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1.1.1引言、柱、锥、台球的结构特征

1.1.1 引言、柱、锥、台球的结构特征
一、【教学目标】 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征. 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括. 知识点:让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的结构特征. 能力点:培养学生的观察、分析、概括问题的能力,以及类比的思想方法. 教育点:使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性. 自主探究点:通过图片及实物模型进行观察分析,增强学生的直观感知. 考试点:认识空间几何体及其结构特征,会辨认其相互之间的区别与联系. 易错易混点:能根据几何结构特征对空间物体进行分类. 拓展点:柱、锥、台体之间的区别与联系. 二、【引入新课】 在我们周围存在着各种各样的物体,他们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状与 大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 本节我们就来认识一下几种最基本的空间几何体. 【师生活动】教师出示投影片图 1. 1-1,按小组分给学生实物,引导学生从空间几何体的名称,结构 特征,与平面图形的联系以及组成几何体的每个面的特点,面与面的关系等方面进行观察、思考. 师生——学生讨论并尝试回答,教师引导学生观察图 1. 1-1 中(2) (5) (7) (9) (13) (14) (15) (16)与 (1) (3) (4) (6) (8) (10) (11) (12)的不同,然后给出多面体的定义和旋转体的定义,教师要在引导 学生感知其形成过程的基础上加以理解. 一般地,我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图 1.1-2) .围成多面体的各个多边 形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. (2) (5) (7) (9) (13) (14) (15) (16)这些物体都具有多面体的形状.

D'

C' 棱

A' D

B' C 面

A

B

顶点

我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体(如图 1.1-3) .这条定直线叫做旋转体的轴. (1) (3) (4) (6) (8) (10) (11) (12)这些物体都具有旋转体的形 状. 【设计意图】通过具体的实物及实物图象,引导学生主动地对图形及实物进行观察、分析、比较,并

由图形的特点进行分类, 根据不同类别图形的特点, 抽象概括出多面体与旋转体的定义, 培养学生的观察、 分类、概括能力. 【设计说明】给学生实物模型更有助于学生形成立体的想象图形. 三、【探究新知】 探究 1:棱柱的结构特征 【师生活动】通过观察图 1. 1-1 中的(2) (5) (7) (9) ,你能根据其结构特点概括出棱柱的定义吗? 师生——学生分成小组对这两种模型进行观察、 讨论, 概括出这两种几何体 D′ E′ 的结构特点,并由此得出棱柱的定义. 顶点 C′ F′ A′ B′ 一般地,有两个面互相平行;其余各面都是四边形,并且每相邻的两个 四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 两个相互 平行的面叫底面; 其余各面叫棱柱的侧面; 相邻侧面的公共边叫棱柱的侧棱; 侧棱 侧 E 侧面与底面的公共顶点叫棱柱的顶点. 面 F D 思考:两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,由这些面围成的几 C 何体是否一定是棱柱? A B 底面 学生活动,讨论交流,展示成果:不一定,教师展示右图,学生一目了 然. 教师强调要求学生对于理解、掌握棱柱的定义要注意以下两点:一是要有两个面 互相平行;二是其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行. 棱柱的分类:底面是三角形、四边形、五边形??的棱柱分别做三棱柱、四棱柱、 五棱柱??. 棱柱的表示:底面各顶点的字母表示棱柱,图 1.1-4 可表示为六棱柱 ABCDEF ? A?B?C ?D?E ?F ? 说明——棱柱的分类的关键是由底边的边数确定的,并了解通常用表示底面各顶点的字母表示棱柱, 进一步用符号语言、图形语言刻画棱柱,培养学生的观察、分析问题的能力及合作学习的习惯. 师生——学生个别发言,老师总结,并强调判断图形是否为棱柱的关键是首先观察这个图形是否是多 面体,然后看图形是否满足棱柱的定义. 【设计意图】通过引导学生对长方体的包装盒、螺丝帽模型等具体的实物进行观察、比较、分析,一 方面进一步感知多面体的定义,另一方面可引导学生抽象出棱柱的定义,分析其结构上的共同点,分类的 原则,培养学生的观察、分析、解决问题的能力. 探究 2:棱锥的结构特征 【师生活动】教师出示投影片图 1. 1-1,引导学生通过观察(14)、(15),指出其结构特点与棱柱的区别 与联系,由学生通过合作学习,自己归纳出棱锥的结构特点学生分组讨论,通过比较分析,得到(14)、(15) 与棱柱的共同点是,其各个面均由平面图形围成,不同点是只有一个面是多边形,其余各面都是三角形, 并且这些三角形都有一个公共顶点. S 顶点 一般地,有一个面是多边形;其余各面都是有一个公共顶 侧面 点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形 侧棱 D 面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥 C 的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共 底面 边叫做棱锥的侧棱. A B 棱锥的分类:底面是三角形、四边形、五边形??的棱锥 P 分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥??. 师生——学生通过对棱锥与棱柱的不同点进行总结, 进一步概括出棱锥 的定义,思考:有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体一定是棱 E D C 锥吗? 学生讨论、交流,反馈. B A 教师总结,如右图.

教师强调在理解棱锥的定义时要注意以下两点:一是有一个面是多边形;二是其余各面都是有一个公 共顶点的三角形. 棱锥的表示:用表示顶点和底面各顶点的字母来表示,图 1. 1-5 可表示为四棱锥 S-ABCD. 【设计意图】 通过引导学生把投影片图 1.1-1 中(14)、 (15)的结构特点与棱柱的结构特点进行分析总结, 让学生利用类比的思维方法,探索出棱锥的定义、结构特点以及表示方法,培养学生自主探索的学习习惯 和分析问题、解决问题的能力. 探究 3:棱台的结构特征 【问题】出示投影片图 1.1-1 中(13)、(16),分析它们与棱锥有何关系? 【师生活动】学生自主发言,教师及时点评得出棱台的定义、结构名称、分类标准以及表示方法,可 以借助投影片图 1. 1-6,让学生对棱台的结构名称进一步地认识,另外注意结合棱柱及棱锥的结构名称、 分类标准及表示方法理解认识棱台的结构名称、分类标准以及表示方法.在学习时一定要注意比较方法的 运用,尤其要注意棱台与棱锥结构特点的区别与联系. O 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间 的部分,这样的多面体叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做 C' D' A' 棱台的下底面和上底面. 上底面 B' 棱台的分类:底面是三角形、四边形、五边形??的棱台 C 分别叫做三棱台、四棱台、五棱台??. D 棱台的表示:用各底面顶点字母表示,图 1.1-6 可表示为 下底面 A 四棱台 ABCD ? A?B?C ?D? . B 【设计说明】通过学生对投影片图 1. 1-1 中(13)、(16)进行观察、分析,类比与棱柱及棱锥的联系与区 别,得出棱台的概念、结构名称以及分类标准,培养学生自主学习能力及独立思考的习惯.通过比较进行 学习,便于知识的建构. 【师生活动】反思:结合结构特征,从变化的角度思考,棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它们在结构 上有哪些相同点和不同点?三者之间有什么关系?当底面发生变化时,它们能否相互转化? 教师提示学生从棱柱、棱锥、棱台的底面来寻找这三个几何体的关系,让学生自己观察总结. 【设计意图】让学生在变化中认识多面体,以联系的观点学习新知. 探究 4:圆柱的结构特征 【师生活动】师生共同观察讨论圆柱的结构特征和构成方式,以教师引导、展示实物和图片为辅,学 生观察、讨论总结为主.在(1) (3) (4) (6) (8) (10) (11) (12)这些旋转体中,观察(1) (8)具有什 么样的共同外部特征? 【设计意图】让学生在仔细观察,细心分析后从外部特征和构成方式两方面得出圆柱的结构特征,对 圆柱的特征有进一步的认识. 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的的面所 围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴; 垂直于轴的边旋转而 成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的面叫圆柱的侧 面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 思考:圆柱还可以以什么平面图形通过怎样的旋转得到呢? 学生思考,讨论交流反馈:以矩形的对称轴所在的直线一周 表示:圆柱用表示轴的字母表示为圆柱 oo . 规定:圆柱和棱柱统称为柱体. 探究 5:圆锥的结构特征 【师生活动】教师展示图片和实物,引导学生观察总结圆锥的结构特征. 【设计意图】让学生类比圆柱的特征及构成方式自主探究讨论圆锥,培养 学生类比、观察、总结能力.
A O B S

'

思考:与圆柱一样,圆锥也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义,你能定义什么是圆锥以及 圆锥的轴,底面、侧面、母线吗?试在旁边的图中标出来. 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆 锥.旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面成为圆锥的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而 成的曲面叫圆锥的侧面, 圆锥的侧面又称圆锥的面, 无论旋转到什么位置, 这条边都叫做圆锥侧面的母线. 圆锥也可用它的轴的字母表示,如图可表示为圆锥 SO . 思考:圆锥还可以以什么平面图形通过怎样的旋转得到呢? 学生思考,讨论交流反馈:等腰三角形绕其底边上的高所在的直线一周 棱锥和圆锥统称为锥体. 【设计说明】学生容易将圆锥的构成总结成以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转得 到,教师提醒学生改正. 探究 6:圆台的结构特征. 【师生活动】 教师展示图片和实物, 给出讨论问题让学生分组讨论, 总结圆台的结构特征和构成方式. 【设计意图】让学生从不同角度讨论圆台,培养学生应用旧知学习新知的能力,让学生重视温故而知 新的学习规律. 类比棱锥截得棱台, 圆台也可以由圆锥截得的. 用一个平行于底面的 平面截圆锥,截面与底面之间的部分叫做圆台.圆台也有轴、底面、侧面、 母线.在图中标出它们.圆台表示为圆台 oo ,棱台与圆台统称为台体. 思考:除了由圆锥截得,圆台也是旋转体.它是什么平面图形通过怎 样的旋转得到的呢? 学生思考,讨论交流反馈:圆台是以一个直角梯形的一直角腰所在的直线 为旋转轴,其余三边旋转而形成的面围成的旋转体. 【师生活动】反思:结合结构特征,从变化的角度思考,圆台、圆柱、 圆锥它们在结构上有哪些相同点和不同点?三者之间有什么关系?当底 面发生变化时,它们能否相互转化? 教师提示学生从旋转得到圆柱、圆锥、圆台的三个平面图形来寻找这三个 几何体的关系,让学生自己观察总结. 【设计意图】让学生在变化中认识旋转体,以联系的观点学习新知. 探究 7:球的结构特征 【师生活动】教师展示球体模型,让学生给出球的定义,讨论旋转体不同的旋转方 式. 【设计意图】让学生在自己的认知基础上想象球体的特征.. 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体,简 称为球.半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直 径.我们通常用球心表示球,如球 O . 【设计意图】完善知识点. 思考:如果用一个平面去截球体,得到的截面是什么图形?截面一样大吗? 学生思考,讨论交流. 【设计意图】以立体问题转化成平面问题的思想进一步了解球的结构特征. 过球的轴的截面圆最大或过球心的截面圆最大.我们把过球心的截面叫大圆,不过球心的叫
' ' 小圆.小圆的圆心记做 O ,球心记做 O ,设 OO ? d ,球小圆半径为 r ,球半径为 R ,那么

'

半径

球心

d2 ? ?
【设计说明】通过学生自主操作,体会旋转几何体的结构特征,让学生对圆柱、圆锥、 圆台、球的形成有一个初步的直观认识,培养了学生的空间想象及实际动手能力. 四、【理解新知】 师总结:①多面体与旋转体的定义. ②棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球,它们的定义、结构特征、分类及表示方法. 【设计意图】通过对本节课的小结,让学生建构自己的知识树.让学生充分讨论并发表自己的意见, 师生共同交流、总结. 五、【运用新知】

例 1 对于下图所给出的四个几何体,判断下列说法是否正确.(在括号内填“√”或“×”)

①图 A 中的几何体是棱柱 ( ) ②图 B 中的几何体是棱柱 ( ) ③图 C 中的几何体是圆台 ( ) ④图 D 中的几何体是棱锥 ( ) 【设计意图】进一步熟悉柱、锥、台、球的结构特征. 【解析】根据各几何体的结构特征进行判断可得①④正确,②③错误. 答案:①√ ②× ③× ④√ 例 2 下列结论中正确的是( ) (A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥 (B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 (C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥 (D)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 【设计意图】根据常见几何体的结构特征,借助于常见的几何模型进行判断 【规范解答】选 D.当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时,尽管各面 都是三角形,但它不是三棱锥,故 A 错误;若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边 所在直线,所得几何体就不是圆锥,B 错误;若六棱锥的所有棱都相等,则底面多边形是正六边形,由几 何图形知,若以正六边形为底面,则棱长必然要大于底面边长,故 C 错误. 【反思·感悟】要明确柱体、锥体、台体和球的结构特征,认识和把握几何体的结构特征是认识空间 几何体的基础和关键;对于几何体的结构特征要从反映的几何体的本质去把握,有利于从中找到解题的突 破点. 变式训练:有下列四种说法: ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体; ②以直角三角形的一直角边为旋转轴,旋转所得几何体是圆锥; ③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交; ④圆锥的底面是圆面,侧面是个曲面.. 其中错误的有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 答案:选 C 六、【课堂小结】 教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法? 学生作答:多面体、旋转体的定义;棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和有关概 念.类比的思想方法. 教师总结: 1、注意观察分析立体图形的特征,培养空间想象能力;2、数形结合的思想. 【设计意图】 加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” . 七、【布置作业】 必做题 P8 –P9 A 组习题. 1. 判断: (1)在圆柱的上下底面上各取一点,这两点的连线是圆柱的母线. ( ) (2)圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形. ( ) (3)与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形. ( ) 2. 下列三个命题,其中正确的有( )

(1)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; (2)两个地面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; (3)有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 3. Rt ?ABC 三边长分别为 3、4、5,绕着其中一边旋转得到圆锥,对所有可能描述不对的是( ). A.是底面半径 3 的圆锥 B.是底面半径为 4 的圆锥 C.是底面半径 5 的圆锥 D.是母线长为 5 的圆锥 4. 用一个平面截半径为 25cm 的球,截面面积是 49? cm 2 ,则球心到截面的距离为多少? 选作题: 1. 如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角 ( 圆锥轴截面中两条母线的夹角 ) 的度数是 __________. 2. (2011· 广东高考)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( ) A.20 B.15 C.12 D.10 3. 已知长方体的长宽高之比是 4 : 3: 2 6 ,对角线长为 14cm,则长宽高分别是多少? 4. 给出下列命题: ①在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点,它们可能是正四面体的 4 个顶点;②底面是等边三角形, 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④一个 棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直;⑥所有侧面都是正方形的四棱 柱一定是正方体. 其中正确命题的序号是________. 【设计意图】分层布置作业,让学生结合自身情况复习巩固本节内容. 八、【教后反思】 本设计先展示大量几何体的实物、模型、图片等,让学生直观感受空间几何体的整体结构,然后再引 导学生抽象出空间几何体的结构特征,之所以这样安排,是因为先从整体上认识空间几何体,再深入细节 的认识,更符合学生的认知规律. 本教案的亮点在于在教学中始终以学生为中心,给学生留下足够的时间供其操作,思考,交流,学生 的探索及自主学习能力都能得到提升.在设计中运用了类比的思想方法,有利于学生对知识的整体建构. 本教案的不足,这样安排课堂容量过大,信息量较多,环节之间,知识点之间比较紧凑,没能留足够 的时间让学生回味,课下学生还需时间来消化这些知识点. 九、【板书设计】 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、多面体 1、棱柱 二、旋转体 1、圆柱 2、圆锥 2、棱锥 3、圆台 例 2、 3、棱台 4、 球 例 1、


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