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云南省普洱市西盟一中2012-2013学年高一(上)期末数学试卷(含解析)


云南省普洱市西盟一中 2012-2013 学年高一(上)期末数学试卷(含解析)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 分)已知集合 A={2,4,5},B={1,3,5},则 A∩ (5 B=( ) D.{1,3}

A.? B.{1,2,3,4,5} C.{5} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据两个集合 AB,直接利用两个集合的交集的定义求得 A∩ B. 解答: 解:∵ 集合 A={2,4,5},集合 B={1,3,5}, 则 A∩ B={2,4,5}∩ {1,3,5}={5}, 故选 C. 点评: 本题主要考查两个集合的交集的定义和求法,属于基础题. 2. 分)下列函数是幂函数的是( (5 ﹣ A.y=2x2 B.y=x 2 ) C.y=x2+x

D.y=1

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 直接利用幂函数的定义判断即可. α 解答: 解:根据幂函数的解析式为:y=x , (α≠0)可知选项 A、C、D 不满足题意, 故选 B. 点评: 本题考查幂函数的定义以及表达式的形式,基本知识的考查. 3. 分)下列计算中正确的是( (5 A. B. =8 ) =10 C. D.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 直接利用开偶次方经过是非负数,可奇次方可正可负判断选项即可. 解答: 解:因为开偶次方经过是非负数,可奇次方可正可负.所以 =10 正确; <0 不正确;

=﹣8,A 不正确; 不正

确; 故选 B. 点评: 本题考查根式与分数指数幂的运算法则,基本知识的考查. 4. 分) (5 (2011?泸州一模)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 S={1,3,5},T={3,6},则?U (S∪ T)等于( ) A.φ B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题.
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分析: 先求出 S∪ T,接着是求补集的问题. 解答: 解:∵ T={1,3,5,6}, S∪ ∴ U(S∪ C T)={2,4,7,8}. 故选 B. 点评: 本题属于数集为平台,求集合的并集补集的基础题,也是高考常会考的题型. 5. 分)下列函数中,与函数 y=x 相等的是( (5 A. B. ) C.

D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 通过函数的定义域与对应法则,直接判断是否是相同的函数即可. 解答: 解:函数 y=x 的定义域为 R,选项中 A,D 定义域不是 R,是 A、D 不正确. 选项 C 的对应法则不同,C 不正确. 故选 B. 点评: 本题考查函数是否是相同的函数的判断方法,基本知识的考查. 6. 分) (5 (2011?南充一模)若集合 S={a,b,c}(a、b、c∈R)中三个元素为边可构成一个三角形,那么 该三角形一定不可能是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 考点: 集合的确定性、互异性、无序性;三角形的形状判断. 专题: 阅读型. 分析: 由集合元素的特点可知 a,b 及 c 互不相等,所以 a,b 及 c 构成三角形的三边长,得到三角形的三 边长互不相等,此三角形没有两边相等,一定不能为等腰三角形. 解答: 解:根据集合元素的互异性可知: a,b 及 c 三个元素互不相等, 若此三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是等腰三角形. 故选 D. 点评: 此题考查了三角形形状的判断、集合元素的互异性、等腰三角形等基础知识,考查转化思想.属于 基础题. 7. 分)函数 y=f(x)的图象在[a,b]内是连续的曲线,若 f(a)?f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间 (5 (a,b)内( ) A.只有一个零点 B.无零点 C.至少有一个零点 D.无法确定 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据根的存在性定理进行判断. 解答: 解:若函数 y=f(x)的图象在[a,b]内是连续的曲线,若 f(a)?f(b)<0, 则根据根的存在性定理可知,函数 y=f(x)在区间(a,b)内至少含有一个零点. 故选 C. 点评: 本题主要考查根的存在性定理的理解和应用.



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8. 分)设 f(x)=3 +3x﹣8,计算知 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则函数的零点落在区间 (5 ( ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用根的存在性定理进行判断. 解答: 解:因为 f(1.5)>0,f(1.25)<0, 所以根据根的存在性定理可知函数的零点落在区间(1.25,1.5) . 故选 B. 点评: 本题主要考查函数零点区间的判断,比较基础. 9. 分)下列函数中,图象过定点(0,1)的是( (5 ) 24 A.y=x B.y=log23x C.y=3x

x

D.

考点: 指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 把 x=0 代入函数的解析式,求得只有 y=3 的函数值为 1,由此可得结论. 解答: 解,把 x=0 代入函数的解析式,求得只有 y=3x 的函数值为 1,故只有函数 y=3x 的图象过点(0,1) , 故选 C. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,判断一个点是否在函数的图象上的方法,属于中档题. 10. 分)如图是由哪个平面图形旋转得到的( (5 )

A.

B.

C.

D.

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 阅读型. 分析: 利用所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的,从而得到轴截面的图形. 解答: 解:图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的, 故轴截面的上部是直角三角形,下部为直角梯形构成, 故选 D. 点评: 本题考查旋转体的结构特征,旋转体的轴截面的形状. 11. 分)一个体积为 8cm 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是( (5 A.8πcm2 B.12πcm2 C.16πcm2
3

) D.20πcm2



3第

考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 分析: 先根据正方体的顶点都在球面上,求出球的半径,然后求出球的表面积. 解答: 解:正方体体积为 8,可知其边长为 2,体对角线为 =2 , 即为球的直径,所以半径为 ,表面积为 4π =12π. 故选 B. 点评: 本题考查学生的空间想象能力,以及对球的体积和表面积公式的考查,是基础题. 12. 分)设集合 A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},则集合 A∩ 的真子集的个数为( (5 B A.32 个 B.16 个 C.8 个 D.7 个 )
2

考点: 子集与真子集;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 集合 A 和集合 B 的公共元素构成集合 A∩ B,由此利用集合 A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},能 求出集合 A∩ 真子集的个数. B 解答: 解:∵ A={0,1,2,3},B={1,2,3,4}, ∴ 集合 A∩ B={1,2,3}. 集合的真子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有 7 个. 故选 D. 点评: 本题考查集合的交集及其运算,考查集合的子集个数问题,对于集合 M 的子集问题一般来说,若 M n 中有 n 个元素,则集合 M 的子集共有 2 个. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 分)用“<”或“>”号填空:0.5 (5
0.8

< 0.5 ;log125 = log1215.

0.7

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. x 0.8 0.7 分析: 根据函数 y=0.5 在 R 上是减函数,可得 0.5 与 0.5 的大小关系;由函数 y=log12x 在(0,+∞) 上是增函数,可得 log125=log125,从而得到答案. x 0.8 0.7 解答: 解:由于函数 y=0.5 在 R 上是减函数,可得 0.5 <0.5 . 由函数 y=log12x 在(0,+∞)上是增函数,可得 log125=log125, 故答案为<;=. 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于基础题. 14. 分)球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 8 倍. (5 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 设球原来的半径为 r,则扩大后的半径为 2r,求出球原来的体积和后来的体积,计算球后来的体积 与 球原来的体积之比. 解答: 解:设球原来的半径为 r,则扩大后的半径为 2r,球原来的体积为 ,球后来的体积为

=





4第

球后来的体积与 球原来的体积之比为

=8,

故答案为 8. 点评: 本题考查求得体积的计算公式的应用.关键是设出原来的半径,求出后来的半径.

15. 分)函数 f(x)=loga (5

(a>0 且 a≠1) ,f(2)=3,则 f(﹣2)的值为 ﹣3



考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 利用 f(﹣x)=﹣f(x) ,结合即可求得答案. 解答: 解:∵ f(x)=loga (a>0 且 a≠1) , ∴ f(x)+f(﹣x)=loga +

= =loga1 =0, ∴ f(﹣x)=﹣f(x) ,又 f(2)=3, ∴ f(﹣2)=﹣f(2)=﹣3, 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查函数的奇偶性,判断函数 f(x)为奇函数是关键,属于基础题. 16. 分)函数 f(x)=ax ﹣x﹣1 仅有一个零点,则实数 a 的取值范围 (5
2



考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 本题采用直接法,先对二次项系数进行讨论:① a=0;② a≠0;再对② 充分利用二次函数的根的判别式解 决问题. 解答: 解:若 a=0,则 f(x)=﹣x﹣1,令 f(x)=﹣x﹣1=0,得 x=﹣1,符合题意; 若 a≠0,则 f(x)=ax ﹣x﹣1 是二次函数, ∴ f(x)有且仅有一个零点?△ =1+4a=0 综上所述,a=0 或 故答案为: .
2

点评: 本题主要考查了二次函数的图象和图象变化及数形结合思想,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
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17. (10 分) (1)解方程:x ﹣3x﹣10=0 (2)解方程组: .

2

考点: 因式分解定理. 专题: 计算题. 分析: (1)分解方程左边的二次三项式,可得(x﹣5) (x+2)=0,进而根据两因式积等 0,则各因式均可 能为 0,求出原方程的解. (2)利用加减消元法,消去 x,先求出 y 值,代入任一方程求出 x 值,可得方程组的解. 2 解答: 解: (1)∵ ﹣3x﹣10=0 x ∴ (x﹣5) (x+2)=0 解是 x=5 或 x=﹣2 (2) ① ×3﹣② 得: ×2 5y=5 解得 y=1, 代入① 可得 x=2 故方程组的解集为 点评: 本题考查的知识点是一元二次方程的解法和二元一次方程组的解法,前者的方式是利用因式分解达 到降次的目的,后者的解答思路是消元. 18. (12 分)已知集合 A={x|x 是小于 8 的正整数},B={1,2,3},C={3,4,5,6},求 A∩ B,A∩ C,A∩ (B∪ ,A∪ C) (B∩ C) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 直接利用交集、并集、补集的求解方法求解即可. 解答: 解:因为集合 A={x|x 是小于 8 的正整数},B={1,2,3},C={3,4,5,6}, 所以 A∩ B={1,2,3}, A∩ C={3,4,5,6}, A∩ (B∪ C)={1,2,3,4,5,6}, A∪ (B∩ C)={1,2,3,4,5,6,7} 点评: 本题考查集合的基本运算,基本知识的考查. 19. (12 分) (1)求函数 y=1+ 的定义域;

(2)解不等式 log2(2x+3)>log2(5x﹣6) 考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由函数的解析式可得可得 ,解得 x 的范围,即可求得函数的定义域. (2)由不等式可得 2x+3>5x﹣6>0,解得 x 的范围,求得函数的定义域.



6第

解答:

解: (1)由函数 y=1+ 故函数的定义域为[﹣3,1].

可得

,解得﹣3≤x≤1,

(2)由不等式 log2(2x+3)>log2(5x﹣6) ,可得 2x+3>5x﹣6>0, 解得 <x<3,故函数的定义域为( ,3) .

点评: 本题主要考查对数不等式的解法,求函数的定义域,属于中档题. 20. (12 分) (1)计算:log45.log56.log67.log78; 2 (2)证明:函数 f(x)=x +1 在(﹣∞,0)上是减函数. 考点: 函数单调性的判断与证明;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)把要求的式子利用换底公式运算求得结果. (2)先求出函数的导数,再根据当 x<0 时,f′ (x)<0,可得函数 f(x)在(﹣∞,0)上是减函 数. 解答: 解: (1)log45.log56.log67.log78= = = = . (2)证明:由函数 f(x)=x +1,可得 f′ (x)=2x, 当 x<0 时,f′ (x)=2x<0, 故函数 f(x)在(﹣∞,0)上是减函数. 点评: 本题主要考查对数的运算性质的应用,函数的单调性的证明方法,属于基础题. 21. (12 分)为了鼓励居民节约用水,西盟县改革居民用水的计费方法.每月的收费标准如下:月用水量 不超过 20m 时,按 2 元/m 计费;月用水量超过 20m 时,其中的 20m 按 2 元/m 计费,超过的部分按 3.6 3 3 元/m 计费.设每户月用水量为 xm ,应交水费为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数表达式; (2)小明家第二季度缴纳水费的情况如下: 月份 四月份 五月份 六月份 30 34 43.6 缴费金额/元 问小明家第二季度共用水多少立方米? 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,当用水量 0<x≤20 时,y=2x.当用水量 x>20 时,前 20m3 按 2 元/m3 计费,超过的 3 部分按 3.6 元/m 计费,由此列式即可得到 y 关于 x 的分段函数式; 3 3 (2)四月份和五月份的用水量除以单价均不超过 20m ,六月份的用水量除以单价超过了 20m ,所 3 以六月份的用水量为 20+(43.6﹣2×20)÷3.6m ,作和后可求小明家第二季度得用水量. 解答: 解: (1)由题意可得, 当 0<x≤20 时,y=2x 当 x>20 时,y=2×20+3.6(x﹣20)=3.6x﹣32 所以 y 与 x 的函数表达式为 (2)四月份用水为,30÷2=15 m 3 五月份用水为,34÷2=17 m

3 3 3 3 3 3 2



7第

六月份用水为,20+(43.6﹣2×20)÷3.6=21 m 3 第二季度共用水为:15+17+21=53 m 答:小明家第二季度共用水 53 立方米. 点评: 本题考查了根据实际问题选择函数模型,考查了分段函数的求法,考查了学生的“建模能力”和根据 实际问题分析和解决问题的能力,是中档题. 22. (12 分)直角三角形两直角边边长分别为 3 和 4,将此三角形绕其斜边旋转一周,求得到的旋转体的表 面积和体积. 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意,所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成.利用解三角形知识,算出圆锥的底面半径,结合 锥体的侧面公式得到旋转体的表面积 S= ,再由锥体的体积公式,算出体积为 V= .

3

解答: 解:根据题意,所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成 它的底面半径等于直角三角形斜边上的高,高分别等于两条直角边在斜边的射影长 ∵ 两直角边边长分别为 3 和 4, ∴ 斜边长为 =5, =

由面积公式可得斜边上的高为 h= 可得所求旋转体的底面半径 r= 因此,两个圆锥的侧面积分别为 S 上侧面=π× ×4= ;S 下侧面=π× + =

×3=

∴ 旋转体的表面积 S=

由锥体的体积公式,可得旋转体的体积为 V= π×

×5=

点评: 本题给出直角三角形旋转一周,求转成的几何体的体积和表面积.着重考查了圆锥的侧面积公式、 积体公式和解三角形等知识,属于基础题.



8第


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