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高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法


函数的定义域与值域的常用方法 (一)求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形 式是 y=f(x) ,不能把它写成 f(x,y)=0; 2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定 义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形; 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出 y。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数 f[g(x) ]的表达式,求 f(x)的表达式时可以令 t=g(x) ,以换元法 解之; (4)构造方程组法:若给出 f(x)和 f(-x) ,或 f(x)和 f(1/x)的一个方程,则可以 x 代换-x(或 1/x) ,构造出另一个方程,解此方程组,消去 f(-x) (或 f(1/x) )即可求出 f(x)的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列 出等式,解出 y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的 范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负 数,等等; 4、对复合函数 y=f[g(x) ]的定义域的求解,应先由 y=f(u)求出 u 的范围,即 g(x)的范围,再从中 解出 x 的范围 I1;再由 g(x)求出 y=g(x)的定义域 I2,I1 和 I2 的交集即为复合函数的定义域; 5、分段函数的定义域是各个区间的并集; 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在 叙述结论时分别说明; 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作 为该函数的定义域; (三)求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示; 2、在函数 f:A→B 中,集合 B 未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为 C,则 C 是 B 的子集;若 C =B,那么该函数作为映射我们称为“满射” ; 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集; 4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述; 5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;

6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;

(四)求函数的最值 1、设函数 y=f(x)定义域为 A,则当 x∈A 时总有 f(x)≤f(xo)=M,则称当 x=xo 时 f(x)取最大值 M;当 x∈A 时总有 f(x)≥f(x1)=N,则称当 x=x1 时 f(x)取最小值 N; 2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题; 3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】 考点一:求函数解析式 1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。 例 1. 已知函数 y=f(x)满足 xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。 解:由 4x2-9y2=36 可解得:

? 2 x2 ? 9 ,x ? 3 ?? 2 x2 ? 9 ? 3 y?? ?? 3 ? 2 x2 ? 9 , x ? ?3 ? 3 ? 。

y??
说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成

2 x2 ? 9 3 的形式。

2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个 参变量的值。 例 2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量 y 与该段河流的平均深度 x 成反比,又测得该段河流某段平均 水深为 2m 时,水流量为 340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

y?
解:设

k 780 y? ,x ?0 x ,代入 x,y 的值可求得反比例系数 k=780m3/s,故所求函数关系式为 x 。

3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。

f(
例 3. 已知

x ? 1 x2 ? x ? 1 )? x x2 ,试求 f ( x ) 。

t?
解:设

x ?1 1 x? 2 2 x ,则 t ? 1 ,代入条件式可得: f (t ) ? t ? t ? 1 ,t≠1。故得: f ( x) ? x ? x ? 1, x ? 1 。

说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。

4、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联

立求解。

1 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 5 x 例 4. (1)已知 ,试求 f ( x ) ;
2 (2)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 4x ? 5 ,试求 f ( x ) ;

1 1 1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? 3 2 ? 4 ? 5 x x x 解: (1)由条件式,以 x 代 x,则得 ,与条件式联立,消去

?1? f? ? ? x ? ,则得:

f ? x? ?

2 8 4x 5 ? ? x2 ? ? 2 x 3x 3 3。

2 f ? ?x? (2)由条件式,以-x 代 x 则得: f (? x) ? 2 f ( x) ? 3x ? 4 x ? 5 ,与条件式联立,消去 ,则得:

f ? x ? ? x2 ? 4x ?

5 3。

说明: 本题虽然没有给出定义域, 但由于变形过程一直保持等价关系, 故所求函数的定义域由解析式确定, 不需要另外给出。

5、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合 理设置变量,建立等量关系。 例 5. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 出发,顺次经过 C、D 再到 A 停止。设 x 表示 P 行驶的 路程,y 表示 PA 的长,求 y 关于 x 的函数。

解:由题意知:当 x∈[0,1]时:y=x; 当 x∈(1,2)时: y ? 当 x∈(2,3)时: 故综上所述,有

x2 ? 1 ;

y?

?3 ? x ?

2

?1



? x, x ? ? 0,1? ? ? y ? ? x 2 ? 1, x ? (1, 2] ? 2 ? ? ? 3 ? x ? ? 1, x ? (2,3]
考点二:求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析 变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

y ? x?2 ?
例 6. 求

x?3 x ?4

的定义域。

? ?x ? 2 ? 0 ? ?x ?4 解:由题意知: ? ,从而解得:x>-2 且 x≠±4.故所求定义域为:
{x|x>-2 且 x≠±4}。

2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。 例 7. 已知函数由下表给出,求其定义域 X Y 1 22 2 3 3 14 4 35 5 -6 6 17

解:{1,2,3,4,5,6}。

3、求与复合函数有关的定义域:由外函数 f(u)的定义域可以确定内函数 g(x)的范围,从而解得 x∈I1, 又由 g(x)定义域可以解得 x∈I2.则 I1∩I2 即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求 解。

例8 已知f ( x) ? x ? 3, g ( x) ?

x x2 ? 4 x ? 3

, 求y ? f ( g ( x))的定义域.
x ?3 ?

由f ( x) ? x ? 3 ? x ? 3 ? g ( x) ? 3 ?
解: 又由于 x2-4x+3>0 联立*、**两式可解得: **

x2 ? 4 x ? 3

9?3 3 9?3 3 ? x ? 1或3 ? x ? 4 4 ? 9?3 3 ? 9?3 3? ? 故所求定义域为 ? x | ? x ? 1或3 ? x ? ? 4 4 ? ? ? ?
例 9. 若函数 f(2x)的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域。 解:由 f(2x)的定义域是[-1,1]可知:2 1≤2x≤2,所以 f(x)的定义域为[2 1,2] ,故 log2x∈[2
- - -1

,2] ,解得 2 ? x ? 4 ,故定义域为 ?

? 2, 4? ?。

4、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。

例 10. 求函数 f ( x) ? ax ? 1 的定义域。 解:若 a ? 0 ,则 x∈R; 若 a ? 0 ,则 x ? ? ; 若 a ? 0 ,则 x ? ? ; 故所求函数的定义域: 当 a ? 0 时为 R,当 a ? 0 时为 ? x | x ? ? ? ,当 a ? 0 时为 ? x | x ? ? ? 。 说明: 此处求定义域是对参变量 a 进行分类讨论, 最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式, 必须根据 a 的不同取值范围分别论述。

1 a
1 a

? ?

1? a?

? ?

1? a?

考点三:求函数的值域与最值 求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们 将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法

y?
例 11. 求函数

2x ? 3 x ? 1 的值域。

y?
解:

2 x ? 3 2 ? x ? 1? ? 1 1 1 ?0 ? ? 2? x ?1 x ?1 x ? 1 ,因为 x ? 1 ,故 y≠2,所以值域为{y|y≠2}。

说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量 x,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行 求解。

2、配方法 例 12. 求函数 y=2x2+4x 的值域。 解:y=2x2+4x=2(x2+2x+1)-2=2(x+1)2-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。 说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为二次函数的函数 的值域也可采用此方法求解,如 y=af2(x)+bf(x)+c。

3、判别式法 例 13. 求函数 y ?

x2 ? 2 x ? 3 的值域。 4 x2 ? 5x ? 6

y?
解:

x2 ? 2 x ? 3 4 x 2 ? 5 x ? 6 可变形为: (4y-1)x2+(5y-2)x+6y-3=0,由Δ ≥0 可解得:

? 26 ? 6 3 26 ? 6 3 ? y?? , ? 71 71 ? ? 。
说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意两点:第一,其定 义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就不能 用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形 为一个关于 x 的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故Δ ≥0。

4、单调性法 例 14. 求函数 y ?

?2 ? 3 ,x∈[4,5]的值域。 x

y?
解:由于函数

?2 5 13 ?3 x 为增函数,故当 x=4 时,ymin= 2 ;当 x=5 时,ymax= 5 ,所以函数的值域为

? 5 13 ? , ? ?2 5 ? ?。
5、换元法 例 15. 求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域。 解:令 t ? 1 ? x ? 0 ,则 y=-2t2+4t+2=-(t-1)2+4,t≥0,故所求值域为{y|y≤4}。

6、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。

? x, x ? [1, 2] ? 2 例 16. 求函数 y ? ? x , x ? (2,3] 的值域。 ?2 x ? 1, x ? (3, 4] ?
解:当 x∈[1,2]时,y∈[1,2] ;当 x∈ ( 2,3]时,y∈ ( 4,9] ;当 x∈ ( 3,4]时,y∈ ( 5,7] 。综 上所述,y∈[1,2]∪ ( 3,9] 。 7、图像法:
2 ? ? x , x ≥ 2, 例 17 设 f(x)= ? 若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则函数 y=g(x)的值域是 ? ? x , x <1,

(

)

A.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.[0,+∞)

B.(-∞,-1]∪[0,+∞) D.[1,+∞)

解析:如图为 f(x)的图象,由图象知 f(x)的值域为(-1,+∞), 若 f(g(x))的值域是[0,+∞),只需 g(x)∈(-∞,-1]∪[0,+∞).

故选 B. 8、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值 域。 例 18 求函数 y ?

1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x

解:由 y ?

1? y 1 ? 2x x 解得 2 ? , x 1? y 1? 2

∵ 2 ? 0 ,∴
x

1? y ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 1? y

∴函数 y ?

1 ? 2x 的值域为 y ? (?1,1) 。 1 ? 2x

9、有界性求法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例 19:求函数 y ?

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得 ( y ?1) x2 ? ?( y ? 1) , ∵ y ? 1 ,∴ x ? ?
2

y ?1 ( x ? R , y ? 1) , y ?1

∴?

y ?1 ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 , y ?1
x2 ?1 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x2 ? 1

∴函数 y ?


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