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2013珠海一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


珠海市 2012--2013 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.请在答题卡上填涂相应选项.
x 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? y y ? 2 , x ? R ,则 CU A =(

?

?

) D.R

A. ?

B.(0,+∞)

C. (-∞,0] )

2.已知 a , b 是实数,则“ ?

?a ? 2 ”是“ a ? b ? 5 ”的( ?b ? 3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( A.4 B.5 C.6 D.7 4. 已知直线 l , m 和平面 ? , 则下列命题正确的是( A.若 l / / m, m ? ? ,则 l / /? C.若 l ? m, l ? ? ,则 m / /? 5.已知是虚数单位,复数 A. )



B.若 l / /? , m ? ? ,则 l / / m D.若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m

1 3 ? i 10 10

i =( ) 3?i 1 3 B. ? ? i 10 10

C. ?

1 3 ? i 8 8


D. ?

1 3 ? i 8 8

6.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象可由函数 y ? sin 2 x 的图象( 4?
B.向右平移

A.向左平移

π 个单位长度而得到 8 π C.向左平移 个单位长度而得到 4

π 个单位长度而得到 8 π D.向右平移 个单位长度而得到 4


?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 则 2 x ? 4 y 的最小值是( ?x ? 3 ?
A.6 B.4 C. ? 2 D. ? 6

8. 对于直角坐标平面内的任意两点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“距 离”:‖ AB‖ x1 ? x2 ? y1 ? y2 , = 给出下列三个命题:①若点 C 在线段 AB 上,则‖ AC‖ CB‖ AB‖ +‖ =‖ ;②在△ABC 中,若∠C=90° , 则‖ AC‖ CB‖ AB‖ +‖ =‖ ;③在△ABC 中,‖ AC‖ CB‖ AB‖ 其中真命题的个数为( ) +‖ >‖ . A. 0 B. 1 C. 2 D.3 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题 全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. (一)必做题(9-13 题)

1

9.函数 y ?

sin x 的导函数 y ? ? x

. .

10.在递增等比数列 ?an ? 中, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则公比 q = 11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团): 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10

武术社

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱 社被抽出 12 人,则这三个社团人数共有_______________. 12.在△ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 C=

?
3

,b ? 3 ,

若△ABC 的面积为

3 3 ,则 c = 2



x2 y 2 13.如图,F1,F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F1 a b
的直线与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双 曲线的离心率为 (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) .

14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C1 : ?

?x ? t ? 2 ( t 为参数)与曲线 C2 : ? y ? 1 ? 2t
.

? x ? 3 cos ? ( ? 为参数)相交于两个点 A 、 B ,则线段 AB 的长为 ? ? y ? 3 sin ?

15.(几何证明选讲选做题)如图,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线,若 PA=5, AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)设向量 a ? ? 2,sin ? ? , b ? ?1,cos ? ? , ? 为锐角.

?

?

b (1)若 a ? ?

? ?

13 ,求 sin ? ? cos ? 的值; 6

(2)若 a / / b ,求 sin ? 2? ?

?

?

? ?

??

? 的值. 3?

17.(本小题满分 12 分)某中学校本课程共开设了 A,B,C,D 共 4 门选修课,每个学生必须且只能选修 1 门 选修课,现有该校的甲、乙、丙 3 名学生: (1)求这 3 名学生选修课所有选法的总数; (2)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (3)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望. 18.(本小题满分 14 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三 角形,俯视图为直角梯形. (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ;

2

(2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P ,使 MP // 平面 CNB1 ,并求

BP 的值. PC

19.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

?AF1 F2 为正三角形且周长为 6. (1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2) O 为坐标原点, P 是直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值,并求出此时点 P 的坐标.
20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 ,上顶点 A(0, b) , a2 b2

1 2 ax ? 2 x , g ( x) ? lnx . 2 (1)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数,求 a 的取值范围; g ( x) 1 (2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有两个不相等的实数根?若 x e 存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.(本题满分 14 分)已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:

an (an ? 2) ( n ? N* ) . 4

1 1 1 1 5 ( n ? N* ) ; ? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 3 a1 a2 a3 an 32 ? an ?1 1 1 1 1 (3)是否存在非零整数 ? ,使不等式 ? (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) cos 对一切 n ? N* 都成立? ? a1 a2 an 2 an ? 1
若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

珠海市 2012~2013 学年第一学期普通高中学生学业质量监测 高三理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:CABD 二、填空题:9、 三、解答题:

AADB
10、2 11、150 12、

x cos x ? sin x x2

7

13、 13

14、 4

15、

6

3

b 16.解:(1)因为? a ? ? 2 ? sin ? cos ? ?
? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ?
2

? ?

13 1 ,? sin ? cos ? ? …………… 3 分 6 6

4 2 3 ,又? ? 为锐角,? sin ? ? cos ? ? .………… 6 分 3 3

(2) 解法一:? a / /b ,? tan ? ? 2 …… 8 分,? sin 2? ? 2sin ? cos ? ?

?

?

2sin ? cos ? 2 tan ? 4 ? ? , 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?

cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ? ? ………… 10 分 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5

?? 1 3 1 4 3 ? 3 ? 4 ?3 3 ? ………… 12 分 ?sin ? 2? ? ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? ? ??? ? ? 3? 2 2 2 5 2 ? 5? 10 ?
解法二:? a / /b ,? tan ? ? 2 …… 8 分,? sin ? ?

?

?

2 5 5 , ,cos ? ? 5 5

? sin 2? ? 2sin ? cos ? ?

4 3 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? …………… 10 分 5 5

?? 1 3 1 4 3 ? 3 ? 4 ?3 3 ? ………… 12 分 ?sin ? 2? ? ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? ? ??? ? ? 3? 2 2 2 5 2 ? 5? 10 ?
17. 解:(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据乘法法则,选法总数 N= 4 ? 4 ? 4 ? 64 …… 3 分 (Ⅱ 恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为 P2 ? )
2 2 C 4 C 32 A2 2 ? 3 ? 3 ? 2 9 ? ? ………… 7 分 4? 4? 4 16 43

(Ⅲ) 设 A 选修课被这 3 名学生选择的人数为 ? ,则 ? =0,1,2,3 P( ? =0)=
3 C 1 ? 32 27 3 ?C 1 9 C3 33 27 1 ,P( ? =1)= 3 3 ? ,P( ? =2)= 3 3 ? ,P( ? =3)= 3 ? ……… 9 分 ? 3 4 64 4 64 4 64 4 64

? 的分布列是

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 64 64 64 64 4 18. 解:(1)证明: E? ? 0 ?

………… 12 分

4

? 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,? BA, BC , BB1 两两互相垂直。
以 BA, BC , BB1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则 N (4,4,0), B1 (0,8,0) , C1 (0,8,4), C (0,0,4) , B (0,0,0) ……………… 2 分

∵ BC ? (0,0,4) , B1C1 ? (0,0,4) , BC ? B1C1 ,∴ BC // B1C1 , ∵ B1C1 ? 平面C1 B1 N , BC ? 平面C1 B1 N ,∴ BC // 平面C1 B1 N …… 4 分 (2)? BN ? B1 N ? (4,4,0) ? (4,?4,0) ? 16 ? 16 ? 0 , BN ? B1C1 ? (4,4,0) ? (0,0,4) ? 0

? BN ? B1 N , BN ? B1C1 ,又 B1 N ? B1C1 ? B1 ,? BN ? 平面C1 B1 N …………… 8 分
(3)设 P (0,0, a ) 为 BC 上一点,? M 为 AB 的中点,? M (2,0,0) , MP ? (?2,0, a ) , NC ? (?4,?4,4) 设平面的一个法向量为 n ? (1, x, y ) ,则有 n ? NC , n ? NB1 ,则有 n ? NC ? 0, n ? NB1 ? 0, ∴ (1, x, y ) ? (?4,?4,4) ? 0, (1, x, y ) ? (?4,4,0) ? 0 ,得 x ? 1, y ? 2 , ∴ n ? (1,1,2) ,…10 分

? MP //平面 CNB1 ,? n ? MP ,于是 MP ? n ? (?2,0, a ) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ,解得: a ? 1 ……… 12 分

? MP ? 平面 CNB1 ,? MP //平面 CNB1 ,此时 PB ? a ? 1 ,?

BP 1 ? …………………… 14 分 PC 3

? a ? 2c ? 19. 解:(Ⅰ)解:由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ………… 2 分,解得: a ? 2, b ? 3 , c ? 1 …… 3 分 ? a2 ? b2 ? c2 ?
故 C 的方程为

x2 y2 1 ? ? 1 . …… 5 分,离心率 e ? ……… 6 分 4 3 2
3 ( x ? 1) ,…… 7 分,设点 O 关于直线 F1 A 对称的点为 M ( x0 , y 0 ) ,则

(2)直线 F1 A 的方程为 y ?

3 ? y0 ? ? x ? 3 ? ?1 ? x0 ? ? 2 3 3 ? 0 ? ,所以点 M 的坐标为 (? , ) …………… 9 分 ?? ? 2 2 3 y0 x0 ? ? 3 ( ? 1) ? y ? ? 0 ?2 2 ? 2 ?
∵ PO ? PM , PF2 ? PO ? PF2 ? PM ? MF2 ,…… 10 分
5

3 3 | PF2 | ? | PO | 的最小值为 | MF2 |? (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 7 2 2

…………… 11 分

3 ?0 3 2 直线 MF2 的方程为 y ? ( x ? 1) 即 y ? ? ( x ? 1) 3 5 ? ?1 2

…………… 12 分

2 ? ? 3 ?x ? ? 3 ( x ? 1) ? 2 3 ?y ? ? ?? 由? ,所以此时点 P 的坐标为 (? , ) …………… 14 分 5 3 3 ? y ? 3 ( x ? 1) ?y ? 3 ? ? 3 ?
20.解:(1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 上是单调增函数,不符合题意.…1 分

2 ,由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数,不符合题意. a 2 当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数, 则 ? ? 1 ,解得 a ? ?2 , a 综上, a 的取值范围是 a ? ?2 .…………………4 分 g ( x) lnx (2)方程 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 整理为 ? ax ? 2 ? (2a ? 1) ,即 ax 2 ? (1 ? 2a ) x ? lnx ? 0 .…………5 分 x x 1 2 设 H ( x) ? ax ? (1 ? 2a ) x ? lnx ( x ? 0) ,原方程在区间( , e )内有且只有两个不相等的实数根,即为函数 e 1 H ( x) 在区间( , e )内有且只有两个零点. ……6 分 e 1 2ax 2 ? (1 ? 2a ) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) …………7 分 ? H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ? ? x x x 1 令 H ?( x) ? 0 ,因为 a ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ? (舍) …………………8 分 2a 当 x ? (0,1) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x) 是减函数;当 x ? (1, ??) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x) 是增函数.……10 分 ? 1 ? H ( e ) ? 0, ? 1 H ( x) 在( , e )内有且只有两个不相等的零点, 只需 ? H ( x) min ? 0, …………13 分 e ? H (e) ? 0, ? ? 2 ? ? a 1 ? 2a e2 ? e (1 ? 2a)e ? a ? e a? , ? ?1 ? ? 0, ? ? 2 2e ? 1 e e e2 ? ? ? ? 即 ? H (1) ? a ? (1 ? 2a ) ? 1 ? a ? 0, ∴ ? a ? 1, ? ?ae 2 ? (1 ? 2a )e ? 1 ? (e 2 ? 2e)a ? (e ? 1) ? 0, 1? e ?a ? 2 ? , e ? 2e ? ? ? ?
当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ?

e2 ? e e2 ? e , 所以 a 的取值范围是( 1, ) . …………………14 分 2e ? 1 2e ? 1 a (a ? 2) 21.解:(1)由 S n ? n n . 4 a (a ? 2) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 1 ,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去). ……2 分 4
解得 1 ? a ?

6

an (an ? 2) an ?1 (an ?1 ? 2) ? an 2 ? an ?12 ? 2(an ? an ?1 ) , ? 4 4 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 2 ,∴ ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n .…4 分
当 n ? 2 时,由 an ? S n ? S n ?1 ? 另法:易得 a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 6 ,猜想 an ? 2n ,再用数学归纳法证明(略).

1 1 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ](n ? 2) ……4 分 ? ? ? ? 3 3 2 2 an (2n) 8n ? n 8n(n ? 1) 8(n ? 1)n(n ? 1) 16 (n ? 1)n n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? 3 ? [( ? )?( ? ) ??? ? ]? ? [ ? ] ? ? ? ? .… 7 分 2 16 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 ( n ? 1) n n( n ? 1) 8 16 2 n(n ? 1) 8 16 2 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. ……………… 8 分 a1 8 32
(2)证法一:∵ 证法二:∵ n ? 4n(n ? 1) ? n(n ? 4n ? 4) ? n(n ? 2) ? 0 ,∴ n ? 4n(n ? 1) .
3 2 2 3

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 3? ? ( ? ) (n ? 2) .……4 分 3 3 an (2n) 8n 32n(n ? 1) 32 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 .……7 分 ? 3 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? (1 ? ) ? ? ? 2 32 2 2 3 n ?1 n 8 32 n 8 32 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. ……8 分 a1 8 32 ? an ?1 (3)由 an ? 2n ,得 cos ? cos(n ? 1)? ? (?1) n ?1 , 2 1 设 bn ? ,则不等式等价于 (?1) n ?1 ? ? bn . 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) an ? 1 a1 a2 an


an ? 1 bn ?1 4 n 2 ? 8n ? 4 2n ? 1 2n ? 2 ? ? 1 ,……9 分 ? ? ? 1 ? bn ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) 1 ? 4 n 2 ? 8n ? 3 ?1 ? ? an ?1 ? 1 ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ? 3 ? ? an ?1 ? ? ∵ bn ? 0 ,∴ bn ?1 ? bn ,数列 ?bn ? 单调递增. …………………… 10 分
假设存在这样的实数 ? ,使得不等式 (?1) n ?1 ? ? bn 对一切 n ? N* 都成立,则 ① 当 n 为奇数时,得 ? ? (bn ) min ? b1 ? ② 当 n 为偶数时,得 ?? ? (bn ) min 综上, ? ? (?

2 3 ; ……11 分 3 8 5 8 5 ,即 ? ? ? . ……12 分 ? b2 ? 15 15

8 5 2 3 , ) ,由 ? 是非零整数,知存在 ? ? ?1 满足条件.…… 14 分 15 3

7


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