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山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(文)试卷+Word版含解析

山东、湖北部分重点中学 2018 届高三第二次联考
数学(文)试题
命题学校:襄阳五中 命题人:程玲

本试卷共 4 页,共 23 题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答:用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域.答 在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.请将答题卡上交.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.(原创,容易)已知命题 p, q ,则“ p ? q 为假命题”是“ p ? q 为真命题”的( A.充分不必要条件 充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 “ p ? q 为假命题”包括“ p 假 q 假”, “ p 真 q 假” , “ p 假 q 真” , “ p ? q 为真命题” 包括“ p 真 q 真” , “ p 真 q 假” , “ p 假 q 真” 【考点】命题交并的真假,充分必要条件 2. (原创, 容易) 已知集合 A ? ? x 的子集个数为( A. 5 【答案】D 【解析】A ? x x ? 1或2 ? x ? 4 ,B ? 0, ? A ? B ? 0, ? A? B 的 1 , 2, 3, 4, 5 , 1, 3, 4 , 子集个数为 2 4 ? 16
-1-



B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不

? ( x ? 1)(x ? 4) ? 则集合 A ? B ? 0? ,B ? ?x ? N ?1 ? x ? 5?, x?2 ? ?

) C.32 D.16

B. 4

?

?

?

?

?

?

【考点】解不等式,交集的运算,集合子集的个数 3.(原创,容易)设 i 为虚数单位,若复数 Z ?

a 3 ? i (a ? R) 的实部与虚部的和为 ,则 1? i 4

f ( x) ? ( x ? 1) a ?

3 定义域为( x?2

) C. ?1 , ? ?? D. ?1,2?

( 1, 2) ? (2, ? ?) A.
【答案】A 【解析】易知 a ? ?

B. ? 1, 2? ? (2, ? ?)

1 ,所以只需满足 x ? 1且x ? 2 4

【考点】复数,具体函数的定义域. 4.(原创,容易) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 A ? 则角 C =( A. ) B.

?
3

,c ? 4,a ? 2 6 ,

3? 4

? 4

C.

? 3? 或 4 4

D.

? 2? 或 3 3

【答案】B

3 4? a c 2 ? 2 ,又?a ? c ,所以角 C = ? ? 【解析】? ,? sin C ? sin A sin C 4 2 2 6
【考点】正弦定理解三角形. 5.(原创,容易)执行下列程序框图,若输入 a,b 分别为 98,63,则输出的 a ? ( )

A.12 C. 7

B. 14 D. 9

【答案】C 【解析】 “更相减损术”求最大公约数 【考点】程序框图

6. ( 原 创 , 适 中 ) 已 知 f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ,

g ( x) ? x ?1 - x ? 3 ,设 f ( x) 的最大值为 M , g ( x) 的最大值为 N ,则
A. 2 【答案】A B.1 C.4 D.3

M =( N



-2-

【 解 析 】 f ( x) 的 定 义 域 是 ?- 3, 1? , f 2 ( x) ? ( 1? x ?

2 x ? 3) ? 4 ? 2 - x2 ? 2x ? 3 , 当

x ? ? 1 时 , f 2 ( x) m a ? M = 2 2 ; g ( x) 的 定 义 域 是 ?3, ? ?? , x8 , 所 以

g ( x) ? x ? 1 - x ? 3 ?
【考点】函数的最值

2 M ,所以 g ( x)max ? N ? 2 . =2 N x ?1 ? x ? 3

7.(原创,适中)曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 1 在点 ?1 , 1?处的切线方程是( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? 4 y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? 4 y ? 5 ? 0 【答案】B 【解析】 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0



, 1?,斜率为 k ? 3x 0 ? 1 =2,则该切点处的切线为 2 x ? y ? 1 ? 0 因为切点为 ?1
2

【考点】曲线上某点处的切线方程 8. ( 原 创 , 适 中 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ln( x 2 ? 1 ? x) ? sin x , 则 对 于 任 意 实 数

f ( a ) ? f (b) ? ? ?? 的值( a , b ? ? - , ?且a ? b ? 0 ,则 a?b ? 2 2?
A.恒负 【答案】A 【解析】f ( x) ? ln( x 2 ? 1 ? x) ? sin x 在 ? 与 a ? b 同号 【考点】函数的性质. 9. (改编,适中) 若函数 f ? x ? ? B. 恒正 C. 恒为 0 D. 不确定



? ? ?? , ? 上为奇函数且单调递减.所以 f (a) ? f (b) ? 2 2?

d (a, b , c, ax ? bx ? c
2

d ? R )的图象如图所示,则下列说法正确的是(
A. a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0 B. a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0 C. a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0



-3-

D. a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0 【答案】D 【解析】 5.所以 a , b 异号, ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为 1,

a , c 同号.又因为 f (0) ? 0 ,所以 c, d 异号
【考点】函数图像 10. (改编,较难)某多面体的三视图如图所示,正视图中大直角三角形的斜边长为 5 ,左 视图为边长是 1 的正方形,俯视图为有一 个内角为 45? 的直角梯形,则该多面体的 体积为( )

A.1

B. 1

2
C. 2 D. 2

3
【答案】C 【解析】 , V ? VB ? ADFE ? VF ? BCD ? 【考点】三视图

1 1 2 ? ? 3 3 3

1 ? 2 y 2 ? x2 ?x ? ? 4 y ? x 2 y ,则 11. (改编,较难)若正数 x , y 满足约束条件 ? 的取值范围为 xy ? y ? ln x ?
( )

A. ?e ? , ? ? e 4? 【答案】A

?

1 17?

B.

? 1 ? e ? ,??? ? ? e ?

C.

? 17 ? 2, ? ? 4? ?

D. ?2, e ? ? e

? ?

1? ?

1 1 ? 2 ? ?1 y )?0 ? ? ?x ? ? 4 y ? ?( x ? 4 y)(1 ? 2 xy x 2 y 可化为 ? 【解析】因为 x, y ? R ,所以 ? ,即 ? 4 x ? ? y ? ln x ? y ? ln x ? y ? ln x ? ?
?

又因为

y2 ? x2 y x ? ? , xy x y
-4-

1 ? 1 ? ?k ? 4 y ? k? ?1 1? 所以设 k ? , 则约束条件变为 ? , 进一步可知约束条件为 ? , 所以 k ? ? , ? , 4 1 x ?4 e? ?k ? ?kx ? ln x ? e ?
目标函数为

y2 ? x2 1 ? 1 17? ? k ? ? ?e ? , ? xy k ? e 4?

【考点】线性规划,函数上过某点的切线方程,函数的值域 12.(改编,较难)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax, g ( x) ? ln x ? e x .在其共同的定义域内, g ( x) 的 图像不可能在 f ( x) 的上方,则求 a 的取值范围( A. 0 ? a ? 【答案】C 【解析】由题意得 a ? ) D. a ? 0

1 e ?1

B.

a?0

C.

a ? e ?1

ex ln x ex ln x ?x? ?x? ,令 ? ( x) ? , x x x x

?, ( x) ?

e x ( x ? 1) 1 ? ln x e x ( x ? 1) ? x 2 ? 1 ? ln x ? 1 ? ? ;令 t ( x) ? e x ( x ?1) ? x 2 ?1 ? ln x , x2 x2 x2
1 ? 0 ,所以 t ( x) 在 (0,??) 上单调递增,又因为 t (1) ? 0 ;当 x ? (0,1) 时, x

t, ( x) ? e x ? x ? 2 x ?

所以 a ? e ? 1 .C ? ( x) 单调递减;当 x ? (1, ? ?) 时,? ( x) 单调递增.所以 ? ( x) ? ? (1) ? e ? 1 , 正确. 【考点】导数的应用.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错 位置,书写不清,模棱两可均不得分. 13. (原创,容易)命题 的否定是 “?x ? ?0,???, ln x ? 2 ? e ”
x

-5-

【答案】 ?x0 ? ?0,???, ln x0 ? 2 ? e x0 【解析】 “?x0 ? ?0,???, ln x0 ? 2 ? e x0 ” 【考点】全称命题和特称命题 14. (原创,容易)已知函数 f ( x) ? ? 取值范围是 【答案】 ? , ? 2 3

? ? x ? m ? 2 m ?3 ( x ? 1) 在 R 上是单调递增函数,则 m 的 ? ( 2 m ? 1 ) x ? m ( x ? 1 ) ?
2

? 1 2? ? ?

?? m 2 ? 2 m ? 3 ? 0 1 2 ? 【解析】由 ?2m ? 1 ? 0 可得 ? m ? 2 3 ?1 ? 3m ? 1 ?
【考点】函数的性质 15. (改编,容易)如图,四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2 , 点 E , F 分别为棱 AB , AD 的中点,则 AC ? EF =_____;

??? ? ??? ? BC ? EF ?
【答案】 5 ; 3 【 解 析 】



AC ? EF ? AC ? EF ? AC ? EF ? 2 AC ? EF ? 4 ? 1 ? 0 ? 5 , 所 以

2

?

?

2

2

2

AC ? EF = 5
设 BD 的中点为 G ,则 BC ? EF ? BC ? BG ? GC ,所以 BC ? EF ? GC ? 3 【考点】向量 16. (改编,较难)对于集合 ?a1 , a2 ,?, an ? 和常数 a0 ,

??? ? ??? ?

sin 2 (a1 ? a0 ) ? sin 2 (a2 ? a0 ) ? ....? sin 2 (an ? a0 ) 定义: t ? cos2 (a1 ? a0 ) ? cos2 (a2 ? a0 ) ? ....? cos2 (an ? a0 )
为集合 ?a1 , a2 ,?, an ? 相对于 a0 的“类正切平方”.则集合 ? 平方” t = 【答案】1

? ? 5? 7? ? , , ? 相对于 a0 的“类正切 ?2 6 6 ?

-6-






2



5? ? a0 ) i?s 6 t? ? 5? c 2 ( ? a0 ) ? c 2 ( ? a0o )?c 2 6 s
2

( ? a0 ) ? s 2

?

2

(

7? ? ? ? ai cos2 a0 ? n sin i 2 ( ? a0 ) ? n sin 2 ( ? a0 ) n 0) 6 6 6 = 2 7? 2 2 ? 2 ? ( ?a o sin a0 ?scos o ( ? a0 ) ?scos ( ? a0 ) s 0) 6 6 6 (

=

1 3 1 3 2 2 cos2 a0 ? ( cos a0 ? sin a0) ? ( cos a0 ? sin a0) 2 2 2 2 3 1 3 1 2 2 sin 2 a0 ? ( cos a0 ? sin a0) ? ( cos a0 ? sin a0) 2 2 2 2

=

1 3 cos2 a0 ? cos2 a0 ? sin 2 a0 2 2 3 1 2 2 2 sin a0 ? cos a0 ? sin a0 2 2 3 3 cos2 a0 ? sin 2 a0 2 =2 =1 3 3 2 2 cos a0 ? sin a0 2 2
【考点】创新题,三角函数 三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
* 17. (原创,容易) (本小题 12 分)在数列 ?an ?中,已知 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 ( n ? N )

(1)求证: ?an ? 1?是等比数列 (2)设 bn ?

an ? 1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn an ? an ?1
*

解析: (Ⅰ)由 an?1 ? 2an ? 1 得: an?1 ? 1 ? ( (n? N ) 2 an ? 1 ) 又? a1 ? 1 ? 2 ,? ?an ? 1?是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.????????5 分 (2) 由(1)知: an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n , an ? 2n ? 1 ( n ? N )
*

? bn ? ?

2n 1 1 ? n ? n?1 ( n ? N * ) n n ?1 (2 ? 1) ? (2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
=

Sn

b1 ? b2 ? ... ? bn

=

1 1 ? 2 2 ?1 2 ?1
1

+

1 1 ? 3 2 ?1 2 ?1
2

+

?

?

-7-

?

2 n ?1 ? 2 1 1 1 ? 1 ? = = 2 n ? 1 2 n ?1 ? 1 2 n ?1 ? 1 2 n ?1 ? 1
????????????12 分.

【考点】递推关系,等比数列,求前 n 项和.

18. (











) (







12













? ? ? 1 f ( x) ? cos 2 (?x ? ) ? 3 sin(?x ? ) cos( ?x ? ) ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . 6 6 6 2
(1)求 ? 的值 (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

? 个单位,再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原 6

来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x) 的图象.求函数 g ( x) 在 ?? ? , ? ?上单调递减区间和零 点.
2 【解析】 (1) f ( x) ? cos (?x ?

?

1 ? ? ? ) ? 2 3 sin(?x ? ) cos( ?x ? ) ? 1 ) 2 6 6 6 1 ? ? ? = (cos( 2?x ? ) ? 3 sin( 2?x ? )) = sin( 2?x ? ) 2 3 3 6 2? ? ? 得 ? ? 1 ??????????????5 分 由T ? 2?
2 = (2 cos (?x ?

? ? 1 ) ? 3 sin(?x ? ) cos( ?x ? ) ? 6 6 6 2

(2)? f ( x) ? sin( 2 x ?

?

6

) ,? g ( x) = sin( x ?

?

6

)

单调递减区间为: ? ? ? ,? 零点为 x0 ? k? ?

? ?

2? 3

? ?? ? ?, ? , ? ? ??3 ?

?
6

( k ? Z ),又因为 x0 ? ?? ? , ? ? ,所以 g ( x) 在 ?? ? , ? ? 上的零点是

?

? 5?
6 , 6

????????? ??????12 分

【考点】三角函数 19.(改编,适中) (本小题 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为
? 菱形,边长为 1, ?ADC ? 120 , PA ? 平面 ABCD , ?PAD 是等腰三角形.

-8-

(1)求证:平面 PBD ? 平面 PAC (2)在线段 PC , PD 上可以分别找到两点 A ' , A '' ,使得直线 PC ? 平面 AA ' A '' ,并分别 求出此时

PA ' PA '' , 的值. PC PD
又因为 PA ? 平面 ABCD , 且 BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD ;所以 BD ?

【解析】 (1)因为 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD

平面 PAC ;又因为 BD ? 平面 PBD ,所以平面 PBD ? 平面 PAC ???????????5 分
' '' (2)? PC ? 平面 AA ' A '' ,? PC ? AA , PC ? AA



RT ?PAC

,

PA2 ? PA' ? PC

,



? PA ? 1, PC ? 2 ,? PA ' ?
在 ?PDC 中, PD ? 又? cos?DPC ?

PA' 1 1 ? ?????????8 分 .? 2 PC 4
2 , DC ? 1, PC ? 2, PA ' ? 1 '' ' ,又? PA ? cos?DPC ? PA , 2

PC2 ? PD2 ? CD 2 4 ? 2 ? 1 5 ? ? 2PC ? PD 4 2 4 2
''

2 2 PA 2 2 2 ? 5 ? ???????????????12 分 ? PA'' ? ,? PD 5 5 2

【考点】立体几何 20.(改编,适中) (本小题 12 分)已知 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,且对任意的实数 x 都 有 f ?x ? ? e (2 x ? 1) ? f ( x) ( e 是自然对数的底数) , f (0) ? 1
' x

(1)求 f ( x) 的解析式 (2)求 f ( x) 的单调区间.

f ' ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? ? 2 x ? 1 ,即 ? x ? ? 2 x ? 1 , 【解析】 (1)由 f ?x ? ? e (2 x ? 1) ? f ( x) 得 x e ? e ?
' x

'

所以

f ( x) ? x2 ? x ? c ex

-9-

所以 f ( x) ? x 2 ? x ? c e x ,又因为 f (0) ? 1 ,所以 c ? 1 所以函数 f ( x) 的解析式是 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 e x ???????????????7 分 (2) f ' ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 e x

?

?

?

?

?

?

?

f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 : ?? ?,?2?, ?? 1,??? ; f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 是 :

?? 2,?1? ??????12 分
【考点】函数的性质

2 21.(原创,较难) (本小题 12 分)已知函数 f ( x) = ax ?

ln x 1 , g ( x) ? . x x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值,并判断 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值还是极 小值.

1? 上恒成立,求 a 的取值范围. (2)若 f ( x) ? g ( x) 在 ?0,
【解析】

? ?? , f ' ( x) = 2ax ? (1) f ( x) 的定义域是 ?0,
当a ?

1 ? ln x 1 ,由 f ' (1) ? 0 得 a ? . 2 x 2

1 1 2 ln x 1 ? ln x x 3 ? 1 ? ln x ? 时, f ( x) = x ? , f ' ( x) = x ? 2 2 x x2 x2
1 ? 0 恒成立 x

? x 2 ? 0 恒成立,? 令 t ( x) = x3 ? 1 ? ln x , t ' ( x) = 3 x 2 ?

? ?? 上单调递增,又因为 t (1) ? 0 ? t ( x) 在 ?0,
当 x ? (1 , ? ?) 时,f ' ( x) ? 0 ,f ( x) ? 当 x ? (0,1) 时,f ' ( x) ? 0 ,f ( x) 单调递减; 单调递增.

? 当a ?


1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 .???????????????5 2

(2)由 f ( x) ? g ( x) 得 ax2 ?

ln x 1 1? 上恒成立 ? 在 ?0, x x

3 1? 上恒成立. 即 ax ? ln x ? 1 在 ?0,

解法一(将绝对值看成一个函数的整体进行研究) :
- 10 -

令 ? ( x) ? ax3 ? ln x ,
①当 a ? 0 时,? ( x) 在 ?0,1? 上单调递减, lim ? ( x) ? ?? ,? (1) ? a ? 0 ,所以 ? ( x) 的
x ?0 ?

值域为: ?a, ? ?? ,因为 a ? 0 ,所以 ? ( x) 的值域为 ?0, ? ?? ;所以不成立.
, 2 ② 当 a ? 0 时,易知 ? ( x) ? 0 恒成立 . ? ( x) ? 3ax ?

1 3a 3 1 ? ( x ? ) ,所以 ? ( x) 在 x x 3a

? 3 1 ? ?3 1 ? ? 0, ? 上单调递减,在 ? , ? ? ? 上单调递增.因为 ? (1) ? 1 ,所以 a ? 1,所以 ? ? 3a ? 3a ? ? ? ? ?
3

? 3 1 ? ?3 1 ? 1 ? ? 上单调递减,在 ? , 1? 上 单 调 递 增 . 所 以 ? 1 , 所 以 ? ( x) 在 0, ? ? 3a ? 3a ? 3a ? ? ? ?

?3 1 ? ?3 1 ? e2 ? ? ? ? ? ( x) m i n ? ? ,依题意, ? ? 1 ,所以 a ? . ? 3a ? ? 3a ? 3 ? ? ? ?
综上: a ?
e2 3

解法二(求命题的否定所对应的集合,再求该集合的补集) :

命题“ ax 3 ? ln x ? 1 对 ?x ? ?0,1? 都成立”的否定是“ ax 3 ? ln x ? 1 在 ?0,1? 上有解”
ax 3 ? ln x ? 1 在 ?0,1? 上有解 ? ? 1 ? ax3 ? ln x ? 1 在 ?0,1? 上有解

?
令 t ( x) ?
- 1 ? ln x , x ? ?0,1? . x3

- 1 ? ln x 1 ? ln x ?a? 在 ?0,1? 上有解 3 x x3

1 3 ? x ? ?? 1 ? ln x ? ? 3x 2 4 - 3 ln x - 1 ? ln x ? ? 0 ,所以 t ( x) ? 在 ?0,1? 上单调递增, t , ( x) ? x 4 6 x x3 x
又? lim t ( x) ? ?? ,所以 t ( x) 无最小值.所以 a ? R ;
x ?0 ?

1 3 ? x ? (1 ? ln x) ? 3x 2 1 ? ln x ? 2 ? 3 ln x , x 令 m( x ) ? , m ( x) ? ? 3 6 x x x4
所以 m( x) 在 (0, e ) 上单调递增,在 (e , 1) 上单调递减. 所以 m( x) max ? m(e 2 ) ?
? 3

?

2 3

?

2 3

e2 e2 ,所以 a ? . 3 3

- 11 -

因为 ax 3 ? ln x ? 1 在 ?0,1? 上有解时, a ?

e2 ; 3 e2 . 3

所以 ax 3 ? ln x ? 1 对 ?x ? ?0,1? 都成立时, a ?
??????????????12 分

【考点】导函数

22. (原创,容易) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是 C: ?

? x ? 3 cos? ( ? 为参数) ,直线 l 的参数 ? y ? sin ?

方程是 ?

? x ? ?t ? 2 ( t 为参数) . ?y ? t
、 直线 l 的普通方程;

(1)分别求曲线 C

(2)直线 l 与 C 交于 A, B 两点,则求 AB 的值.

【解析】 (1) C

x2 ? y 2 ? 1 l : x ? y ? 2 ? 0 ???????????????4 分 : 9 ;

? 2 ' t ?x ? 2 ? ? 2 , ' (2)直线 l 的标准参数方程为 ? ( t 为参数) ?y ? 2 t' ? 2 ?
将 l 的标准参数方程代入 C 的直角坐标方程得: 5t ' ?2 2t '?5 ? 0 ,所以 t1 '?t2 ' ?
2

2 2 , 5

t1 '?t2 ' ? ?1
? AB ? t1 ? t2 ? (t1 '?t2 ' ) 2 ? 4t1 ' t2 ' ?
' '

6 3 ???????????????10 分 5

【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23. (原创,容易) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 2 , g?x? ? x ?1 ? x ? a ? a
- 12 -

(1)求解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)对于 ?x1 , x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的取值范围. 【解析】

(1)由 ?

1 ? 1 ? ? x ? ?2 2 ?? 2 ? x ? ?x ? 或? 或 解得: x ? 0 或 x ? 2 ? 2 3 ?? 3x ? 1 ? 3 ?? x ? 3 ? 3 ?3 x ? 1 ? 3 ? ?

?2 ? ? 解集为: ?? ?,0? ? ? ,?? ? ???????????????4 分 ?3 ?
(2)当 x ?

1 5 时, f ( x ) min ? ; g ( x)max ? a ? 1 ? a 2 2 5 5 由题意得 f ( x) min ? g ( x) max ,得 a ? 1 ? a ? 即 a ? 1 ? ? a 2 2

?5 ?2 ? a ? 0 3 ? ???????????????10 分 ?? 2 解得 a ? 4 5 ? ? 2 ??a ? 1? ? ? ? a ? ? ?2 ? ?
【考点】绝对值不等式

齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学 2018 届高三第二次调研联考 数学(文)参考答案及评分标准
1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】A

- 13 -

9. 【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】A 12.【答案】C 13.【答案】 ?x0 ? ?0,???, ln x0 ? 2 ? e x0 14.【答案】 ? , ? 2 3 15.【答案】 5 ; 3 16.【答案】1 17. 解析: (1)由 an?1 ? 2an ? 1 得: an?1 ? 1 ? ( (n? N ) 2 an ? 1 )
*

? 1 2? ? ?

又? a1 ? 1 ? 2 ,? ?an ? 1?是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.????????5 分 (2) 由(1)知: an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n , an ? 2n ? 1 ( n ? N )
*

? bn ? ?
?

2n 1 1 ? n ? n?1 ( n ? N * ) n n ?1 (2 ? 1) ? (2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
=

Sn

b1 ? b2 ? ... ? bn

=

1 1 ? 2 2 ?1 2 ?1
1

+

1 1 ? 3 2 ?1 2 ?1
2

+

?

?

2 n ?1 ? 2 1 1 1 ? 1 ? = = 2 n ? 1 2 n ?1 ? 1 2 n ?1 ? 1 2 n ?1 ? 1
????????????12 分.

18.
2 【解析】 (1) f ( x) ? cos (?x ?

?

1 ? ? ? ) ? 2 3 sin(?x ? ) cos( ?x ? ) ? 1 ) 2 6 6 6 1 ? ? ? = (cos( 2?x ? ) ? 3 sin( 2?x ? )) = sin( 2?x ? ) 2 3 3 6 2? ? ? 得 ? ? 1 ??????????????5 分 由T ? 2?
2 = (2 cos (?x ?

? ? 1 ) ? 3 sin(?x ? ) cos( ?x ? ) ? 6 6 6 2

(2)? f ( x) ? sin( 2 x ?

?

6

) ,? g ( x) = sin( x ?

?

6

)

- 14 -

单调递减区间为: ? ? ? ,? 零点为 x0 ? k? ?

? ?

2? ? ? ? ? ?, ? , ? ? 3 ??3 ?

?
6

( k ? Z ),又因为 x0 ? ?? ? , ? ? ,所以 g ( x) 在 ?? ? , ? ? 上的零点是

?

? 5?
6 , 6

????????? ??????12 分 19. 【解析】 (1)因为 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD 又因为 PA ? 平面 ABCD , 且 BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD ; 所 以 BD ? 平 面 PAC ; 又 因 为 BD ? 平 面 PBD , 所 以 平 面 P B D ? 平 面

PAC ???????????5 分

' '' (2)? PC ? 平面 AA ' A '' ,? PC ? AA , PC ? AA



RT ?PAC

,

PA2 ? PA' ? PC

,



? PA ? 1, PC ? 2 ,? PA ' ?
在 ?PDC 中, PD ? 又? cos?DPC ?

PA' 1 1 ? ? ?????????8 分 . 2 PC 4
2 , DC ? 1, PC ? 2, PA ' ? 1 '' ' ,又? PA ? cos?DPC ? PA , 2

PC2 ? PD2 ? CD 2 4 ? 2 ? 1 5 ? ? 2PC ? PD 4 2 4 2
2 2 5 ? 2 ???????????????12 分 5 2

PA'' 2 2 ? ? PA ? ,? PD 5
''

20.

f ' ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? ? 2 x ? 1 ,即 ? x ? ? 2 x ? 1 , 【解析】 (1)由 f ?x ? ? e (2 x ? 1) ? f ( x) 得 x e ? e ?
' x

'

所以

f ( x) ? x2 ? x ? c ex

所以 f ( x) ? x ? x ? c e ,又因为 f (0) ? 1 ,所以 c ? 1
2 x

?

?

- 15 -

所以函数 f ( x) 的解析式是 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 e x ???????????????7 分 (2) f ' ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 e x

?

?

?

?

?

f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 : ?? ?,?2?, ?? 1,??? ; f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 是 :

?? 2,?1? ??????12 分
21. (1) f ( x) 的定义域是 ?0, ? ?? , f ' ( x) = 2ax ? 当a ?

1 ? ln x 1 ,由 f ' (1) ? 0 得 a ? . 2 x 2

1 1 2 ln x 1 ? ln x x 3 ? 1 ? ln x ? 时, f ( x) = x ? , f ' ( x) = x ? 2 2 x x2 x2
1 ? 0 恒成立 x

? x 2 ? 0 恒成立,? 令 t ( x) = x3 ? 1 ? ln x , t ' ( x) = 3 x 2 ?

? ?? 上单调递增,又因为 t (1) ? 0 ? t ( x) 在 ?0,
当 x ? (1 , ? ?) 时,f ' ( x) ? 0 ,f ( x) ? 当 x ? (0,1) 时,f ' ( x) ? 0 ,f ( x) 单调递减; 单调递增.

? 当a ?


1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 .???????????????5 2

(2)由 f ( x) ? g ( x) 得 ax2 ?

ln x 1 1? 上恒成立 ? 在 ?0, x x

3 1? 上恒成立. 即 ax ? ln x ? 1 在 ?0,

解法一(将绝对值看成一个函数的整体进行研究) : 令 ? ( x) ? ax3 ? ln x ,
①当 a ? 0 时,? ( x) 在 ?0,1? 上单调递减, lim ? ( x) ? ?? ,? (1) ? a ? 0 ,所以 ? ( x) 的
x ?0 ?

? ?? ,因为 a ? 0 ,所以 ? ( x) 的值域为 ?0, ? ?? ;所以不成立. 值域为: ?a,
, 2 ② 当 a ? 0 时,易知 ? ( x) ? 0 恒成立 . ? ( x) ? 3ax ?

1 3a 3 1 ? ( x ? ) ,所以 ? ( x) 在 x x 3a

? 3 1 ? ?3 1 ? ? 0, ? 上单调递减,在 ? , ? ? ? 上单调递增.因为 ? (1) ? 1 ,所以 a ? 1,所以 ? ? 3a ? 3a ? ? ? ? ?

- 16 -

3

? 3 1 ? ?3 1 ? 1 ? ? 上单调递减,在 ? , 1? 上 单 调 递 增 . 所 以 ? 1 , 所 以 ? ( x) 在 0, ? ? ? 3a 3a ? 3a ? ? ? ?

2 ?3 1 ? ?3 1 ? ? ? ? ? 1 ,所以 a ? e . ,依题意, ? ? ? ( x) m i n ? ? ? 3a ? ? 3a ? 3 ? ? ? ?

综上: a ?

e2 3

解法二(求命题的否定所对应的集合,再求该集合的补集) :

命题“ ax 3 ? ln x ? 1 对 ?x ? ?0,1? 都成立”的否定是“ ax 3 ? ln x ? 1 在 ?0,1? 上有解”
ax 3 ? ln x ? 1 在 ?0,1? 上有解 ? ? 1 ? ax3 ? ln x ? 1 在 ?0,1? 上有解

?
令 t ( x) ?
- 1 ? ln x , x ? ?0,1? . x3

- 1 ? ln x 1 ? ln x ?a? 在 ?0,1? 上有解 3 x x3

1 3 ? x ? ?? 1 ? ln x ? ? 3x 2 4 - 3 ln x - 1 ? ln x ? ? 0 ,所以 t ( x) ? 在 ?0,1? 上单调递增, t , ( x) ? x 4 6 x x3 x
又? lim t ( x) ? ?? ,所以 t ( x) 无最小值.所以 a ? R ;
x ?0 ?

1 3 ? x ? (1 ? ln x) ? 3x 2 1 ? ln x ? 2 ? 3 ln x , x 令 m( x ) ? , m ( x) ? ? 3 6 x x x4
所以 m( x) 在 (0, e ) 上单调递增,在 (e , 1) 上单调递减. 所以 m( x) max ? m(e 2 ) ?
? 3

?

2 3

?

2 3

e2 e2 ,所以 a ? . 3 3 e2 ; 3 e2 . 3

因为 ax 3 ? ln x ? 1 在 ?0,1? 上有解时, a ?

所以 ax 3 ? ln x ? 1 对 ?x ? ?0,1? 都成立时, a ?
??????????????12 分 22. 【解析】 (1) C

x2 ? y 2 ? 1 l : x ? y ? 2 ? 0 ???????????????4 分 : 9 ;
- 17 -

? 2 ' t ?x ? 2 ? ? 2 (2)直线 l 的标准参数方程为 ? , ( t ' 为参数) ?y ? 2 t' ? 2 ?
将 l 的标准参数方程代入 C 的直角坐标方程得: 5t ' ?2 2t '?5 ? 0 ,所以 t1 '?t2 ' ?
2

2 2 , 5

t1 '?t2 ' ? ?1
? AB ? t1 ? t2 ? (t1 '?t2 ' ) 2 ? 4t1 ' t2 ' ?
' '

6 3 ???????????????10 分 5

【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23. 【解析】

1 ? 1 ? ? x ? ?2 2 ?? 2 ? x ? ?x ? (1)由 ? 或? 解得: x ? 0 或 x ? 2 或? 2 3 ?? 3x ? 1 ? 3 ?? x ? 3 ? 3 ?3 x ? 1 ? 3 ? ?
?2 ? ? 解集为: ?? ?,0? ? ? ,?? ? ???????????????4 分 ?3 ?
(2)当 x ?

1 5 时, f ( x ) min ? ; g ( x)max ? a ? 1 ? a 2 2 5 5 由题意得 f ( x) min ? g ( x) max ,得 a ? 1 ? a ? 即 a ? 1 ? ? a 2 2

?5 ?2 ? a ? 0 3 ? ???????????????10 分 ?? 2 解得 a ? 4 5 ? ? 2 ??a ? 1? ? ? ? a ? ? ?2 ? ?

- 18 -


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