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等差、等比数列复习经典练习题


等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题 1.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为( ) A.34 B.35 C.36 D.37 2.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是( ) A.24 B.27 C.30 D.33 3.设函数 f(x)满足 f(n+1)=

2 f (n) ? n (n∈ *)且 f(1)=2,则 f(20)为( N 2



A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若 {an } 是等差数列, 首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 , 则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是 ( ) . A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 * 5.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈ ,则 n(n≥3)的最大值为( N ) A.5 B.6 C.7 D.8 o,命题乙:△ 6. 设命题甲:△ ABC 的一个内角为 60 ABC 的三个内角的度数成等差数列.那么(

) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( a ) A.180 B.-180 C.90 D.-90 8. 现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根数为( A.9 B.10 C.19 D.29 9.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3…重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6…是( ) A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 10.在等差数列{an}中,若 S9=18,Sn=240,an-4=30,则 n 的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题 2a n 2 11.在数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈ *),则 是这个数列的第_________项. N an ? 2 7 12.在等差数列{an}中,已知 S100=10,S10=100,则 S110=_________. 13.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. S a 2n 14.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若 n = ,则 11 =_________. b11 Tn 3n ? 1 15. 已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 16. 若数列 {an } 是等差数列,则数列 ? ?



a1 ? a 3 ? a 9 的值是 a 2 ? a 4 ? a 10

a1 ? a2 ? ... ? an ? ? 也为等差数列,类比上述性质,相应地:若 {cn } 是等比数列, n ? ?


且 cn >0 ,则{ dn }是等比数列,其中 dn ?
?

17. 设 m ? N , log 2 m 的整数部分用 F (m) 表示,则 F (1) ? F (2) ? ... ? F (1024) 的值是 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.若等差数列 5,8,11,…与 3,7,11,…均有 100 项,问它们有多少相同的项?

19. 在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,求数列前多少项和最大.

1

20. 已知 f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1), a2=-

3 ,a3=f(x). (1)求 x 值; (2)求 a2+a5+a8+…+a26 的值. 2

21.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·n-1=0(n≥2),a1= S

1 . 2

1 }是等差数列; (2)求 an 表达式; Sn (3)若 bn=2(1-n)an(n≥2), 求证:b22+b32+…+bn2<1.
(1)求证:{

22.(1)设 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,求 a3 ? a13 及 S15 值。 (2)等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128,前 n 项和 Sn=126,求 n 和公比 q。 (3)等比数列中,q=2,S99=77,求 a3+a6+…+a99; (4)项数为奇数的等差数列 ?an ? 中,奇数项之和为 80,偶数项之和为 75,求此数列的中间项与项数.

23.设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0, (1)求公差 d 的取值范围. (2)指出 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大,并说明理由.

24.(1)已知等差数列{an}中, a1 ? 0, S 5 ? S12 ,问 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大. (2)数列 {an } 是首项为 1000 ,公比为

1 1 * 的等比数列,数列 {bn } 满足 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ... ? lg ak ) (k ? N ) , 10 k

求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n? .

例 3.由正数组成的等比数列 {an } ,若前 2n 项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 11 倍,第 3 项与第 4 项之

和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍,求数列 {an } 的通项公式.

例 4.已知等差数列 110,116,122,... , (1)在区间 [450, 600] 上,该数列有多少项?并求它们的和; (2)在区间 [450, 600] 上,该数列有多少项能被 5 整除?并求它们的和.

2

等差、等比数列性质及应用复习题参考答案
一、选择题: 1、 C 2、D 二、填空提: 11、6 3、B 4、B 5、C 14、 6、C 15、 7、A 8、B 9、B 10、B 17、8204

12、-110

13、5

21 32

13 16

16、 n C1 ? C2 ?Cn

三、解答题: 18. 设这两个数列分别为{an}、{bn},则 an=3n+2,bn=4n-1,令 ak=bm,则 3k+2=4m-1. ∴ 3k=3(m-1)+m,∴ 被 3 整除. 设 m=3p(p∈ *),则 k=4p-1. m N ∵ k、m∈ [1,100]. 则 1≤3p≤100 且 1≤p≤25. ∴ 它们共有 25 个相同的项. 19. ∵ 9=S17,a1=25,∴ 25+ S 9× ∴ n=25n+ S

n(n ? 1) (-2)=-(n-13)2+169.由二次函数性质知前 13 项和最大. 2

9 ? (9 ? 1) 17(17 ? 1) d=17× 25+ d,解得 d=-2, 2 2

20.、 (1)∵ f(x-1)=(x-1-1)2-4=(x-2)2-4 ∴ f(x)=(x-1)2-4,∴ 1=(x-2)2-4,a3=(x-1)2-4, 又 a1+a3=2a2,解得 x=0 或 x=3. a (2)∵a1、a2、a3 分别为 0、- ∴ n=- a

3 3 、-3 或-3、- 、0 2 2

3 3 (n-1)或 an= (n-3) 2 2 3 9 351 ① 当 an=- (n-1)时,a2+a5+…+a26= (a2+a26)= 2 2 2 3 9 297 ② 当 an= (n-3)时,a2+a5+…+a26= (a2+a26)= . 2 2 2
21、 (1)∵ n=2SnSn-1,∴ n+Sn-1=2SnSn-1(n≥2),又 Sn≠0, -a -S 1 1 1 1 1 ∴ - =2,又 = =2,∴ { }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn S n ?1 S 1 a1 Sn (2)由(1)

1 1 1 =2+(n-1)2=2n,∴ n= S ,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=- 2n( n ? 1) Sn 2n

?1 (n ? 1) ?2 1 ? n=1 时,a1=S1= ,∴ n= ? a 1 2 ?(n ? 2) ? 2n(n - 1) ? 1 (3) 由(2)知 bn=2(1-n)an= n 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ∴ 2 +b3 +…+bn = 2 + 2 +…+ 2 < b + +…+ (n ? 1)n 3 n 1? 2 2 ? 3 2 1 1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+…+( - )=1- <1. 2 2 3 n ?1 n n

3


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