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2015-2016高中数学2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1_图文

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质

? 1.理解指数函数的概念和意义.(重点)
? 2.能借助计算器或计算机画出具体指数函数 的图象.(难点)
? 3.初步掌握指数函数的有关性质.(重点、 难点)

? 1.指数函数的定义

? 函数__y_=__ax_(a_>_0_,_且__a≠_1_)______叫做指数函数,其 中x是自变量.

? 2.指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

图象

a>1

0<a<1

定义域 性
值域 质
过定点

R (0,+∞) 过点_(_0_,1_)__,即x=_0__时,y=__1_

函数值的 当x>0时,__y_>__1_;



变化 当x<0时,_0_<__y_<__1__

当x>0时,_0_<__y_<__1; 当x<0时,_y_>__1__

质 单调性 奇偶性

是R上的_增__函__数___

是R上的_减__函__数___

非奇非偶函数

? 1.想一想 ? (1)函数y=3·5x是指数函数吗?
? 提示:不是,不符合指数函数的定义.必须严 格符合y=ax(a>0,且a≠1)这种形式,才是指数 函数(2)函.数 y=2x 与 y=????12????x 的图象有怎样的对称关系?
提示:两个函数的图象关于 y 轴对称.

? (3)在第一象限内,函数y=2x与y=3x的图象 的位置关系是怎样的?
? 提示:在第一象限内y=3x的图象在y=2x的图 象的上方.

? 2.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
? (1)指数函数的图象一定在x轴的√上方.( ) ? (2)当a>1时,对于任意x∈R×总有×ax>1.( ) ? (3)函数f(x)=2-x在R上是增函数.( )

1.指数函数中规定 a>0,且 a≠1 的原因 (1)如果 a=0,当 x>0 时,ax 恒等于 0;当 x≤0 时,ax 无意 义. (2)如果 a<0,例如 y=(-4)x,这时对于 x=12,14,…,在 实数范围内该函数无意义. (3)如果 a=1,则 y=1x 是一个常量,没有研究的价值. 为了避免上述各种情况,所以规定 a>0,且 a≠1.

? 2.底数变化对指数函数图象形状的影响
指数函数y=ax的图象如图所示,由指 数函数y=ax的图象与直线x=1相交于点(1, a)可知:
(1)在y轴右侧,图象从上到下相应的底 数由大变小;
(2)在y轴左侧,图象从下到上相应的底 数由大变小,如图中的底数的大小关系为0 <a4<a3<1<a2<a1.

? 3.指数函数值的变化规律 ? (1)根据底数的不同指数函数的函数值有以下
两类变化规律:
? ①当a>1时,若x>0,则y>1; ? 若x<0,则0<y<1. ? ②当0<a<1时,若x>0,则0<y<1; ? 若x<0,则y>1. ? (2) 指数函数中函数值的“有界性”: ? 当a>0,且a≠1时,对于任意x∈R总有ax>0.

? 4.指数函数图象和性质的巧记
? (1)指数函数图象的记忆方法:一定二近三单 调,两类单调正相反.
? (2)指数函数性质的巧记方法:非奇非偶是单 调,性质不同因为a,分清是0<a<1,还是a >1,依靠图象记性质.

? 指数函数的概念
函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值. 思路点拨: ax的系数为1 ―→ a为常数,a>0且a≠1 ―→ 不等式组 解:∵y=(a2-3a+3)ax 是指数函数, ∴?????aa2>-03且a+a≠3=1,1, 解得?????aa= >10或 且2a, ≠1. ∴a=2.

? 1.判断一个函数是否为指数函数的方法
? 判断一个函数是否是指数函数,其关键是分 析该函数是否具备指数函数三大特征:
? (1)底数a>0,且a≠1; ? (2)ax的系数为1. ? (3)y=ax中“a是常数”,x为自变量,自变量
在指数位置上.

? 2.已知某函数是指数函数求参数值的基本 步骤

1.(1)下列函数中,哪些是指数函数? ①y=(-8)x;②y=2x2-1;③y=ax; ④y=(2a-1)x???a>12,且a≠1???;⑤y=2·3x. (2)指数函数 f(x)的图象经过点(2,9),求 f(1)及 f(-2).

? 解:(1)④为指数函数. ? ①中底数-8<0,
? ∴不是指数函数. ? ②中指数不是自变量x,而是x的函数,
? ∴不是指数函数. ? ③中底数a,只有规定a>0且a≠1时,才是指
数函数. ? ⑤中3x前的系数是2,而不是1, ? ∴不是指数函数.

(2)设 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),∵f(2)=9, ∴a2=9,解得 a=3, ∴f(x)=3x. ∴f(1)=3,f(-2)=3-2=19.

? 指数函数的图象
如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的 图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )

A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d

B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c

思路点拨:

? 解析:方法一:在①②中底数大于零且小于1, 在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴, 故有b<a,在③④中底数大于1,在y轴右边, 底数越大,图象向上越靠近y轴,故有d<c.故 选方B法. 二:作直线x=1,与四个图象分
别交于A、B、C、D四点,由于x=1代入
各个函数可得函数值等于底数,所以四个
交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可
知b<a<1<d<c,故选B.
答案:B

? 1.当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴, 递增速度越快;当0<a<1时,a的值越小, 图象越靠近y轴,递减的速度越快.
? 2.在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由 大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底 数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧, 底3.数在按同一逆平时面针直角方坐向标变系中大函.数 y=ax(a>0,a≠1)与 y=???1a???
x(a>0,a≠1)的图象关于 y 轴对称.

2.函数 y=???12???|x|的图象有什么特征?你能根据图象指出其值 域和单调区间吗?
解:因为|x|=?????x-,x,??xx≥ <00??, , 故当 x≥0 时,函数为 y=???12???x; 当 x <0 时,函数为 y=???12???-x=2x,

其图象由 y=???12???x(x≥0)和 y=2x(x<0)的图象合并而成. 而 y=???12???x(x>0)和 y=2x(x<0)的图象关于 y 轴对称,所以原 函数图象关于 y 轴对称. 由图象可知值域是(0,1],递增区间是(-∞,0],递减区间是 [0,+∞).

? 与指数函数有关的定义域、值域 问题
求下列函数的定义域与值域:

(1)

;(2)y=???23???-|x|.

思路点拨:

指数函数y=ax?a>0, 且a≠1?的定义域是R

―→

函数y=af?x??a>0,且a≠1? 与f?x?的定义域相同

―→

值域

解:(1)由xx+ -11≥0,得 x≤-1 或 x>1.



的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞).

令 u=

xx+ -11,则 u≥0,且 u≠1,

∴10u≥100=1,且 10u≠10,即 y≥1 且,y≠10.



的值域为[1,10)∪(10,+∞).

(2)定义域为 x∈R. ∵|x|≥0, ∴y=???23???-|x|=???32???|x|≥???32???0=1. 故 y=???23???-|x|的值域为{y|y≥1}.

【互动探究】 将本例(1)中

1
改为 y=10 x-1 呢?

解:要使函数有意义,则 x-1≠0,即 x≠1.所以函数 y=

1
10 x-1 的定义域为{x|x≠1}.

因为

x≠1,即x-1 1≠0,所以

10

1 x-1

1
≠1.又 10 x-1

>0,

1
所以函数 y=10 x-1 的值域为{y|y>0,且 y≠1}.

? 函数y=af(x)定义域、值域的求法 ? (1)定义域. ? 函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. ? (2)值域. ? ①换元,令t=f(x); ? ②求t=f(x)的定义域x∈D; ? ③求t=f(x)的值域t∈M; ? ④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.

3.求函数 y=???12???x2-2x-3 的定义域和值域. 解:定义域为 R. ∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4. ∴???12??? x2-2x-3≤???12???-4=16. 又∵???12???x2-2x-3>0, ∴函数 y=???12??? x2-2x-3 的值域为(0,16].

? 思想方法系列(四) 指数型函数的值域的求 法——换元法
? 已知函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1), 当解x:≥0y=时a,2x+求2ax函-1数,f令(xt)=的ax值域.
∴y=g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当 a>1 时,
∵x≥0,∴t≥1.
∴当 a>1 时,y≥2.

? 当0<a<1时, ? ∵x≥0,∴0<t≤1. ? ∵g(0)=-1,g(1)=2. ? ∴当0<a<1时,-1<y≤2. ? 综上所述,当a>1时,函数的值域是[2,+
∞);当0<a<1时,函数的值域是(-1,2].

? 【特别关注】1.由于a2x=(ax)2,故令t=ax , 则原函数可变为y=t2+2t-1,从而可利用二 次函数的有关性质求解.这种转化方法为换 元法.
? 2.换元后,由于x≥0,当a>1和0<a<1时, t=ax的值域不同,因此应分两种情况确定t的 取值范围.
? 3.值域[2,+∞)和(-1,2]是在底数a在不同 取值范围所求出的结果,所以不能取并 集.此处极易与分段函数的值域相混淆,认 为应取并集,从而得出值域为(-1,+∞)的

? 【跟踪训练】如果函数y=a2x+2ax-1(a>0 且a≠1)在[-1,1]上的最大值为14,求a的值.
解:函数 y=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,x∈[-1,1].若 a>1, 则 x=1 时,函数取最大值 a2+2a-1=14,解得 a=3.若 0<a< 1,则 x=-1 时,函数取最大值 a-2+2a-1-1=14,解得 a=13. 综上所述,a=3 或13.