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2016年重庆南开中学高2016级高三(上)1月月考 理科数学


重庆南开中学高 2016 级高三(上)1 月月考

数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 l50 分,考试时间 l20 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)设复数 z 的共轭复数为 z ,若 ?1 ? i ?z ? 2i ,则复数 z=( (A) i (B) ? i (C) ? 1 ? i ) (D) ? 1 ? i )

(2)已知等差数列 ?an ? 满足: a5 ? a8 ? a10 ? 2 ,则 ?an ? 的前 5 项和 S 5 ? ( (A)12 (B)10 (C)9 (3)“命题“ p ? q ”为假”是“命题“ p ? q ”为假”的( ) (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)8

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x2 y2 (4)已知双曲线事 2 ? 2 ? 1?a>0,b>0? 的一条渐近线与直线 y=2x+5 平行,则双曲线的离心率 a b
等于( (A)2 ) (B)5 (C) 5 (D) 6 )

(5)下列四个函数中,图象既关于直线 x ?

5 ?? ? ? 对称,又关于点 ? , 0 ? 对称的是( 12 ?6 ?
(B) y ? sin? 2 x ?

(A) y ? sin? 2 x ?

? ?

??
? 3?

? ?

??
? 3? ? 6?

(C) y ? sin ? 4 x ?

? ?

??
? 6?

(D) y ? sin? 4 x ?

? ?

??

(6)执行如图所示的程序框图,则输出 n 的个数是( (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 (7)已知函数 f ?x ? ? ?

)

? x 2 ? 2 x,x ? 0 , 若 f ?x ? ? mx ? ?1 恒成立, 则实数 m 的最大值为( ?sin ??x ?,x<0
(B) 2 2 (C)6 (D)4

)

(A)2

(8)在 ?

?1 ? 3 ? 1? ?x ? 2? 的展开式中,常数项为( ?x ?
(B)48

3

) (D)72

(A)36

(C)63

(9)已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 ,直线 l:x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则圆 O 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 3 的 概率为( (A)

? 6

) (B)

1 3

(C)

? 12

(D)

1 6

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? (10)已知实数 x,y 满足可行域 D: x ? y ? a ? 0 恰好平分可行域 D ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,曲线 C: ?y ? 0 ?
的面积,则 a 的值为( ) (A)2 (B)

3 2 2

(C)

6 2

(D)

3 6 4

x2 y2 ? 1 的左、右焦点,点 P 为椭圆 C 上一点,延长 PF (11)如图, F1 F2 为椭圆 C: ? 2分 1 , PF 4 3

?? ( 别交椭圆 C 于 A,B.若 PF 1 ? 2F 1 A , PF 2 ? ? F2 B ,则
(A)1 (B) 2

)

4 3 5 (D) 4
(C) (12)设函数 f ' ? x ? 是函数 f ?x ??x ? R ? 的导函数, f ?0? ? 1 ,且 3 f ?x ? ? f ' ?x ? ? 3 ,则 4 f ?x ? >f ' ?x? 的解集为( (A) ? ) (B) ?

? ln 4 ? , ? ?? ? 3 ?

? ln 2 ? , ? ?? ? 3 ?

(C) ?

? 3 ? ? , ? ? ? 2 ? ? ?

(D) ?

? e ? ? , ? ? ? 2 ? ? ?

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分.把答案填写在答题卡相对应位置上. (13)已知随机变量 ? 服从正态分布 N (14)若向量 a 与 b 满足 a ?

8 ,则 p??<?<2? ? ? ??,? ???>0?,且 p??<2? ? ? 0.
2

. .

?

?

?

? ? ? ? ? ? 2 , b ? 2 , a ? b ? a ,则向量 a 与 b 的夹角的余弦值为

?

?

(15)用 4 种不同的颜色对图中 A,B,C,D,E,F 六个点进行染色,要求同一线段的两点(如: AC,BD,?)颜色不相同,而且相邻的两点(如:AB,BC,?) 颜色也不相同,则不同的染色方案种数为 (用数学作答).

(16)用 max?x,y? 表示 x, y 两个数中的最大数,若 ?ABC 的三个内角满足:A≤B≤C,则

? sin A sin B ? max? , ? 的取值范围为 ? sin B sin C ?



三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足: 2S n ? 3an ? 3 n ? N ? . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? log3 an ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

?

?

(18)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 a cosC ? ?2b ? c ?cos A . (Ⅰ)求 ? A 的大小; (Ⅱ)若 a=3,求 ?ABC 面积 S 的取值范围.

(19)(本小题满分 l2 分) 某小组为了研究中学生的视觉和空间能力是否与性别有关,从学校各年级中按分层抽样的方袒 抽取 50 名同学(男生 30 人,女生 20 人).给每位同学难度一致的几何题和代数题各一道,让他们 自由选择一道题进行解答.50 名同学选题情况如下表:

(Ⅰ)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙 两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X).

n?ad ? bc? 参考公式和数据: K ? ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
2 2

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 2 ?

x2 a

y2 3 ? 1?a>b>0?的离心率为 ,右顶点 A 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点.过 2 2 b

D(1,0)直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 AM ? AP ? AQ ,且点 M 关于直线 l 的对称点 N 在 y 轴上,求直线 l 的方程.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln?1 ? 2 x ? ?

m ?m ? R ? . 1 ? 2x

(Ⅰ)若函数 f ?x ? 的图象在 x 轴上方,求 m 的取值范围;

? 2? (Ⅱ)若对任意的正整数 n 都有 ?1 ? ? ? n?

n?a

? e 2 成立,求 a 的最大值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4—l:几何证明选讲 如图,四边形 ABDC 内接于圆,BD=CD,过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点. (Ⅰ)求证: ?EAC ? 2?DCE ; (Ⅱ)若 BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求 AB 的长.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 立直角坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos?? ?

? ?

??

?x ? t (t 为 ? ,直线 l 的参数方程为 ? 4? ? y ? ?1 ? 2 2t

参数),直线 l 和圆 C 交于 A,B 两点,P 是圆 C 上不同于 A,B 的任意一点. (Ⅰ)求圆 C 及 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求 ?PAB 面积的最大值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ?x ? ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)已知两个正数 m,n 满足 m ? n ? a ,求
2 2

1 x ? 1 ? x ?x ? R ? 的最小值为 a . 2
1 1 ? 的最小值. m n


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