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选修2-2—— 综合法和分析法


2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法

1.问题导航 (1)什么是综合法,什么是分析法?两种证明方法的特点是什么? (2)综合法的推理过程是什么? (3)综合法与分析法有什么区别和联系? 2.例题导读 通过 P85 例 1 的学习,应学会利用综合法证明数学问题的思路和方法及推理步骤.通过 P87 例 2 和 P88 例 3 的学习,学会分析法证明数学问题的思路、方法和推理模式.

1.综合法 定义 利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系 列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明 方法叫做综合法 2.分析法 定义 从要证明的结论出发,逐步寻求使它 成立的充分条件,直至最后,把要证 明的结论归结为判定一个明显成立 的条件(已知条件、定理、定义、公理 等)为止,这种证明方法叫做分析法 推证过程 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →? → 得到一个明显 成立的条件 逆推证法或执果 索因法 特点 推证过程 P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q (P 表示已知条件、已有的定义、公 理、定理等,Q 表示所要证明的结 论) 特点 顺推 证法 或由 因导 果法

(

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法.( ) (2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.( ) (3)分析法就是从结论推向已知.( ) (4)所有证明的数学问题均可使用分析法证明.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× 2.综合法是( ) A.执果索因的逆推证法 B.由因导果的顺推证法 C.因果分别互推的两头凑法 D.原命题的证明方法 答案:B 3 .要证明 a + a+7< a+3+ a+4(a≥0) 可选择的方法有多种,其中最合理的是 ) A.综合法 B.类比法 C.分析法 D.归纳法

答案:C 4.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)=x- xln x 求导,得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1)时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区间(0,1)上是 增函数”应用了________的证明方法. 解析:本命题的证明,利用已知条件和导数与函数单调性的关系证得了结论,应用了综 合法的证明方法. 答案:综合法 1.综合法是一种直接证明的方法,是由已知推出正确结论的推理过程.它的基本思路 是“由因导果”, 由“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”, 即从数学题的已知条件出发, 经过逐步的逻辑推理,最后推出待证的问题.其逐步推理,实际上是寻找“已知”的必要条 件,综合法又叫顺推证法,或者由因导果法,是数学中最常用的证明方法. 2.分析法是数学中常用的一种直接证明方法.它是从未知到已知(从结论到题设)的逻 辑推理,简单地说,分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件.分析法又叫 “逆推证法”或“执果索因法”. 3.综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,是解决数学问题的常用的 思维方法. 一般来说,分析法解题方向明确,利于寻求解题思路;而综合法解题条理清晰,宜于表 述.因此在解决问题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过 程. 4.综合法、分析法的区别 综合法 分析法 推理方向 顺推,由因导果 逆推,执果索因 解题思路 探路较难,易生枝节 容易探路,利于思考 表述形式 形式简洁,条理清晰 叙述烦琐,易出错 思路的侧 侧重于已知条件提供的信息 侧重于结论提供的信息 重点

综合法 (1)在锐角三角形中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. π π [证明] ∵在锐角三角形中,A+B> ,∴A> -B. 2 2 π π ∴0< -B<A< , 2 2 π 又∵在?0, ?内正弦函数是单调递增函数, 2? ? π ∴sin A>sin? -B?=cos B, ?2 ? 即 sin A>cos B.① 同理 sin B>cos C,② sin C>cos A.③ 由①+②+③,得 sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. (2)

如图,在四棱锥 PABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C =90°,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,且 PB=4PM,PB 与平面 ABC 成 30°角.求证: ①CM∥平面 PAD; ②平面 PAB⊥平面 PAD. [证明] ①以 C 为原点,以 CD、CB、CP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角 坐标系(图略). 由∠PBC=30°,|PC|=2,得|BC|=2 3,|PB|=4,不难得到 D(1,0,0),B(0,2 3, 3 3 0),A(4,2 3,0),P(0,0,2),M?0, , ?. 2 2? ? 3 1 → → → 设CM=xDP+yDA,则 x= ,y= . 4 4 → → → ∴CM,DP,DA共面. ∵CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD. ②作 BE⊥PA 于点 E(图略), → ∴E(2, 3,1),BE=(2,- 3,1). → → ∴BE·DA=0,∴BE⊥DA. 又∵BE⊥PA,∴BE⊥平面 PAD, ∴平面 PAB⊥平面 PAD. 利用综合法证明数学问题的三个步骤 分析条件 ― →仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联系 选择方向 与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法 ↓ 转化条件 ― →把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图 组织过程 形三种语言之间的转化,组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路 ↓ 适当调整 ― →解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当 回顾反思 的修饰,反思总结解题方法的选取 1.(1)求证:当 x∈R 时,x2>3x-3. 证明:∵x2-(3x-3)=x2-3x+3 3 2 3 x- ? + , =? ? 2? 4 3 2 x- ? ≥0, 又∵x∈R,∴? ? 2? 2 3 3 ? ∴? ?x-2? +4>0, 即 x2-(3x-3)>0, ∴x2>3x-3. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*).其中 m 为常数,且

m≠-3. ①求证:{an}是等比数列; 3 ②若数列{an}的公比 q=f(m),数列{bn}满足 b1=a1,bn= f(bn-1)(n∈N,n≥2),求证: 2
?1? ? ?为等差数列. ?bn?

证明:①由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3. 两式相减,得(3+m)an+1=2man,m≠-3, an+1 2m ∴ = ,∴{an}是等比数列. an m+3 ②∵(3-m)Sn+2man=m+3, ∴(3-m)a1+2ma1=m+3, ∴a1=1. 2m b1=a1=1,q=f(m)= , m+3 ∴当 n∈N 且 n≥2 时, 2bn-1 3 3 bn= f(bn-1)= · , 2 2 bn-1+3 ∴bnbn-1+3bn=3bn-1, 1 1 1 ∴ - = . bn bn-1 3 ?1? 1 ∴?b ?是首项为 1,公差为 的等差数列. 3 ? n? 分析法 若 a>0,求证: a+ a+3< a+1+ a+2. [证明] 要证 a+ a+3< a+1+ a+2, 只需证( a+ a+3)2<( a+1+ a+2)2, 即证 2a+3+2 a(a+3) <2a+3+2 (a+1)(a+2), 只需证 2 a(a+3)<2 (a+1)(a+2), 只需证 a(a+3)< (a+1)(a+2), 只需证 a2+3a<a2+3a+2, 只需证 0<2, 因为 0<2 显然成立, 所以 a+ a+3< a+1+ a+2成立. 分析法证明数学问题的范围、方法、技巧

π π 2.(1)已知 α,β 均为锐角,且 α+β≠ ,(1+tan α )(1+tan β )=2,求证:α+β= . 2 4

π 证明:要证 α+β= ,由于 α,β均为锐角,所以只需证 tan(α+β)=1, 4 tan α+tan β 即证 =1, 1-tan αtan β 只需证 tan α+tan β+tan αtan β=1, ∵(1+tan α)(1+tan β)=2, ∴tan α+tan β+tan α·tan β=1 成立, π ∴α+β= 得证. 4 - - (2)已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,求证:(a+b) 1+(b+c) 1=3(a+b+ c) 1.


证明:要证(a+b) 1+(b+c) 1=3(a+b+c) 1, 1 1 3 只需证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c c a 即证 + =3,也就是证 + =1. a+b b+c a+b b+c 只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c2+a2=ac+b2, 需证 b2=c2+a2-2ac· cos 60°,需证 B=60°. ∵A、B、C 成等差数列, - - - ∴B=60°,∴(a+b) 1+(b+c) 1=3(a+b+c) 1.
- - -

综合法与分析法的综合应用 1? 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 若函数 f(x+1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称, 求证: f? ?x+2? 为偶函数. 1 x+ ?为偶函数,只需证明其图象的对称轴为 y 轴, [证明] 法一:要证 f? ? 2? b 1 即只需证- - =0, 2a 2 只需证 a=-b. b b 由已知, 得抛物线 f(x+1)的对称轴 x=- -1 与抛物线 f(x)的对称轴 x=- 关于 y 轴 2a 2a 对称, b? b ∴- -1=-? ?-2a?. 2a 于是得 a=-b. 1? ∴f? ?x+2?为偶函数. 1? 法二:记 F(x)=f? ?x+2?, 欲证 F(x)为偶函数,只需证 F(-x)=F(x), 1? ? 1? 即只需证 f? ?-x+2?=f?x+2?, 由已知,函数 f(x+1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称,而函数 f(x)与 f(-x)的图象也是关于 y 轴对称的, ∴f(-x)=f(x+1). 1 1 1 -x+ ?=f?-?x- ??=f??x- ?+1? ∴f? 2? ? ? 2?? ?? 2? ? ? 1 ? =f? ?x+2?,

1? ∴f? ?x+2?为偶函数. 一方面从问题的已知条件出发, 经逻辑推演导出中途结果, 另一方面从问题的结论出发, 回溯到中途,即导出同一个中途结果,从而沟通思路使问题得到解决. a+b b+c c+a 3.(1)若 a,b,c 是不全相等的正数,求证:lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2 a+b b+c c+a 证 明 : 要 证 lg + lg + lg >lg a + lg b + lg c , 只 需 证 2 2 2 a+b b+c c+a a+b b+c a+b b+c c+a? lg? 只需证 · · >abc.因为 ≥ ab>0, ≥ bc>0, 2 2 2 2 2 ? 2 · 2 · 2 ?>lg(abc), c+a a+b b+c c+a a+b b+c ≥ ca>0, 且上述三式中的等号不全成立, 所以 · · >abc.因此 lg +lg 2 2 2 2 2 2 c+a +lg >lg a+lg b+lg c. 2 (2)在某两个正数 x,y 之间插入一个数 a,使 x,a,y 成等差数列,插入两数 b,c,使 x,b,c,y 成等比数列,求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1). ?2a=x+y,
2 证明:由已知得?b =cx, 2 2

?

? ?c2=by,

b c ∴x= ,y= , c b b2 c2 即 x+y= + , c b b2 c2 从而 2a= + . c b 要证(a+1)2≥(b+1)(c+1), 只需证 a+1≥ (b+1)(c+1)成立. (b+1)+(c+1) 只需证 a+1≥ 即可. 2 2 2 b c 也就是证 2a≥b+c.而 2a= + , c b b2 c2 则只需证 + ≥b+c 成立即可, c b 即证 b3+c3=(b+c)(b2-bc+c2)≥(b+c)bc, 即证 b2+c2-bc≥bc, 即证(b-c)2≥0 成立, 上式显然成立, ∴(a+1)2≥(b+1)(c+1). 规范解答 综合法在几何证明中的应用

(本题满分 12 分)如图, 在四棱锥 OABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, OA⊥平面 ABCD, E 为 OA 的中点,F 为 BC 的中点,求证:

(1)平面 BDO⊥平面 ACO; (2)EF∥平面 OCD. [证明] (1)因为 OA⊥平面 ABCD, BD?平面 ABCD,所以 OA⊥BD.2 分 因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD,? 又 OA∩AC=A,所以 BD⊥平面 ACO.4 分 又因为 BD?平面 BDO,所以平面 BDO⊥平面 ACO.6 分

(2)取 OD 的中点 M,连接 EM,CM, 1 则 ME∥AD,ME= AD.7 分 2 因为 ABCD 是菱形, 所以 AD∥BC,AD=BC, 因为 F 为 BC 的中点,8 分 1 所以 CF∥AD,CF= AD, 2 所以 ME∥CF,ME=CF,? 10 分 所以四边形 EFCM 是平行四边形,所以 EF∥MC.? 又因为 EF?平面 OCD,MC?平面 OCD. 所以 EF∥平面 OCD.12 分 [规范与警示] (1)在?处易忽略“菱形”这一条件的运用导致无法证明面面垂直.在?处往往不能正 确的构造出平行四边形导致无法得到线线平行,最后导致第(2)问结论无法证出. (2)几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理,注意各个定理的应用格式, 掌握常见的辅助线的作法,寻找好定理所需的条件,如本例中构造平行四边形说明线线平 行.同时证明时要注意应用题中的条件,注意隐含条件的挖掘,如果漏掉某一条件或对某一 条件挖掘不深则会导致题目无法证明. 1.关于综合法和分析法的说法错误的是( ) A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B.综合法又叫顺推证法或由因导果法 C.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 D.分析法又叫逆推证法或执果索因法 解析:选 C.由综合法、分析法的定义可知,C 错误. 2.在△ABC 中,tan A·tan B>1,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析:选 A.∵tan A·tan B>1,∴tan A>0,tan B>0, tan A+tan B ∴A、B 为锐角,又 tan(A+B)= <0, 1-tan Atan B π π ∴A+B> ,∴C< ,∴△ABC 是锐角三角形,故选 A. 2 2 3.已知函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象过点(-1,3)和(1,1),若 0<c<1,则实数 a 的取 值范围是________.

? ?3=a-b+c, 解析:将 x=-1,y=3 和 x=1,y=1 代入 y=ax2+bx+c 中,得? ? ?1=a+b+c, ∴b=-1,∴a+c=2,又∵0<c<1,∴0<2-a<1,∴1<a<2. 答案:(1,2) a+b 4.设 a>0,b>0,证明 ≥ ab. 2 a+b 证明:要证 ≥ ab, 2 只需证 a+b≥2 ab, 即证 a+b-2 ab≥0, 只需证( a- b)2≥0, a+b 上式显然成立,故 ≥ ab成立. 2

[A.基础达标] 1.命题“对于任意角 θ,cos4θ -sin4θ =cos 2θ ”的证明过程为:“cos4θ -sin4θ = (cos θ -sin2θ )(cos2θ +sin2θ )=cos2θ -sin2θ =cos 2θ ” ,其应用了( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.类比法 解析:选 B.从证明过程来看,是从已知条件入手,经过推导得出结论,符合综合法的 证明思路. 2.欲证 2- 3< 6- 7成立,只需证( ) A.( 2- 3)2<( 6- 7)2 B.( 2- 6)2<( 3- 7)2 C.( 2+ 7)2<( 6+ 3)2 D.( 2- 3- 6)2<(- 7)2 解析:选 C.A 中, 2- 3<0, 6- 7<0,平方后不等价;B、D 与 A 情况一样;只有 C 项, 2- 3< 6- 7? 2+ 7< 6+ 3?( 2+ 7)2<( 3+ 6)2. 3.函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则 b-a 的最小值为( ) A.2 B .1 1 2 C. D. 3 3 1 1 解析:选 D.由函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则 a= ,1≤b≤3;或 3 3 2 ≤a≤1,b=3,故 b-a 的最小值为 ,故选 D. 3 4.已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a?平面 M,b?平面 N,M∩N=c.有下列命题: ①若 a 不垂直于 c,则 a 与 b 一定不垂直;②若 a∥b,则必有 a∥c;③若 a⊥b,a⊥c,则 必有平面 M⊥平面 N.其中正确的是( ) A.① B.② C.③ D.②③ 解析:选 B.由线线平行、线线垂直的判定和性质,可知只有②正确. 1?x ?a+b? ? 2ab ? 5.已知函数 f(x)=? ?2? ,a,b∈(0,+∞),A=f? 2 ?,B=f( ab),C=f?a+b?,则 A, B,C 的大小关系为( ) A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A
2

解析:选 A.∵a>0,b>0,∴ ∴

a+b ≥ ab. 2

2 ab ≤1, a+b 2ab ∴ ≤ ab. a+b 1?x 又∵f(x)=? ?2? 为减函数, a+b? ? 2ab ? ∴f? ? 2 ?≤f( ab)≤f?a+b?,故选 A. 6.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到 A 为钝角的结论,对三边 a,b,c 应满 足的条件是 a2________b2+c2(填“>”“<”“≥”或“≤”). 答案:> 7.若抛物线 y=4x2 上的点 P 到直线 y=4x-5 的距离最短,则点 P 的坐标为________. 解析:设点 P 在直线 y=4x+m 上,将 y=4x+m 代入 y=4x2,得 4x2-4x-m=0,令Δ 1 =0,得 m=-1.∴4x2-4x+1=0,∴x= ,y=1. 2 1 ? 答案:? ?2,1? 2 3 8.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体的表面上与点 A 距离为 的点集形 3 成一条曲线,这条曲线的长度为________. π 2 3 解析:这条曲线在面 ADD1A1 上的一段是以 A 为圆心, 为半径, 为圆心角的一段 3 6 π 3 圆弧,在面 A1B1C1D1 上的一段是以 A1 为圆心, 为半径, 为圆心角的一段圆弧,由正方 3 2 π 2 3 π 3 5 3 体的对称性知,这条曲线的长度为:3( · + · )= π. 6 3 2 3 6 5 3 答案: π 6 π 9.△ABC 的三边 a,b,c 的倒数成等差数列,求证:B< . 2 2 1 1 证明:由条件得 = + , b a c 2ac 即 b= . a+c a2+c2-b2 又∵cos B= , 2ac 2ac 2 a2+c2-?a+c? ? ? ∴cos B= 2ac (a2+c2)(a+c)2-4a2c2 = . 2ac(a+c)2 ∵a,b,c 均为正数, ∴a2+c2≥2ac, ∴(a+c)2≥4ac, ∴(a2+c2)(a+c)2-4a2c2 ≥2ac·4ac-4a2c2 =4a2c2>0, π 即 cos B>0,又∵0<B<π,∴B< . 2

10.已知 x>0,y>0,求证:(x2+y2)2>(x3+y3)3. 证明: 要证明(x2+y2)2>(x3+y3)3, 只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2, 即证 x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6 3 3 6 4 2 2 4 3 3 +2x y +y ,即证 3x y +3x y >2x y . ∵x>0,y>0,∴x2y2>0,即证 3x2+3y2>2xy, ∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy, ∴3x2+3y2>2xy 成立, 故(x2+y2)2>(x3+y3)3. [B.能力提升] 1.若 2m+4n<2 2,则点(m,n)必在( ) A.直线 x+y=1 的右上方 B.直线 x+y=1 的左下方 C.直线 x+2y=1 的右上方 D.直线 x+2y=1 的左下方 + + 解析:选 D.由均值不等式得 2m+4n≥2 2m4n=2 2m 2n,∴2 2m 2n<2 2,∴m+2n<1, 故选 D. 2.过 x2+y2=10x 内一点(5,3)有 n 条弦,它们的长度构成等差数列,最小弦长为数列 1 1? 首项 a1,最大弦长为数列的末项 an,若公差 d∈? ) ?3,2?,则 n 的取值范围是( A.{4} B.[5,7] C.(7,+∞) D.(0,+∞) 解析:选 B.A(5,3),圆心 O(5,0),最短弦为垂直 OA 的弦,∴a1=8,最长弦为直径, 2 1 2 1 ∴an=10,公差 d= ,∴ ≤ ≤ ,∴5≤n≤7. 3 n- 1 n-1 2 1-x 3.函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(m· n>0) 1 1 上,则 + 的最小值为________. m n - 解析:由函数 y=a1 x(a>0 且 a≠1)恒过定点 A(1,1), 点 A 在直线 mx+ny-1=0 上, ∴m+n-1=0,即 m+n=1. 又 m· n>0, ∴m>0,n>0. 1 1 ? 1 1? n m n m 1 + = + (m+n)=2+ + ≥2+2 · =2+2=4(当且仅当 m=n= 时取等 m n ?m n? m n m n 2 号). 答案:4 b b+m 4.设 a>b>0,m>0,用分析法证明 < 成立的充分条件是________. a a+m 解析:∵a>b>0,m>0. b b+m 要证 < 成立, a a+m b+m b 只需证 ·a(a+m)< ·a(a+m)成立即可. a a+m 即证 ab+bm<ab+am 成立, 只需证 bm<am 成立, 即证(b-a)m<0 成立即可, 由已知可知上式显然成立. 答案:(b-a)m<0 5.如图所示,过抛物线 y2=2px(p>0)的顶点任作两条互相垂直的弦 OA、OB,求证: AB 过 x 轴上的一个定点.
1 1 1 1

1

1

证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1y2 ∵OA⊥OB,∴ =-1, x1x2 2 2 2 ∴y1 y2=x2 1x2, 2 ∵y1=2px1,y2 2=2px2, 2 ∴4p x1x2=(x1x2)2,∴x1x2=4p2. 设直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0),设直线 AB 的方程为 y-y1=k(x-x1)(k≠0),且 k 存在. y1 令 y=0,得 x=- +x1, k 2 由 y2 1=2px1,y2=2px2,两式相减,得 y2-y1 2p 2 y2 = , 2-y1=2p(x2-x1),∴k= x2-x1 y2+y1 -y1(y1+y2) y1 ∴x=- +x1= +x1 k 2p -y2 y1y2 1-y1y2+2px1 = =- , 2p 2p 2 2 2 又 y2 1y2=4p x1x2,∴x =x1x2, 2 2 ∴x1x2=m ,∴m =4p2,m=2p. 即 AB 过 x 轴上一定点为(2p,0). 经检验,当 AB 斜率不存在时,m=2p 也适合,故 AB 过 x 轴上的一个定点. 6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn =An+B,n∈N*,其中 A、B 为常数. (1)求 A 与 B 的值; (2)证明数列{an}为等差数列; (3)证明不等式 5amn- aman>1 对任何正整数 m,n 都成立. 解:(1)由已知得 S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18. 由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,得 ? ?-3S2-7S1=A+B, ? ?A+B=-28, ? 即? ?2S3-12S2=2A+B, ? ?2A+B=-48, ? ? A =- 20 , ? 解得? ?B=-8. ? (2)证明:由(1)得 (5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8.① ∴(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28.② ②-①,得(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20.③ ∴(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④ ④-③,得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. ∵an+1=Sn+1-Sn, ∴(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. ∵5n+2≠0,∴an+3-2an+2+an+1=0. ∴an+3-an+2=an+2-an+1,n∈N*. 又 a3-a2=a2-a1=5,∴数列{an}为等差数列. (3)证明:由(2)可知,an=1+5(n-1)=5n-4,

要证 5amn- aman>1, 只需证 5amn>1+aman+2 aman, ∵amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, ∴只需证 5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2 aman, 即证 20m+20n-37>2 aman. ∵2 aman≤am+an=5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37. ∴ 5amn- aman>1.


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