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数学总复习第五讲函数的值域与零点


第5讲

函数的值域与零点 函数的值域与零点

【基础内容梳理】 基础内容梳理】 1.求函数值域 的方法有:直接法、配方法、换元法、图像法、单调性法、判别式法等。 2.分式函数的值域. m ax + b 在某一区间上的值域,应先变形为 分离常数法:若求函数 y = 再求. k+ cx + d cx + d 3.二次函数的值域. 4.“对号”函数的值域. 5.一般地,如果函数 y = f (x ) 在实数 a 处的值为 在坐标系中表示图像与 x 轴的公共点为(a,0) 。 6. 如果函数 y = f (x ) 在一个区间[a,b]上的图像不间断,并且在它的两个端点处的函数值 即 , 则这个函数在这个区间上, 至少有一个零点, 即存在一点 x0 ∈ ( a, b) , 使 , ,即 则 a 叫做这个函数的零点。

这样的零点叫做变号零点。 例 1 求下列分式函数的值域. (1) y =

1 x

(2) y =

1 x +1

(3) y =

1 x +1 +1 ( y = ) x x

(4) y =

1 x+2 +1 ( y = ) x +1 x +1

(5) y =

3x + 7 x+2

(6) y =

3x + 7 , x ∈ (0,+∞) x+2

(7) y =

3x + 7 , x ∈ [?4,?2) x+2

【即时巩固】 即时巩固】 1.求下列分式函数的值域. (1) y =

1 , x ≤ ?1 x 1 x ?1

(2) y =

1 , x ∈ [1,2] x 2x + 1 x +1

(3) y =

(4) y =
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(5) y =

3? x , x ≤ ?1 x ?1

(6) y =

3? x ,x ≥ 0 x +1

例 2 求下列函数的值域. (1) y = x ? 4 x + 6
2

(2) y = x ? 4 x + 6 , x ∈ [1,5)
2

(3) y =

1 x ? 4x + 6
2

(4) y = 3 + 5 ? 4 x ? x

2

【即时巩固】 即时巩固】 2.求下列函数的值域. (1) y = x 2 ? 2 x ? 3 (2) y = x 2 ? 2 x ? 3 , x ∈ (?∞,0]

2 (3) y = x ? 2 x ? 3 , x ∈ [0,+∞)

(4) y = x 2 ? 2 x ? 3 , x ∈ [?1,3]

(5) y =

1 x + 2x ? 2
2

例 3 求函数 y = x +

1 1 , x ∈ (?2,? ] 的值域. x 3

【即时巩固】 即时巩固】 3.求函数 y = x +

4 , x ∈ (0,1] 的值域. x x2 + 2x + 3 ( x ∈ [2, +∞)) 的值域. x

4. 求函数 f ( x ) =

第2页 共5页

5. 求函数 f ( x ) =

x 的值域. x + 2x + 3
2

例 4 (1)求函数 f ( x) = x ? 2 x ? 1 在区间 [t , t + 1] 上的最小值.
2

(2)求函数 f ( x ) = x 2 ? 2 x ? 1 在区间 [t , t + 1] 上的最大值.

(3)已知 f ( x ) = x 2 ? 2λx + 2 在 x ∈ [1,3] 上的最小值是 2,求 λ 的值.

【即时巩固】 即时巩固】 6.求 f ( x ) = ? x 2 + x ? 2 , x ∈ [ m ? 1, m] 的最大值与最小值

7.求函数 f ( x ) = ? x 2 ? 2ax + 1,x ∈ [ ?1,2] 的最大值

第3页 共5页

例5

(1)函数 f ( x ) = e ?
x

1 的零点所在的区间是 A.(0,1/2)B.(1/2,1)C.(1,3/2)D.(3/2,2) x
2

(2)函数 f ( x) = x ? 2 x + x 的零点是 A.0
3

B. 1

C.0 和 1

D.(0,0)和(1,0)

【即时巩固】 即时巩固】 8.已知函数 f ( x ) = 2mx + 4 ,若在[-2,1]上存在 x0 ,使 f ( x0 ) = 0 ,则实数 m 的取值范围是( )

9.(09 山东)若函数 f ( x ) = a x ? x ? a ( a > 0且a ≠ 1) 有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 (



【课下作业】 课下作业】 1.求下列函数的值域. (1) y = ? x 2 ? 2 x ? 3 ( ? 1 ≤ x < 2 ) (3) y = (2) y = ? x 2 ? 2 x + 3 (4) y =

( ? 5 ≤ x ≤ 0)

1 2 x ? 2x ? 1

x2 + x +1 x +1

(5) y =

2x 2 x +2

(6) y =

1? x2 1+ x2

(7) y = x + 1 + x ? 2

(8) y = 4 ? 3 + 2 x ? x 2

(9)

y = x + 2x ?1

(10) y =

4 ? x ? 2x +1

(11) y = 2 x + 1 ? 2 x 2.求函数 f ( x) = ? x 2 ? 2ax + 1( x ∈ [?1,2]) 的最小值。

第4页 共5页

3.(10 福建)函数 f ( x) = ?
2

? x 2 + 2 x ? 3, x ≤ 0 的零点个数为( ?ln x ? 2, x > 0
) 。

) 。

4. 函数 f ( x) = ln x ? x + 2 x + 5 的零点个数为(

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