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抽象函数的定义域和求值(教师版)


抽象函数的定义域和求值
1、抽象函数的定义域:记住两句话:地位相同范围相同,定义域是关于 x 的。 所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数。此类题目的关键是注意对应法则,在同一对应法 则作用下,不管接受法则的对象是什么字母或代数式,其制约条件是一致的,即都在同一取值范围内。 该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域,其有三种情况: (1) 已知 f ? x ? 的定义域是 ? a, b? , 求f? 该类题目实质上是由不等式 a ? g ? x ? ? b 所 ? g ? x ?? ? 的定义域。 求 x 的取值范围就是 f ? ? g ? x ?? ? 的定义域。 解:由题意知: 0 ? x 2 ? 9 例 2:已知函数 f ? x ? 的定义域是 ?0,9? ,求函数 f ? x 2 ? 的定义域

解得: ?3 ? x ? 3 即函数 f ? x 2 ? 的定义域为 ? ?3,3? 。

(2)已知函数 f ? ? g ? x ?? ? 的定义域是 ? a, b? ,求函数 f ( x) 的定义域。该类型题目的实质是由 x 的取值 范围所求得的 g ? x ? 的取值范围就是函数 f ( x) 的定义域。 例 3:已知函数 f ? 3x ? 2? 的定义域是 ? ??,3? ,求函数 f ( x) 的定义域。 解:∵ x ? 3 ∴ 3x ? 9 ∴ 3x ? 2 ? 11 即函数 f ( x) 的定义域为 ? ??,11? 。

(3)已知函数 f ? ?h ? x ?? ? 的定义域。该类题目的解决方法是:先 ? g ? x ?? ? 的定义域是 ? a, b? ,求函数 f ? 由函数 f ? ?h ? x ?? ? 的定义 ? g ? x ?? ? 的定义域求出函数 f ( x) 的定义域,再由函数 f ( x) 的定义域取得函数 f ? 域。
?1 ? 例 4:已知函数 f ?1 ? 2x ? 的定义域是 ? ,5? ,求函数 f ? ? x 2 ? 的定义域。 ?2 ? 1 解:∵ ? x ? 5 ∴ ?10 ? ?2 x ? ?1 ∴ ?9 ? 1 ? 2 x ? 0 即函数 f ( x) 的定义域为 ? 4,9? 2 ∴ ?9 ? ? x2 ? 0 解得:解得: ?3 ? x ? 3 即函数 f ? ? x 2 ? 的定义域为 ? ?3,3? 。
1 1 1、若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域。 4 4 1 3 ? ? 5 ?? 1 ? x ? 4 ? 1 ?? 4 ? x ? 4 3 3 解:要使函数有意义,必须: ? ?? ?? ?x? 1 3 5 4 4 ?? 1 ? x ? ? 1 ?? ? x ? 4 4 ? ? 4 2、已知函数 f ( x) 的定义域为 ??1,1? ,则函数 f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? f ? 2 ? x ? 的定义域为 ?1, 2? 。

3、设函数 f ( x) 的定义域是[?3, 2 ],则函数 f ( x ? 2) 的定义域 4、已知函数 f ?1 ? 2x ? 的定义域为 ? ?2,5? ,则函数 f ( x) 的定义域为

?0, 6 ? 4 2 ? ? ?



? ?9,5? 。 5、已知函数 f ? 2x ? 3? 的定义域为 ? ?1, 2? ,则函数 f ? x ? 1? 的定义域为 ? 2,8? 。 6、设函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,则函数 H ? x ? ? f ? x 2 ? 1? 的定义为 ?0? 。
题型二:函数的值 1、已知函数 f ( x) =3 x 2 -5 x +2,求 f (3)= 14 , f (- 2 )= 8 ? 5 2 , f (a+1)= 3a2 ? a 2、已知 f ? x ? ? x2 ? x ? 1,则 f ? f 2 ? ? 15 ? 7 2 。 ? ? 2 3、已知函数 f ? x ? ? x ? px ? q 满足 f ?1? ? f ? 2? ? 0 ,则 f ? ?1? ?
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? ?

6


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?x ?1 ? 4、已知 f ? x ? ? ?0 ?x ? 1 ?

? ? 1 ?? x ? 0 ,则 f ? f ? ?? ? ? ? 2 ?? x?0
5

x?0

1 2

。 -3 或 2
?1? f ? ?? ?4?

5、已知函数 f ? x ? ? x2 ? x ? 1,则 f ? 2? ? 6、已知 f ? x ? ?
x2 ,那么 f ?1? ? f ? 2 ? ? 1? x

;若 f ? x ? ? 5 ,则 x =
?1? f ? ? ? f ? 4? ? ? 3?


7 2

?1? f ? ? ? f ? 3? ? ?2?



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