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2011年版-高考题选编(选择题,填空题部分)-数列与不等式


高中数学:数列与不等式 全国高考数学试题精选
一.选择题
1. (北京卷)如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么 (A)b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 2. (湖北卷)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9= A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

3. (江西卷)在各项均不为零的等差数列 A. ?2 4. (辽宁卷) 在等比数列 (A) 2
n ?1

?an ? 中,若 a

n?1

2 ? an ? an?1 ? 0(n ≥ 2) ,则 S2n?1 ? 4n ?

B. 0

C. 1
n

D. 2

?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?a ?1? 也是等比数列,则 Sn 等于
(B)

?2

3n

(C) 2 n

(D) 3 ? 1
n

5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 (A ) 3 10 (B) 1 3

S3 1 S6 = ,则 = S6 3 S12
1 (C) 8 (D ) 1 9

6. (天津卷) 已知数列 {an } 、{bn } 都是公差为 1 的等差数列, 其首项分别为 a1 、b1 , 且 a1 ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于 cn ? abn ( n ? N * ) A.55 B.70 C.85 D.100 7. (江苏卷)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立 的是 .... (A) | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | (C ) | a ? b | ?
1 ?2 a?b

? b1 ? 5 ,a1 , b1 ? N * .设

(B) a 2 ? 1 ? a ? 1 2
a

a

(D) a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a

1 a 8.(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y A.2 A.f(x1)<f(x2) B.4
2

C.6 C.f(x1)>f(x2)

D.8 D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定

9.(陕西卷)已知函数 f(x)=ax +2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则 B.f(x1)=f(x2)

10.(重庆卷)若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 (A )

3 ,则 2a+b+c 的最小值为
(C) 2

3 -1

(B)

3 +1

3 +2

(D) 2

3 -2
p

11. (07 湖北理 5)已知 p 和 q 是两个不相等的正整数,且 q ≥ 2 ,则

1? ? ?1 ? ? ? 1 n? ? lim ? q n→? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? n? ?

A.0

B.1

C.

p q

D. p ? 1 q ?1

12. (07 湖北理 8)已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 An ? 7n ? 45 ,则使得 n 为整数的正 b
Bn n?3
n

a

整数 n 的个数是 A.2 B.3 C.4 D .5 13.(北京理 7)如果正数 a,b,c,d 满足 a ? b ? cd ? 4 ,那么 A. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 B. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 C. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 D. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 14.(重庆理 7)若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则 A. 2 5
15

2ab 的最大值为 | a | ?2 | b |

B. 2
4

C. 5
5

D. 2
2

15.( 2 0 0 9 广 东 卷 理 ) 已知等比数列 {an } 满足 an 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)2

? 0, n ? 1, 2,?,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1

C. n

2

D. (n ? 1)2

16.(2009 湖北卷文)设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

5 ?1 5 ?1 5 ?1 },[ ], 2 2 2

17. (2009 湖北卷文) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数, 例如: 他们研究过图 1 中的 1, 3, 6, 10, …, 由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列 数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378

18.(2009 宁夏海南卷文)等差数列 (A)38 (B)20

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a
(C)10

m?1

2 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

(D)9 .

19.(2009 安徽卷理)已知 (A)21

?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项
(C)19 (D) 18

和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是 (B)20

20.(2009 江西卷理)数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 n? ? sin 2 n? ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为
3 3

A. 470

B. 490

C. 495

D. 510

?3x ? y ? 6 ? 0 21.(2009 山东卷理) 设 x, y 满足约束条件 ? (a>0, b>0) 的值是最大值为 12, 则2?3 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z=ax+by a b ? x ? 0, y ? 0 ?
的最小值为 A. 25
6

B. 8
3
a b

C. 11
3

D. 4

22.(2009 重庆卷文)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 1 ? 1 ? 2 ab 的最小值是 A.2 B. 2

2

C.4

D.5

x ? 2 y ? 0 ,所确定的平面区域,则圆 2 2 23.(2009 湖南卷理)已知 D 是由不等式组 ? x ? y ? 4 在区域 D 内的弧长为 ? ?x ? 3y ? 0

A ? 4

B?
2

C 3?
4

D 3?
2

24.(2009 天津卷理)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 1 ? 1 的最小值为 a b A 8 B 4 C 1
2

D

1 4

25.(2009 天津卷理) 0 ? b ? 1 ? a ,若关于 x 的不等式 ( x ? b)2 > (ax) 的解集中的整数恰有 3 个,则 (A ) ? 1 ? a ? 0 (B) 0 ? a ? 1 (C ) 1 ? a ? 3 (D) 3 ? a ? 6

26.(2009 重庆卷理)不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 A. (??, ?1] ? [4, ??) B. (??, ?2] ? [5, ??) . C. [1, 2] D. (??,1] ? [2, ??)

27.(2010 辽宁理数) (6)设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,则 S5 (A) 15
2

?

(B) 31
4

(C) 33
4

(D) 17
2
1 2 8

28.(2010 江西理数)5. 等比数列 则 f ' ? 0? ? ( A. 2
6

?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数 f ? x? ? x(x ? a )(x ? a )?(x ? a ) ,
C. 2
12

) B. 2
9

D. 2

15

29.(2010 四川理数) (8)已知数列

?an ? 的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 S
(C) 1 (D)2

n ?1

? 2Sn ? a1 ,则 lim

an ? n ?? S n

(A)0

(B)

1 2

30.(2010 天津理数) (6)已知

1? ?an ? 是首项为 1 的等比数列, sn 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数列 ? ? ? 的前 ? an ?

5 项和为 (A) 15 或 5
8

(B) 31 或 5
16

(C) 31
16

(D) 15
8

31.(2010 广东理数)4. 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 则 S5 = A.35 B.33 C.31

? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 5 ,
4

D.29

32.(2010 福建理数)3.设等差数列 A.6 B.7

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于
C.8 D .9

33.(2010 浙江理数) (7)若实数 x , y 满足不等式组 ? ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ?

? x ? 3 y ? 3 ? 0,

? x ? my ? 1 ? 0, ?

(A ) ? 2

(B) ?1

(C )1
1

(D)2

35.(2010 全国卷 1 文数) (10)设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5?2 则 (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 1 36.(2010 四川文数) (11)设 a>b>0 ,则 a 2 ? 1 ? 的最小值是 ab a ? a ? b ? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (A ) a ? b ? c (B) b ? c ? a

?x ? 1 37.(2010 福建理数)8.设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ? 1 ,平面区域是 ?2 与 ? 1 关于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对 ? ?y ? x ?

称,对于 ? 1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的最小值等于 A. 28
5

B.4

C. 12
5

D.2

二.填空题
1. (江苏卷)对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 { 和的公式是 .

an } 的前 n 项 n ?1

2. (山东卷)设 S n 为等差数列

?an ?的前 n 项和, S4 =14,S

10

- S7 =30,则 S9=

.

3.(重庆卷)在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an= . 2 4. (07 安徽理 14) 如图, 抛物线 y=-x +1 与 x 轴的正半轴交于点 A, 将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2,…,Pn
-1

,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角形△Q1OP1, . ; 数 列

△Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当 n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为 5.(07 北京理 10)若数列

?an ? 的前 n 项和 S

n

? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ?) ,则此数列的通项公式为

?nan? 中数值最小的项是第
6. ( 07 重 庆 理 14 ) 设 {

项.

an } 为 公 比 q>1 的 等 比 数 列 , 若 a2 0 0 4和 a2005 是 方 程 4 x2 ? 8x ? 3? 0的 两 根 , 则
.

a2006 ? a2007 ?

7. (山东文 14)函数 y ? a1? x (a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ?1 ? 0(mn ? 0) 上,则

1 1 ? 的 m n

最小值为

. .

8.(山东文 15)当 x ? (1 , 2) 时,不等式 x2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是

9.(山东理 16)函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 , 则

1 2 ? 的最小值为 m n

.

10.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S

9

? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 =

.

11.(2009 浙江文)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类比以上结 论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , T16 成等比数列.

T12

12. ( 2009 北 京 理 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 :

? 则 a4n? 3 ? 1, a 4n? 1? 0,a 2n ? an , n ? N , a2009 ?



a2014 =
13.(2009 江苏卷)设

.

?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 b
.

n

? an ? 1(n ? 1,2, ? ) ,若数列

?bn ? 有连续四项在集合

??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q =
14. (2009 湖北卷理)已知数列
1

, ?an ? 满足: a =m (m 为正整数) a

? an ? ,当an为偶数时, 若 a6=1 ,则 m 所有可能的 ? ?2 n ?1 ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?

取值为

..

15.(2009 辽宁卷理)等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S ? 5S
5

3

? 5, 则 a4

?
2 m

. =0, S2 m?1 =38,则 m= .

16. (2009 宁夏海南理)等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。已知 am?1 + am?1 - a 17. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 文 ) 等 比 数 列 {

an } 的 公 比 q ? 0 , 已 知 a2 =1 , an?2 ? an?1 ? 6an , 则 { an } 的 前 4 项 和

S4 =

.

18.(2009 重庆卷理)设 a1 .

? 2 , an?1 ? 2 , bn ? an ? 2 , n ? N * ,则数列 ?bn ? 的通项公式 bn =
an ? 1
an ? 1

.

19. (2009 山东卷理)不等式 2x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为

..

20. (2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为
3 3 2 3 3 3 2

.元. .
3 3 3 3

21.(2010 陕西文数)11. 观察下列等式:1 +2 =(1+2) ,1 +2 +3 =(1+2+3) ,1 +2 +3 +4 =(1+2+3 +4) ,…,根据上述规律,第四个等式 为 ..... 22.(2010 辽宁理数) (16)已知数列
2 2

.
1

?an? 满足 a

? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则
2

an 的最小值为 n

.

23.(2010 江苏卷)8. 函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则

a1+a3+a5=

. . . (写

24.(2010 辽宁理数) (14)已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是 25.(2010 安徽文数)(15)若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 出所有正确命题的编号). ① ab ? 1 ; ② a? b ? 2; ③
a 2 ? b2 ? 2 ;

④ a 3 ? b3 ? 3 ;

⑤1?1 ?2 a b

26. (2010 安徽理数) 13. 设 x, y 满足约束条件 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 8, 则a?b ?8 x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 0 , y ? 0 ?

的最小值为

.
a?b

27.(2010 湖北理数)15.设 a>0,b>0,称 2 ab 为 a,b 的调和平均数。如图,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆 于 D。连结 OD,AD,BD。过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a,b 的 算术平均数,线段____________的长度是 a,b 的几何平均数,线段___________的长度是 a,b 的调和平均数。 28.(2010 江苏卷)12. 设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8,4≤
2

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y

.


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