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上海市上海中学2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题


闸北区 2013-2014 学年高一数学第二学期期终练习卷(2014.6)
一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1、已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 的反函数为 f ( x) ,则 f ( x) ? 0 的解集为_______________.
x ?1 ?1

2、方程 cos 2 x ? 3sin x ? 1 ? 0, x ? (

?
2

, ? ) 的解是_______________.

3、函数 f ( x) ? arccos x, x ?[0,1] 的最大值为___________.

4、化简:

2 cos 2 ? cot

?

2

? tan

?
2

?

1 ? ___________________. sec ? ?csc ?

5、在一定时间 t 0 后,放射性物质减少到初始量的一半,时间 t 0 称为放射性物质的半衰期.已知镭(一 种放射性物质)按 A ? A0e
?0.223t

(其中 A0 是镭的初始量,时间的 t 单位为分钟)的规律蜕变,则镭

的半衰期为________________分钟(精确到 0.1) 6、设 a , b 均为正数, 2a ? log 1 a , ( ) ? log 2 b ,则 a,1, b 的大小关系为_______________.
b

2

1 2

7、函数 y ? log 4 (4 x) ? log 2 x, (

1 ? x ? 2) 的值域为_________________. 2

8、设数列 ?an ? 的首项为 10,前 n 项和 Sn 满足 3Sn?1 ? 3Sn ? 2an ,则数列 ?lg an ? 的前 n 项和 Tn 的 最大值为_______________. 二、解答题(本大题共 4 小题,满分 60 分) 9、(本题满分 14 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 9 分) 已知下列是两个等式:① sin 60? sin 30? ? sin 45? ? sin 15? ;② sin 5? sin1? ? sin 3? ? sin 2? .
2 2 2 2

(1)请你写出一个一般的三角比的等式,使上述两个等式是它的特例; (2)请证明你的结论.

10、(本题满分 15 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 8 分) 设对任意的 n ? N * , an ?

?

3

n?

?

12

, bn ? sin an ? sin an?1 ? sin an?2 , cn ? bn ?xn ( x ? R) .(1)求证:

数列 {bn } 是等比数列;(2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

11、(本题满分 15 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 8 分) 某淋浴房地面的形状如图,是半径为 1 米的直角扇形 AOB,OM 是 ?AOB 的平分线,D 是弧 AB 上 的一点,以为 D 顶点作内接矩形 DEFG ,且 DE ? OM ,若将矩形的部分铺设成防滑瓷砖,设 ?DOG ? ? .(1)请将 DG 的长度表示成 ? 的函数;(2)求淋浴房内防滑部分的面积 S 的最大值.

B F

E M D

O

?

G

A

12、(本题满分 16 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 10 分) 设定义域为 R 函数 f ( x) ? sin x (其中 sin x 意指 x 的正弦值).(1)请指出该函数的零点、最大
2
2

2

(小)值,并类比“五点作图法”画出该函数在区间 [0, 2? ] 上的大致图像;(2)请指出该函数的 奇偶性、单调区间和周期性(不必证明).


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