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高二数学选修1-1第一章课件全称量词与存在量词 人教A版


全称量词与存在量词

1.4.1 全 词





思考:
下列语句是命题吗?(1)与(3)(2)与(4) 之间有什么关系? (1)x>3; (2) 2x+1是整数; (3)对所有的 x ? R, X>3;

(4)对任意一个 x ? Z ,2x+1是整数。

我们知道,命题是可以判断真假的陈述句。语句(1) (2)含有变量x,由于不知道x代表什么数,无法判断 它们的真假,因而不是命题。语句(3)(4)用短语 “对所有的”、“对任意一个”对变量x进行限定,从 而成为可以判断真假的语句,因此是命题。

短语“对所有的”、“对任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ? ”表示。 含有全称量词的命题,叫做全称命题

?

常见的全称量词还有:“对一切”, “对每一个”,“任给”,“所有的” 等 例如,命题:对任意的 n ? Z ,2n ? 1 是奇数; 所有的正方形都是矩形,都是全称命题。

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立. 简记为:?x ? M,p(x)
读作“任意x属于M,有P(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假: 1)所有的素数都是奇数;

2)?x ? R, x2 ? 1 ? 1; 2 3)对每一个无理数x,x 也是无理数.

解:(1)2是素数,但2 不是奇数。所有全称命 题“所有的素数都是奇数”是假命题。 (2)?x ? R, 总有

x ?0
2
2

因而

x ? 1 ? 1.
2

所以,全称命题“?x ? R, x (3) 2

? 1 ? 1 ”是真命题。

是无理数,但 ( 2)2 ? 2 是有理数
2

x 所以,全称命题“对每一个无理数x,
也是无理数”是假命题

1.4.2 存 在 量 词

想一想??
下列语句是命题吗? 1 )与), 3 2 )与4 )之间 有什么关系? 1)2 x ? 1 ? 3; 2) x能被2和3整除; 3)存在一个 x ? R, 使 2 x ? 1 ? 3; 4)至少有一个x ? Z , x能被 2和3整除。

短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常 叫做存在量词.用符号“ ”表示。 ? 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

例如,命题:
有的平行四边形是菱形;

有一个素数不是奇数;
有的向量方向不定;

存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;
有一些实数不能取对数.
这些命题都是特称命题

常见的存在量词还有

“有些” “有一个” “对某个” “有 的”等.

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立. 简记为:?x ? M,p(x)
读作“存在一个x属于M,使P(x)成立”。

例1 判断下列特称命题的真假: 1)有一个实数x,使x +2x+3=0成立;
2)存在两个相交平面垂直同一条直线; 3)有些整数只有两个正因数.
2

解:(1)由于 ?x ? R, x

2

? 2x ? 3 ? ( x ?1) ? 2 ? 2, 因此使
2

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的实数x不存在。所以是假命题。

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互 相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于 同一条直线。所有这个命题是假命题。 (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3, 所以这个特称命题是真命题。

学习小结:
知识小结
?全称量词? 全称命题 ? 量词? ? ? 两种命题真假的判断 ?存在量词? 特称命题 ?

练习: P23

作业: P26页 1、2 学案:115-116页


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