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高中数学__函数及其表示知识点 2

函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的 中都有

x ,在集合 B

的数和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常记为__________

(2)函数的定义域、 值域,在函数 y ? f ( x), x ? A 中, x 叫做自变量,x 的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,

A 叫做 y ? f ( x)

?f ( x) x ? A?称为函数 y ? f ( x) 的值域。

(3)函数的三要素: 、 和 2.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1) .图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2) .列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 (二)考点分析 考点 1:判断两函数是否为同一个函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,称这两个函数相等。 例 1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? (3) f ( x) ? (2) f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ;

x x

, g ( x) ? ?

?1 ?? 1

x ? 0, x ? 0;

x

x ? 1 , g ( x) ?

2 2 (4) f ( x) ? x ? 2 x ? 1, g (t ) ? t ? 2t ? 1 x2 ? x ;

(5) f ( x) ? 2n?1 x 2n?1 , g ( x) ? (2n?1 x ) 2n?1 (n∈N ) ;
*

考点 2:求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f ( x ) 题型 1:用待定系数法求函数的解析式 例 1.已知函数 f ? x ? 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 9 x ? 4 ,求 f ? x ? 表达式. 例 2.已知 f ? x ? 是一次函数且 2 f ? 2? ? 3 f ?1? ? 5,2 f ? 0? ? f ? ?1? ? 1, 则f ? x ? ? ( A. 3 x ? 2 B. 3 x ? 2 C. 2 x ? 3 D. 2 x ? 3 )

例 3.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式;
1

(2)解不等式 f (x)>2x+5. 例 4.已知 g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为 1,且 f (x)+g(x)为奇函 数,求函数 f(x)的表达式.

题型 2:由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 1.已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2 x ? 1) ? 4 x 2 ? 6 x ? 5 ,求 f ( x ) 例 2.已知 f

?

x ? 1 ? x ? 1, 则f ? x ? ? _____________。
1? x 1? x2 )= ,则 f ( x ) 的解析式可取为 1? x 1? x2
1 x

?

例 3.已知 f (

题型 3:求抽象函数解析式 例 1.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) 例 2、已知: 2 f ( x) ? 3 f (? x) ? x ? 1 ,求 f ? x ? 表达式. 例 3. 设 函 数 f ( x) 与 g ( x) 的 定 义 域 是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是 偶 函 数 , g ( x) 是 奇 函 数 , 且
f ( x) ? g ( x) ? 1 x ? 1 ,求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式.

考点 4:求函数的定义域 题型 1:求有解析式的函数的定义域 (1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围,实际 操作时要注意: ① 分母不能为 0; ② 对数的真数必须为正; ③ 偶次根式中被开方数应为非负数; ④零 指数幂中,底数不等于 0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥ 若解析式由几个部分组成,则定 义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研 究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。 例 1.函数 f ? x ? ?

x2 ? 4 ?

1 的定义域为( x ?3



A. ? 2, ? ?? ? ? ??, ? 2? C. ? ??, ? 2? ? ?2,3? ? ?3, ? ?? 例 2、函数 f ( x ) ? A. ?x | x ? 0?

B. ?2,3? ? ?3, ? ?? D. ? ??, ? 2?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是( ) C.

B.

?x | x ? 0?

?x | x ? 0且x ? ?1?

D.

?x | x ? 0且x ? ?1?

题型 2:求复合函数和抽象函数的定义域 例 1.已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f ( x) 的定义域 例 2.已知 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(-2,0) ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域 考点 5:求函数的值域
2

例 3、已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[-2,3],则 y ? f ?2 x ? 1?的定义域是_________

1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, 例 1、 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 例 2、 y ? ?2 x 2 ? 8x ? 5 (1) x ? [ ?1,1] (2) x ? [1,4] (3) x ? [4,8]

(2)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 y ?

2x ? 1 的值域 x ? 2x ? 2
2

2x 2 ? 2x ? 3 例 3、 y ? x2 ? x ?1

例 4、 y ?

x ?1 x ? x ?1
2

(3)换元法:通过等价转化换成常见函数模型,例如二次函数 例 5、 y ? x ?

1 ? 2x

例 6、 f ( x) ? 2 x ? 3 ?

4 x ? 13

(4)分段函数分别求函数值域, 例 7、 y ? x ? 3 ? x ? 5 例 8、函数 f ( x) ? ? A. R
2 ? ?2 x ? x (0 ? x ? 3) 的值域是( 2 x ? 6 x ( ? 2 ? x ? 0) ? ?



B. ? ?9, ?? ?

C. ? ?8,1?

D. ? ?9,1?

(5)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 y ?

3x ? 2 的值域 4x ? 3

例 10、设函数 y ?

1 1 1? x

的定义域为 M ,值域为 N ,那么





( A) M ? {x x ? 0}, N ? {y y ? 0}

( B ) M ? {x x ? 0}, N ? {y y ? R}

(C ) M ? {x x ? 0且x ? ?1, 或x ? 0} , N ? {y y ? 0或0 ? y ? 1或y ? 1}

( D ) M ? {x x ? ?1或 ?1 ? x ? 0或x ? 0}, N ? { y y ? 0}
(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域

m , (m>0)的函数,m<0 就是单调函数了 x 4 三种模型: (1)如 y ? x ? ,求(1)单调区间(2)x 的范围[3,5],求值域 x (3)x ? [-1,0 ) ? (0,4],求值域 4 (2)如 y ? x ? 求(1)[3,7]上的值域 (2)单调递增区间(x ? 0 或 x ? 4) x?4,
(9)对勾函数法 像 y=x+
3


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