ? ?x x ? a?.
(1)求 A B, A B ; (2)设全集为 R,若 A ? CRC ,求实数 a 的取值范围.
19. (12 分)已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时,函数的解析式为 f (x) ? x ? 3 ?1. x
(1)用定义证明 f (x) 在 (0, ??) 上是增函数;(2)求 f (x) 在 R 上的解析式.
20.(12 分)已知二次函数的零点为 0 和 2,且 f (1) ? ?1.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若函数 g(x) ? f (x) ? 2ax ? 2 ,求 g(x) 在[1, 2] 的最小值.

21.(12 分)小王想进行理财投资,根据长期收益率市场顶测,投资 A 类产品和 B 类产品

的收益分别为

y1 ,

y2

(万元),它们与投资额

x(万元)存在如下关系式:

y1

?

1 2

x

?

60



y2 ? 70 ? 6 x ,小王准备将 200 万元资金投入 A、B 两类理财产品,公司要求每类产品的

投资金额不能低于 25 万元

(1)若对 B 类产品的投资金额为 x(万元),求总收益 y(万元)关于 x 的函数关系式;

(2)请你帮助小王预算如何分配投资资金,才能使总收益最大,并求出最大总收益.

22.(12 分)定义在 R 上的函数 y ? f (x), f (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, f (x) ?1 ,且对任意的 a,b ? R 有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b). (1)求 f (0) 的值; (2)求证:对任意的 x ?R ,恒有 f (x) ? 0 ; (3)若 f (k ? 4x ? 2) ? f (3 ? k ? 2 x) ?1 在 R 上恒成立,求 k 的取值范围.

一、选择题

【参考答案】

二、填空题

三、解答题


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